5. 新趋势 推导探究 如图，正方形ABCD的顶点B在直线l上，将直线l向上平移线段AB的长得到直线m，直线m分别交AD，CD于E，F两点.若求△DEF的周长，则只需知道 （）


A.AB的长
B.FE的长
C.DE的长
D.DF的长

5. A 解析:过点 B 作 BG⊥m 于点 G,连接 BE,BF,则∠BGE=∠BGF=90°. 由题意,得∠A=∠C=90°,AB = BC = CD = AD = BG. 又 BE = BE, 所以Rt△BAE≌Rt△BGE(HL). 所以 AE=GE. 同理,得CF=GF. 又△DEF 的周长为 DE+DF+EF=DE+DF+GE+GF,所以△DEF 的周长为 DE+DF+AE+CF=AD+CD=2AB. 所以求△DEF 的周长,只需知道 AB 的长.

6. 通过对下面数学模型的研究学习,解答下列问题:
【问题背景】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽弦图(如图①,由外到内含三个正方形)中提炼出两个三角形全等模型图(如图②③).
【探究问题】
(1) 如图②,在直角三角形 ABC 中,$∠ ACB=90°$,$AC=BC$,点 C 正好落在直线 l 上,分别作 $BF ⊥ l$ 于点 F,$AE ⊥ l$ 于点 E,则线段 BF,CE 之间的数量关系为 ,线段 BF、EF 和 AE 之间的数量关系为 ;
(2) 如图③,将(1)中的直线 l 绕点 C 转动到与 AB 相交,其余条件不变.请问 BF、EF 和 AE 之间的数量关系是否发生改变?并说明理由;
【解决问题】
(3) 如图④,直线 PQ 经过 $Rt△ ABC$ 的直角顶点 C,$△ ABC$ 的边上有两个动点 D,E,点 D 以 4 cm/s 的速度从点 A 出发,沿 $AC \to CB$ 移动到点 B,点 E 以 6 cm/s 的速度从点 B 出发,沿 $BC \to CA$ 移动到点 A,两动点中一个点到达终点后另一个点继续移动到终点.过 D,E 两点分别作 $DM ⊥ PQ$, $EN ⊥ PQ$,垂足分别为 M,N.若 $AC=14\ \mathrm{cm}$,$BC=20\ \mathrm{cm}$,设运动时间为 $t\ \mathrm{s}$,当以 D,M,C 三点为顶点的三角形与以 E,N,C 三点为顶点的三角形全等时,求此时 t 的值.

6. (1) $BF=CE$ $EF=BF+AE$ 解析: 因为 $BF ⊥ l$, $AE ⊥ l$, 所以 $∠AEC = ∠CFB = 90°$, 即 $∠EAC +∠ACE = 90°$. 又 $∠ACB = 90°$, 所以 $∠ACE +∠FCB=180°-∠ACB=90°$,即$∠EAC=∠FCB$. 又 $AC=CB$,所以△AEC≌△CFB(AAS). 所以 AE=CF,CE=BF. 又 EF=CE+CF,所以 EF=BF+AE.
(2) 发生改变. 理由如下: 因为 $BF ⊥ l$,$AE ⊥ l$,所以 $∠AEC = ∠CFB = 90°$. 所以 $∠EAC +∠ACE =90°$. 又 $∠ACB = 90°$,所以 $∠ACE +∠FCB = 90°$,即 $∠EAC=∠FCB$. 又 AC=CB, 所以△AEC≌△CFB(AAS). 所以 CE=BF,AE=CF. 所以 EF=CE-CF=BF-AE.
(3) 因为以 D,M,C 三点为顶点的三角形与以 E,N,C 三点为顶点的三角形全等,所以 CD=CE. 分类讨论如下:① 当点 E 在 BC 上,点 D 在 AC 上时,因为点 E 的速度为 6 cm/s,点 D 的速度为 4 cm/s,AC=14 cm,BC=20 cm,所以点 E 到达点 C 所需的时间为 $20÷6=\frac{10}{3}$(s),点 D 到达点 C 所需的时间为 $14÷4=\frac{7}{2}$(s),AD=4t cm,BE=6t cm,即 CD=(14-4t)cm,CE=(20-6t)cm. 又 $\frac{10}{3}＜\frac{7}{2}$,所以此时 0＜$t＜\frac{10}{3}$. 所以 20-6t=14-4t,解得 t=3;② 当点 E 在 AC 上,点 D 在 AC 上时,则 $\frac{10}{3}＜t＜\frac{7}{2}$. 所以 CE=(6t-20)cm,CD=(14-4t)cm,即 6t-20=14-4t,解得 $t=\frac{17}{5}$;③ 当点 E 在 AC 上且未到点 A,点 D 在 BC 上时,因为点 E 到达点 A 所需时间为(14+20)÷6=$\frac{17}{3}$(s),点 D 到达点 B 所需时间为(14+20)÷4=$\frac{17}{2}$(s),所以此时 $\frac{7}{2}＜t＜\frac{17}{3}$. 则 CE=(6t-20)cm,CD=(4t-14)cm. 所以 6t-20=4t-14,解得 t=3(不符合题意,舍去);④ 当点 E 到达点 A 后,点 D 在 BC 上时,此时 $\frac{17}{3}＜t＜\frac{17}{2}$. 所以 CD=(4t-14)cm,CE=AC=14 cm,即 14=4t-14,解得 t=7. 综上,当t 的值为 3 或 $\frac{17}{5}$ 或 7 时,以 D,M,C 三点为顶点的三角形与以 E,N,C 三点为顶点的三角形全等.