24. (12 分)如图,已知点$A(a,0),B(0,b)$,且$a,b$满足$\sqrt{a - 4} + |3 - b| = 0$,点$C$从原点$O$出发以每秒2 个单位长度向$x$轴正方向运动,点$D$同时从原点$O$出发以每秒1.5 个单位长度向$y$轴正方向运动,设运动的时间为$t$秒,当点$C$运动到$A$点时,两点均停止运动.
(1)直接写出三角形$AOB$的面积;
(2)若点$P$为线段$AB$中点,四边形$OCPD$的面积不小于3,求$t$的取值范围;
(3)平移线段$AB$至线段$EF$,其中点$A$对应点为$E$,点$B$对应点$F$,且点$E$的坐标是方程$x - y = -1$的一组解,点$F$的坐标是方程$2x - y = -10$的一组解,若$x$轴上方的点$Q$为直线$EF$上一点,且到$x$轴距离为2,求点$Q$的横坐标.
备用图
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24. 【点拨】本题考查三角形的面积、非负数的性质、一元一次不等式、点的平移等知识点,解题关键是运用数形结合思想并灵活运用上述知识点.
【解析】(1)由$\sqrt{a-4}+|3-b|=0$,得$a-4=0$,且$3-b=0$,解得$a=4,b=3$,
$\therefore A(4,0),B(0,3)$,$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×4×3=6$.
(2)$\because$ 点$P$为线段$AB$中点,$\therefore P(2,\frac{3}{2})$.
$\because OC=2t$,$OD=\frac{3}{2}t$,$\therefore$ 四边形$OCPD$的面积$=\frac{1}{2}×2t×\frac{3}{2}+\frac{1}{2}×\frac{3}{2}t×2≥3$,解得$t≥1$,
当点$C$运动到$A$点时,$t=4÷2=2$,
$\therefore t$的取值范围为$1≤t≤2$.
(3)如图,分别过点$F,Q$作$y$轴和$x$轴的平行线,两线交于点$H$.

设$E(c,c+1)$,$F(d,2d+10)$,
根据题意得$\begin{cases}c-4=d,\\c+1=2d+10-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}c=2,\\d=-2,\end{cases}$
$\therefore E(2,3)$,$F(-2,6)$. 设$Q(m,2)$,
$\therefore FH=6-2=4$,$QH=m+2$,点$E$到$FH$的距离为4.
$\therefore S_{△ FQH}=S_{△ FEH}+S_{△ QEH}$,
$\therefore \frac{1}{2}×4×(m+2)=\frac{1}{2}×4×4+\frac{1}{2}(m+2)×1$,
解得$m=\frac{10}{3}$,$\therefore$ 点$Q$的横坐标为$\frac{10}{3}$.