1. 如图,在边长为2的等边三角形ABC中,点D在边BC上运动(不与B,C两点重合),点E在边AB的延长线上,点F在边AC的延长线上,AD=DE=DF.点D在边BC上从点B至点C的运动过程中,△BED周长的变化规律为 ()

A.不变
B.一直变小
C.先变大后变小
D.先变小后变大

1. D 解析: 因为△ABC 是边长为 2 的等边三角形,所以 BC=2,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°.过点 D 分别作 DM ⊥ AE, DN ⊥ AF, 垂足分别为 M, N, 则∠AMD=∠EMD=∠AND=∠FND=90°. 又 AD=ED=FD, DM = DM, DN = DN, 所以 Rt△ADM≌Rt△EDM(HL), Rt△ADN≌Rt△FDN(HL). 所以∠DAM=∠DEM, ∠DAN=∠DFN, 即∠DEM +∠DFN = ∠DAM + ∠DAN = ∠BAC = 60°. 又∠BED+∠BDE=∠ABC=60°,∠CDF+∠CFD=∠ACB = 60°, 所以 ∠BED = ∠CDF, ∠BDE =∠CFD. 所以 △BDE ≌ △CFD ( ASA ). 所以 BE =CD. 所以△BED 的周长为 BD + BE + DE = BD +CD+AD=BC+AD=2+AD. 因为当点 D 在边 BC上从点 B 至点 C 的运动过程中,AD 的长先变小后变大,所以△BED 的周长先变小后变大.

2. 如图，在长方形ABCD中，AB=6，AD=10，延长BC到点E，使CE=4，连接DE，动点F从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点A的运动时间为t秒，当t的值为时，△ABF和△DCE全等。

2. 2或11 解析:由题意,得 CD=AB=6,BC=AD=10,∠ABC=∠BAD=∠BCD=90°,则∠DCE=180°-∠BCD=90°.所以∠DCE=∠BAD=∠ABC.当点 F在边 BC 上时,BF=2t. 若 BF=CE,则△ABF≌△DCE(SAS).又 CE=4,所以 2t=4,解得 t=2;当点F 在边 CD 上时,此时△ABF 与△DCE 不全等;当点F 在边 AD 上时,AF = 26 - 2t. 若 AF = CE, 则△BAF≌△DCE(SAS). 所以 26-2t=4, 解得 t=11. 综上,当 t 的值为 2 或 11 时,△ABF 和△DCE全等.
解题技巧
1.设:设未知数(谁变设谁,一般设时间、速度、长度);
2.表:用未知数表示其他变化的量(如:线段长);
3.找:找数量之间的关系,通常指的是相等关系,包括内角和、边相等、角相等,注意分类讨论;
4.列:根据等量关系列方程;
5.验:验证结果,舍去无效解.

3. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=6\ \mathrm{cm}$,$BC=8\ \mathrm{cm}$.点$P$从点$A$出发,沿$A\rightarrow C\rightarrow B$向终点$B$运动;点$Q$从点$B$出发,沿$B\rightarrow C\rightarrow A$向终点$A$运动.$P$,$Q$两点分别以$1\ \mathrm{cm/s}$和$3\ \mathrm{cm/s}$的速度同时开始运动,两点都要到各自的终点时才能停止运动,在某时刻,过$P$,$Q$两点分别作$PE⊥ l$于点$E$,$QF⊥ l$于点$F$,设运动时间为$t\ \mathrm{s}$,则当$t=$时,$△ PEC$与$△ QFC$全等.

