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1.(2025·绍兴市柯桥区期末)根据以下素材,解决问题。
十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中,发现方程的根与系数之间存在着特殊关系,由于该关系由韦达系统地提出并推广,人们把这个关系称之为韦达定理
＜point＞80 195＜/point＞＜point＞80 235＜/point＞
素材1
材料1:关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$的两个实数根$x_1,x_2$和系数$a,b,c$有如下关系:$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a},x_1x_2 = \dfrac{c}{a}$
素材2
材料2:已知一元二次方程$x^2 - x - 1 = 0$的两个实数根分别为$m,n$,求$m^2n + mn^2$的值
素材2 解:因为$m,n$是一元二次方程$x^2 - x - 1 = 0$的两个实数根,所以$m + n = 1,mn = -1$,则$m^2n + mn^2 = mn(m + n) = -1×1 = -1$
＜point＞80 357＜/point＞＜point＞80 462＜/point＞
问题1
若一元二次方程$2x^2 + 3x - 1 = 0$的两个实数根为$x_1,x_2$,则$x_1 + x_2 =$$,x_1x_2 =$
问题2
已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 6x + (2m + 1) = 0$有两个实数根为$x_1,x_2$,且$2x_1x_2 + x_1 + x_2 ≥ 20$,求$m$的取值范围
问题3
已知一元二次方程$2x^2 + 2025x - 3 = 0$的两个实数根为$m,n$,求$(2m^2 + 2024m - 7)(2n^2 + 2026n + 1)$的值
十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中,发现方程的根与系数之间存在着特殊关系,由于该关系由韦达系统地提出并推广,人们把这个关系称之为韦达定理
素材1
材料1:关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$的两个实数根$x_1,x_2$和系数$a,b,c$有如下关系:$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a},x_1x_2 = \dfrac{c}{a}$
素材2
材料2:已知一元二次方程$x^2 - x - 1 = 0$的两个实数根分别为$m,n$,求$m^2n + mn^2$的值
素材2 解:因为$m,n$是一元二次方程$x^2 - x - 1 = 0$的两个实数根,所以$m + n = 1,mn = -1$,则$m^2n + mn^2 = mn(m + n) = -1×1 = -1$
问题1
若一元二次方程$2x^2 + 3x - 1 = 0$的两个实数根为$x_1,x_2$,则$x_1 + x_2 =$$,x_1x_2 =$
问题2
已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 6x + (2m + 1) = 0$有两个实数根为$x_1,x_2$,且$2x_1x_2 + x_1 + x_2 ≥ 20$,求$m$的取值范围
问题3
已知一元二次方程$2x^2 + 2025x - 3 = 0$的两个实数根为$m,n$,求$(2m^2 + 2024m - 7)(2n^2 + 2026n + 1)$的值
答案
问题1 $-\dfrac{3}{2}\quad -\dfrac{1}{2}$
问题2 解:因为关于$x$的一元二次方程$x^2 - 6x + (2m + 1)=0$有两个实数根为$x_1,x_2$,所以$\Delta=(-6)^2 - 4× 1×(2m + 1)≥ 0$,解得$m≤ 4$。又因为$x_1 + x_2=6$,$x_1x_2=2m + 1$,$2x_1x_2 + x_1 + x_2≥ 20$,所以$2(2m + 1)+6≥ 20$,解得$m≥ 3$。所以$m$的取值范围为$3≤ m≤ 4$。
