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2. 根据以下素材,完成探索任务。
探索果园土地规划和销售利润问题
素材
素材1
某农户承包了一块矩形果园ABCD,图1是果园的平面图,其中$AB=200$米,$BC=300$米。准备在它的四周铺设道路,上下两条横向道路的宽度都为$2x$米,左右两条纵向道路的宽度都为$x$米,中间部分种植水果。已知道路的路面造价是50元/平方米;出于货车通行等因素的考虑,道路宽度$x$不超过12米,且不小于5米
素材2
该农户发现某一种草莓销售前景比较不错,经市场调查,草莓培育一年可产果,已知每平方米的草莓销售平均利润为100元;果园每年的承包费为25万元,期间需一次性投入33万元购进新苗,每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用
问题解决
任务1
解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响
(1)请直接写出纵向道路宽度$x$的取值范围
(2)若中间种植的面积是$44800\ \mathrm{m}^2$,则路面设置的宽度是否符合要求
任务2
解决果园种植的预期利润问题(净利润$=$草莓销售的总利润$-$路面造价费用$-$果园承包费用$-$新苗购置费用$-$其余费用)
经过1年后,农户是否可以达到预期净利润400万元?请说明理由
探索果园土地规划和销售利润问题
素材
素材1
某农户承包了一块矩形果园ABCD,图1是果园的平面图,其中$AB=200$米,$BC=300$米。准备在它的四周铺设道路,上下两条横向道路的宽度都为$2x$米,左右两条纵向道路的宽度都为$x$米,中间部分种植水果。已知道路的路面造价是50元/平方米;出于货车通行等因素的考虑,道路宽度$x$不超过12米,且不小于5米
素材2
该农户发现某一种草莓销售前景比较不错,经市场调查,草莓培育一年可产果,已知每平方米的草莓销售平均利润为100元;果园每年的承包费为25万元,期间需一次性投入33万元购进新苗,每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用
问题解决
任务1
解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响
(1)请直接写出纵向道路宽度$x$的取值范围
(2)若中间种植的面积是$44800\ \mathrm{m}^2$,则路面设置的宽度是否符合要求
任务2
解决果园种植的预期利润问题(净利润$=$草莓销售的总利润$-$路面造价费用$-$果园承包费用$-$新苗购置费用$-$其余费用)
经过1年后,农户是否可以达到预期净利润400万元?请说明理由
答案
任务1
(1)解:纵向道路宽度$x$的取值范围为$5≤ x≤ 12$。
(2)解:由题意,得$(300 - 2x)(200 - 4x)=44800$,整理,得$x^2 - 200x + 1900=0$,解得$x_1=10$,$x_2=190$。因为$5≤ x≤ 12$,所以$x=10$符合题意,所以路面设置的宽度符合要求。
任务2 解:经过1年后,农户可以达到预期净利润400万元。理由如下:假设经过1年后,农户可以达到预期净利润400万元,由题意,得$100(300 - 2x)(200 - 4x)-50×[2× 300× 2x + 2x(200 - 4x)]-250000 - 330000 - 250000=4000000$,整理,得$x^2 - 200x + 975=0$,解得$x_1=5$,$x_2=195$。又因为$5≤ x≤ 12$,所以$x=5$符合题意,所以假设成立,即经过1年后,农户可以达到预期净利润400万元。
(1)解:纵向道路宽度$x$的取值范围为$5≤ x≤ 12$。
(2)解:由题意,得$(300 - 2x)(200 - 4x)=44800$,整理,得$x^2 - 200x + 1900=0$,解得$x_1=10$,$x_2=190$。因为$5≤ x≤ 12$,所以$x=10$符合题意,所以路面设置的宽度符合要求。
任务2 解:经过1年后,农户可以达到预期净利润400万元。理由如下:假设经过1年后,农户可以达到预期净利润400万元,由题意,得$100(300 - 2x)(200 - 4x)-50×[2× 300× 2x + 2x(200 - 4x)]-250000 - 330000 - 250000=4000000$,整理,得$x^2 - 200x + 975=0$,解得$x_1=5$,$x_2=195$。又因为$5≤ x≤ 12$,所以$x=5$符合题意,所以假设成立,即经过1年后,农户可以达到预期净利润400万元。
解析
【分析】
首先，任务1(1)直接根据题目给出的道路宽度限制条件确定x的取值范围；任务1(2)需先明确种植区域的长和宽，利用矩形面积公式列一元二次方程求解，再结合x的取值范围判断解是否符合要求；任务2需先理清净利润的计算公式，再代入各部分的表达式列方程，求解后结合x的范围判断能否达到预期净利润。