3. 1或$\frac{7}{2}$或12 解析:由题意,得点 P 运动到点 B 所需的时间为(6+8)÷1=14(s),点 Q 运动到点 A 所需的时间为$(6+8)÷3=\frac{14}{3}$(s),点 P 运动到点 C 所需的时间为 6÷1=6(s),点 Q 运动到点 C 所需的时间为 8÷3=$\frac{8}{3}$(s),∠PEC=∠QFC=90°,所以∠EPC+∠PCE=90°,点 Q 到达点 A 时,点 P 还在边 AC 上. 当点 P 在边 AC 上,点 Q 在边 BC 上时,AP=t cm,BQ=3t cm,所以 PC=(6-t)cm,QC=(8-3t)cm. 因为∠ACB=90°,所以∠PCE+∠FCQ=180°-∠ACB=90°,即∠EPC=∠FCQ. 若 PC=CQ,则△PEC≌△CFQ(AAS). 所以 6-t=8-3t,解得 t=1;当 P,Q 两点都在 AC 上,点 Q 未到达点 A 时,此时 PC=(6-t)cm,QC=(3t-8)cm. 当 P,Q 两点重合时,△PEC≌△QFC. 所以 6-t=3t-8,解得$t=\frac{7}{2}$;当点 P 在边 BC上,点 Q 到达点 A 时,PC=(t-6)cm,QC=6 cm. 若PC=QC,则△PEC≌△CFQ(AAS). 所以 t-6=6,解得 t=12. 综上,当 t=1 或$\frac{7}{2}$或 12 时,△PEC 与△QFC全等.

4. 如图,在$△ ABC$中,$AD$为高,$AC=12$,$E$为$AC$上一点,$CE=\frac{1}{2}AE$,连接$BE$,交$AD$于点$O$,且$△ BDO≌△ ADC$.
(1) 求$∠ BEC$的度数；
(2) 有一动点$Q$从点$A$出发沿射线$AC$以每秒8个单位长度的速度运动,设点$Q$的运动时间为$t$秒,是否存在$t$的值,使得$△ BOQ$的面积为24?若存在,请求出$t$的值;若不存在,请说明理由；
(3) 在(2)的条件下,动点$P$从点$O$出发沿线段$OB$以每秒2个单位长度的速度向终点$B$运动,$P,Q$两点同时出发,当点$P$到达点$B$时,$P,Q$两点同时停止运动,设运动时间为$t$秒,$F$是直线$BC$上一点,且$CF=AO$.是否存在$t$的值,使$△ AOP$与$△ FCQ$全等?

备用图

4. (1) 因为 AD 是△ABC 的高,所以∠ADC=90°,即∠CAD+∠ACD=90°. 又△BDO≌△ADC,所以∠OBD=∠CAD. 所以∠OBD+∠ACD=90°,即∠BEC=180°-(∠OBD+∠ACD)=90°.
(2) 存在. 因为△BDO≌△ADC,AC=12,所以 BO=AC=12. 因为$CE=\frac{1}{2}AE$,所以$AE=\frac{2}{3}AC=8$,$CE=\frac{1}{3}AC=4$. 由(1),得∠BEC=90°,所以 BE⊥AC. 由题意,得点 Q 到达点 E 所需时间为 8÷8=1(秒),分类讨论如下:① 当 0＜t＜1 时,点 Q 在线段 AE 上,此时QE=8-8t. 所以$S_{△BOQ}=\frac{1}{2}BO·QE=48(1-t)$. 又△BOQ 的面积为 24,所以 48(1-t)=24,解得$t=\frac{1}{2}$;② 当 t＞1 时,点 Q 在射线 EC 上,此时 QE=8t-8. 所以$S_{△BOQ}=\frac{1}{2}BO·QE=48(t-1)$. 同理,得 48(t-1)=24,解得$t=\frac{3}{2}$. 综上,t 的值为$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$.
(3) 因为△BDO≌△ADC,所以∠BOD=∠ACD. 分类讨论如下:① 当点 F 在线段 BC 的延长线上,点 Q 在线段 AC 上时,. 因为∠AOP+∠BOD=180°,∠FCQ+∠ACD=180°,所以∠AOP=∠FCQ. 因为 AO=CF,所以当 OP=CQ 时,△AOP≌△FCQ(SAS). 此时 OP=2t,CQ=12-8t,则 2t=12-8t,解得$t=\frac{6}{5}$,符合题意;② 当点 F 在线段 BC 上,点 Q 在线段 AC 的延长线上时,如图②. 因为∠AOP+∠BOD=180°,∠FCQ+∠ACD=180°,所以∠AOP=∠FCQ. 因为 AO=CF,所以当 OP=CQ 时,△AOP≌△FCQ(SAS). 此时 OP=2t,CQ=8t-12,则 2t=8t-12,解得 t=2,符合题意. 综上,当 t 的值为$\frac{6}{5}$或 2 时,△AOP 与△FCQ 全等.