问题3 解:因为一元二次方程$2x^2 + 2025x - 3=0$的两个实数根为$m,n$,所以$m + n=-\dfrac{2025}{2}$,$mn=-\dfrac{3}{2}$,$2m^2 + 2025m - 3=0$,$2n^2 + 2025n - 3=0$,所以$2m^2 + 2024m - 7=-m - 4$,$2n^2 + 2026n + 1=n + 4$, 所以 $(2m^2 + 2024m - 7)(2n^2 + 2026n + 1)=-(m + 4)(n + 4)=-[mn + 4(m + n)+16]=-mn -4(m + n)-16=\dfrac{3}{2}-4×(-\dfrac{2025}{2})-16=\dfrac{3}{2}+4050 - 16=\dfrac{8071}{2}$。
问题2 解:因为关于$x$的一元二次方程$x^2 - 6x + (2m + 1)=0$有两个实数根为$x_1,x_2$,所以$\Delta=(-6)^2 - 4× 1×(2m + 1)≥ 0$,解得$m≤ 4$。又因为$x_1 + x_2=6$,$x_1x_2=2m + 1$,$2x_1x_2 + x_1 + x_2≥ 20$,所以$2(2m + 1)+6≥ 20$,解得$m≥ 3$。所以$m$的取值范围为$3≤ m≤ 4$。
问题3 解:因为一元二次方程$2x^2 + 2025x - 3=0$的两个实数根为$m,n$,所以$m + n=-\dfrac{2025}{2}$,$mn=-\dfrac{3}{2}$,$2m^2 + 2025m - 3=0$,$2n^2 + 2025n - 3=0$,所以$2m^2 + 2024m - 7=-m - 4$,$2n^2 + 2026n + 1=n + 4$, 所以 $(2m^2 + 2024m - 7)(2n^2 + 2026n + 1)=-(m + 4)(n + 4)=-[mn + 4(m + n)+16]=-mn -4(m + n)-16=\dfrac{3}{2}-4×(-\dfrac{2025}{2})-16=\dfrac{3}{2}+4050 - 16=\dfrac{8071}{2}$。
解析
【分析】
本题围绕韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）展开，解题思路如下：
1. 问题1直接套用韦达定理公式，确定方程的系数a、b、c，代入计算两根和与积；
2. 问题2需先利用一元二次方程有两个实数根的条件（判别式Δ≥0）确定m的初步范围，再结合韦达定理得到的两根和与积，代入给定不等式求解，最后取两个范围的交集；
3. 问题3需利用方程根的定义将高次项降次转化为一次式，再结合韦达定理的两根和与积，代入化简后的式子计算结果。
【解析】
问题1：对于一元二次方程$2x^2 + 3x - 1 = 0$，其中$a=2$，$b=3$，$c=-1$，根据韦达定理：
$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{3}{2}$，$x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = -\dfrac{1}{2}$；
问题2：因为方程$x^2 - 6x + (2m + 1) = 0$是一元二次方程且有两个实数根，所以判别式$\Delta ≥ 0$：
$\Delta = (-6)^2 - 4 × 1 × (2m + 1) = 36 - 8m - 4 = 32 - 8m ≥ 0$，解得$m ≤ 4$；
由韦达定理得：$x_1 + x_2 = 6$，$x_1x_2 = 2m + 1$；
代入不等式$2x_1x_2 + x_1 + x_2 ≥ 20$：
$2(2m + 1) + 6 ≥ 20$，化简得$4m + 8 ≥ 20$，解得$m ≥ 3$；
综上，$m$的取值范围为$3 ≤ m ≤ 4$；
问题3：因为$m$、$n$是方程$2x^2 + 2025x - 3 = 0$的两个根，根据韦达定理：
$m + n = -\dfrac{2025}{2}$，$mn = -\dfrac{3}{2}$；
又因为根满足方程，所以$2m^2 + 2025m - 3 = 0$，即$2m^2 = -2025m + 3$，同理$2n^2 = -2025n + 3$；
对所求式子变形：
$2m^2 + 2024m - 7 = (-2025m + 3) + 2024m - 7 = -m - 4$；