【解析】
任务1
(1) 由题目中“道路宽度x不超过12米，且不小于5米”，直接得纵向道路宽度x的取值范围为$5≤ x≤ 12$。
(2) 中间种植区域的长为$(300 - 4x)$米，宽为$(200 - 2x)$米，根据种植面积为$44800\ \mathrm{m}^2$，列方程：
$(300 - 4x)(200 - 2x)=44800$
整理得：$x^2 - 200x + 1900=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=190$
因为$5≤ x≤ 12$，所以$x=10$符合题意，即路面设置的宽度符合要求。
任务2
根据净利润公式：净利润=草莓销售总利润 - 路面造价费用 - 果园承包费用 - 新苗购置费用 - 其余费用
草莓销售总利润为$100×(300 - 4x)(200 - 2x)$元；
路面造价费用为$50×[2×300×2x + 2x(200 - 4x)]$元；
各项固定费用总和为$250000 + 330000 + 250000=830000$元。
假设经过1年后净利润为400万元（即4000000元），列方程：
$100(300 - 4x)(200 - 2x)-50×[2×300×2x + 2x(200 - 4x)] - 830000=4000000$
整理得：$x^2 - 200x + 975=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=195$
因为$5≤ x≤ 12$，所以$x=5$符合题意，即经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元。
【答案】
任务1(1) $5≤ x≤ 12$；(2) 符合要求；任务2 可以达到预期净利润400万元，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形面积计算
【点评】
本题结合果园规划与利润问题，考查一元二次方程的实际应用，解题关键是准确确定种植区域的长和宽，理清净利润的构成，求解后需结合取值范围对解进行取舍，难度适中，需注意计算的准确性。
【难度系数】
0.4
首先，任务1(1)直接根据题目给出的道路宽度限制条件确定x的取值范围；任务1(2)需先明确种植区域的长和宽，利用矩形面积公式列一元二次方程求解，再结合x的取值范围判断解是否符合要求；任务2需先理清净利润的计算公式，再代入各部分的表达式列方程，求解后结合x的范围判断能否达到预期净利润。
【解析】
任务1
(1) 由题目中“道路宽度x不超过12米，且不小于5米”，直接得纵向道路宽度x的取值范围为$5≤ x≤ 12$。
(2) 中间种植区域的长为$(300 - 4x)$米，宽为$(200 - 2x)$米，根据种植面积为$44800\ \mathrm{m}^2$，列方程：
$(300 - 4x)(200 - 2x)=44800$
整理得：$x^2 - 200x + 1900=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=190$
因为$5≤ x≤ 12$，所以$x=10$符合题意，即路面设置的宽度符合要求。
任务2
根据净利润公式：净利润=草莓销售总利润 - 路面造价费用 - 果园承包费用 - 新苗购置费用 - 其余费用
草莓销售总利润为$100×(300 - 4x)(200 - 2x)$元；
路面造价费用为$50×[2×300×2x + 2x(200 - 4x)]$元；
各项固定费用总和为$250000 + 330000 + 250000=830000$元。
假设经过1年后净利润为400万元（即4000000元），列方程：
$100(300 - 4x)(200 - 2x)-50×[2×300×2x + 2x(200 - 4x)] - 830000=4000000$
整理得：$x^2 - 200x + 975=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=195$
因为$5≤ x≤ 12$，所以$x=5$符合题意，即经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元。
【答案】
任务1(1) $5≤ x≤ 12$；(2) 符合要求；任务2 可以达到预期净利润400万元，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形面积计算
【点评】
本题结合果园规划与利润问题，考查一元二次方程的实际应用，解题关键是准确确定种植区域的长和宽，理清净利润的构成，求解后需结合取值范围对解进行取舍，难度适中，需注意计算的准确性。
【难度系数】
0.4
