23. (10分)已知$AB// CD$，$E$为直线$AB$上一点.
(1)如图1,点$G$在直线$CD$上,若$∠ BEF=38°,∠ F=102°$,则$∠ CGF$的度数是________;
(2)如图2,$Q$为$CD$上一点,连接$EQ$.若$EF,GP$分别平分$∠ BEQ,∠ DQF$,$QF$的延长线交$GP$于点$P$,且$EQ// FG,∠ EQF=4∠ DQF,∠ P=30°$,求$∠ BEF$的度数;
(3)如图3,在(2)的条件下,点$N$在射线$QD$上,连接$FN$,在直线$CD$的下方作$∠ MNC=∠ FNC$,$NM$交$EQ$的延长线于点$M$.直接写出$∠ M$与$∠ EFN$之间的数量关系.

23. 【点拨】本题考查平行线的性质、角平分线的性质、三角形的外角的性质,解题关键是作出辅助线、熟练掌握以上知识,并进行分类讨论.
【解析】(1)如题图1,过点$F$作直线$FH// AB$(点$H$在点$F$左侧).
$\because AB// CD$,$\therefore FH// AB// CD$,
$\therefore ∠EFK=∠BEF=38°$,$∠CGF+∠HFG=180°$.
$\because ∠EFG=102°$,$\therefore ∠HFG=∠EFG-∠EFH=102°-38°=64°$,
$\therefore ∠CGF=180°-∠HFG=116°$.
故答案为$116°$.
(2)$\because ∠EQF=4∠DQF$,
$\therefore$ 设$∠DQF=x°$,则$∠EQF=4x°$,$∠PGD=∠PQD+∠P=x°+30°$.
$\because EQ// FG$,$\therefore ∠QFG=∠EQF=4x°$.
$\because GP$平分$∠DGF$,$\therefore ∠FGP=∠PGD=x°+30°$,
$\therefore ∠QFG=∠FGP+∠P=x°+60°$,
$\therefore 4x°=x°+60°$,解得$x=20$,
$\therefore ∠DQF=20°$,$∠EQF=80°$,
$\therefore ∠EQD=∠DQF+∠EQF=20°+80°=100°$.
$\because AB// CD$,$\therefore ∠BEQ=180°-∠EQD=80°$.
$\because EF$平分$∠BEQ$,$\therefore ∠BEF=\frac{1}{2}∠BEQ=40°$.
(3)延长$EF$交$CD$于$H$.
①当$N$点在$H$点左侧时,过点$F$作直线$FK// AB$,如图1.
$\because AB// CD$,$\therefore FK// AB// CD$,
$\therefore ∠EFK=∠BEF=40°$(两直线平行,内错角相等),
$∠KFN+∠FNC=180°$(两直线平行,同旁内角互补).
设$∠FNC=∠MNC=x°$,则$∠KFN=180°-∠FNC=180°-x°$,
$\therefore ∠EFN=∠EFK+∠KFN=220°-x°$.
$\because ∠EQN=∠M+∠MNC$,$\therefore ∠M=∠EQN-∠MNC=100°-x°$,
$\therefore ∠EFN-∠M=(220°-x°)-(100°-x°)=120°$.

②当$N$点在$H$点右侧时,过$F$点作直线$FJ// AB$,如图2.
$\because AB// CD$,$\therefore FJ// AB// CD$,
$\therefore ∠EFJ+∠BEF=180°$,$\therefore ∠EFJ=180°-∠BEF=140°$.
设$∠FNC=∠MNC=x°$,则$∠JFN=∠FNC=x°$,
$\therefore ∠EFN=∠EFJ+∠JFN=140°+x°$.
$\because ∠EQN=∠M+∠MNC$,
$\therefore ∠M=∠EQN-∠MNC=100°-x°$,
$\therefore ∠EFN+∠M=(140°+x°)+(100°-x°)=240°$.

综上,$∠EFN-∠M=120°$或$∠EFN+∠M=240°$.