$2n^2 + 2026n + 1 = (-2025n + 3) + 2026n + 1 = n + 4$；
则原式$= (-m - 4)(n + 4) = - (m + 4)(n + 4) = - [mn + 4(m + n) + 16]$；
代入$mn = -\dfrac{3}{2}$，$m + n = -\dfrac{2025}{2}$：
$= - [ -\dfrac{3}{2} + 4 × (-\dfrac{2025}{2}) + 16 ] = - ( -\dfrac{8071}{2} ) = \dfrac{8071}{2}$；
【答案】
问题1：$-\dfrac{3}{2}$，$-\dfrac{1}{2}$；问题2：$3 ≤ m ≤ 4$；问题3：$\dfrac{8071}{2}$；
【知识点】
韦达定理、一元二次方程根的判别式、代数式化简；
【点评】
本题综合考查韦达定理的应用，需注意：问题2易忽略判别式对参数的限制；问题3需利用方程根的定义降次，将高次式转化为可利用韦达定理的形式，核心是整体代入思想的运用。
【难度系数】
0.5
本题围绕韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）展开，解题思路如下：
1. 问题1直接套用韦达定理公式，确定方程的系数a、b、c，代入计算两根和与积；
2. 问题2需先利用一元二次方程有两个实数根的条件（判别式Δ≥0）确定m的初步范围，再结合韦达定理得到的两根和与积，代入给定不等式求解，最后取两个范围的交集；
3. 问题3需利用方程根的定义将高次项降次转化为一次式，再结合韦达定理的两根和与积，代入化简后的式子计算结果。
【解析】
问题1：对于一元二次方程$2x^2 + 3x - 1 = 0$，其中$a=2$，$b=3$，$c=-1$，根据韦达定理：
$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{3}{2}$，$x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = -\dfrac{1}{2}$；
问题2：因为方程$x^2 - 6x + (2m + 1) = 0$是一元二次方程且有两个实数根，所以判别式$\Delta ≥ 0$：
$\Delta = (-6)^2 - 4 × 1 × (2m + 1) = 36 - 8m - 4 = 32 - 8m ≥ 0$，解得$m ≤ 4$；
由韦达定理得：$x_1 + x_2 = 6$，$x_1x_2 = 2m + 1$；
代入不等式$2x_1x_2 + x_1 + x_2 ≥ 20$：
$2(2m + 1) + 6 ≥ 20$，化简得$4m + 8 ≥ 20$，解得$m ≥ 3$；
综上，$m$的取值范围为$3 ≤ m ≤ 4$；
问题3：因为$m$、$n$是方程$2x^2 + 2025x - 3 = 0$的两个根，根据韦达定理：
$m + n = -\dfrac{2025}{2}$，$mn = -\dfrac{3}{2}$；
又因为根满足方程，所以$2m^2 + 2025m - 3 = 0$，即$2m^2 = -2025m + 3$，同理$2n^2 = -2025n + 3$；
对所求式子变形：
$2m^2 + 2024m - 7 = (-2025m + 3) + 2024m - 7 = -m - 4$；
$2n^2 + 2026n + 1 = (-2025n + 3) + 2026n + 1 = n + 4$；
则原式$= (-m - 4)(n + 4) = - (m + 4)(n + 4) = - [mn + 4(m + n) + 16]$；
代入$mn = -\dfrac{3}{2}$，$m + n = -\dfrac{2025}{2}$：
$= - [ -\dfrac{3}{2} + 4 × (-\dfrac{2025}{2}) + 16 ] = - ( -\dfrac{8071}{2} ) = \dfrac{8071}{2}$；
【答案】
问题1：$-\dfrac{3}{2}$，$-\dfrac{1}{2}$；问题2：$3 ≤ m ≤ 4$；问题3：$\dfrac{8071}{2}$；
【知识点】
韦达定理、一元二次方程根的判别式、代数式化简；
【点评】
本题综合考查韦达定理的应用，需注意：问题2易忽略判别式对参数的限制；问题3需利用方程根的定义降次，将高次式转化为可利用韦达定理的形式，核心是整体代入思想的运用。
【难度系数】
0.5
