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19. 如图所示，$∠ ABC = ∠ ACB$，$BE$平分$∠ ABC$，$CF$平分$∠ ACB$，$∠ EBD = ∠ D$。
(1)估测$CF$与$DE$平行吗？
(2)若$CF$与$DE$平行，请给予说明；若不平行，说明理由。
(1)估测$CF$与$DE$平行吗？
(2)若$CF$与$DE$平行，请给予说明；若不平行，说明理由。
答案
(1)$CF// DE$;
(2)
∵ $BE$ 平分 $∠ABC$, $CF$ 平分 $∠ACB$,
∴ $∠EBD = \dfrac{1}{2}∠ABC$, $∠FCB = \dfrac{1}{2}∠ACB$. 又
∵ $∠ABC = ∠ACB$,
∴ $∠EBD = ∠FCB$.
∵ $∠EBD = ∠D$,
∴ $∠FCB = ∠D$.
∴ $CF// DE$.
(2)
∵ $BE$ 平分 $∠ABC$, $CF$ 平分 $∠ACB$,
∴ $∠EBD = \dfrac{1}{2}∠ABC$, $∠FCB = \dfrac{1}{2}∠ACB$. 又
∵ $∠ABC = ∠ACB$,
∴ $∠EBD = ∠FCB$.
∵ $∠EBD = ∠D$,
∴ $∠FCB = ∠D$.
∴ $CF// DE$.
解析
【分析】
要判断CF与DE是否平行，可借助平行线的判定定理推导。首先利用已知的角平分线条件，结合∠ABC=∠ACB的相等关系，先推出∠EBD和∠FCB相等，再结合题目给出的∠EBD=∠D的条件，通过等量代换得到同位角∠FCB=∠D，即可判定两直线平行。
【解析】
(1) 首先估测两条直线的位置关系：$CF// DE$；
(2) 证明过程如下：
∵ $BE$ 平分 $∠ABC$, $CF$ 平分 $∠ACB$,
∴ $∠EBD = \dfrac{1}{2}∠ABC$, $∠FCB = \dfrac{1}{2}∠ACB$.
又
∵ $∠ABC = ∠ACB$,
∴ $∠EBD = ∠FCB$.
∵ $∠EBD = ∠D$,
∴ 等量代换可得$∠FCB = ∠D$.
根据“同位角相等，两直线平行”，可证得$CF// DE$.
【答案】
(1)$CF// DE$;
(2)
∵ $BE$ 平分 $∠ABC$, $CF$ 平分 $∠ACB$,
∴ $∠EBD = \dfrac{1}{2}∠ABC$, $∠FCB = \dfrac{1}{2}∠ACB$. 又
∵ $∠ABC = ∠ACB$,
∴ $∠EBD = ∠FCB$.
∵ $∠EBD = ∠D$,
∴ $∠FCB = ∠D$.
∴ $CF// DE$.
【知识点】
角平分线的定义，平行线的判定，等量代换
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是结合角平分线的性质，通过等量代换得到判定平行线所需的相等同位角，能够有效考查学生对基础几何定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
要判断CF与DE是否平行，可借助平行线的判定定理推导。首先利用已知的角平分线条件，结合∠ABC=∠ACB的相等关系，先推出∠EBD和∠FCB相等，再结合题目给出的∠EBD=∠D的条件，通过等量代换得到同位角∠FCB=∠D，即可判定两直线平行。
【解析】
(1) 首先估测两条直线的位置关系：$CF// DE$；
(2) 证明过程如下：
∵ $BE$ 平分 $∠ABC$, $CF$ 平分 $∠ACB$,
∴ $∠EBD = \dfrac{1}{2}∠ABC$, $∠FCB = \dfrac{1}{2}∠ACB$.
又
∵ $∠ABC = ∠ACB$,
∴ $∠EBD = ∠FCB$.
∵ $∠EBD = ∠D$,
∴ 等量代换可得$∠FCB = ∠D$.
根据“同位角相等，两直线平行”，可证得$CF// DE$.
【答案】
(1)$CF// DE$;
(2)
∵ $BE$ 平分 $∠ABC$, $CF$ 平分 $∠ACB$,
∴ $∠EBD = \dfrac{1}{2}∠ABC$, $∠FCB = \dfrac{1}{2}∠ACB$. 又
∵ $∠ABC = ∠ACB$,
∴ $∠EBD = ∠FCB$.
∵ $∠EBD = ∠D$,
∴ $∠FCB = ∠D$.
∴ $CF// DE$.
【知识点】
角平分线的定义，平行线的判定，等量代换
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是结合角平分线的性质，通过等量代换得到判定平行线所需的相等同位角，能够有效考查学生对基础几何定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
20. 为了有效地使用电力资源,某市电力局从1月起进行居民峰谷用电试点,每天8:00到22:00用电,每千瓦时0.56元(“峰电”价);22:00至次日8:00用电,每千瓦时0.28元(“谷电”价),而目前不使用“峰谷”电的居民用电每千瓦时0.53元.
(1)一家庭在某月使用“峰谷”电后,付电费95.2元,经测算比不使用“峰谷”电节约10.8元,问该家庭当月使用“峰电”和“谷电”各多少千瓦时?
(2)当“峰电”用量不超过每月总用电量的百分之几时,使用“峰谷”电合算?
(1)一家庭在某月使用“峰谷”电后,付电费95.2元,经测算比不使用“峰谷”电节约10.8元,问该家庭当月使用“峰电”和“谷电”各多少千瓦时?
(2)当“峰电”用量不超过每月总用电量的百分之几时,使用“峰谷”电合算?
答案
(1)设该家庭当月使用“峰电”$x$千瓦时,“谷电”$y$千瓦时,根据题意得
$\begin{cases} 0.56x + 0.28y = 95.2, \\ (x + y) × 0.53 = 95.2 + 10.8. \end{cases}$
解这个方程组,得$\begin{cases} x = 140, \\ y = 60. \end{cases}$
故使用“峰电”140 千瓦时,使用“谷电”60 千瓦时.
(2)设该家庭当月使用“峰电”$x$千瓦时,“谷电”$y$千瓦时,那么总用电量为$(x + y)$千瓦时,当使用“峰谷电”和不使用“峰谷电”电费相同时,可得方程$0.53x + 0.53y = 0.56x + 0.28y$. 化简得 $x = \dfrac{25}{3}y$. $\therefore x + y = \dfrac{25}{3}y + y = \dfrac{28}{3}y$. 这时“峰电”用电量占每月总用电量的百分比为$\dfrac{25}{3}y:\dfrac{28}{3}y × 100\% \approx 89\%$.
所以“峰电”用量不超过每月总用电量的 89% 时,使用“峰谷电”合算.
$\begin{cases} 0.56x + 0.28y = 95.2, \\ (x + y) × 0.53 = 95.2 + 10.8. \end{cases}$
解这个方程组,得$\begin{cases} x = 140, \\ y = 60. \end{cases}$
故使用“峰电”140 千瓦时,使用“谷电”60 千瓦时.
(2)设该家庭当月使用“峰电”$x$千瓦时,“谷电”$y$千瓦时,那么总用电量为$(x + y)$千瓦时,当使用“峰谷电”和不使用“峰谷电”电费相同时,可得方程$0.53x + 0.53y = 0.56x + 0.28y$. 化简得 $x = \dfrac{25}{3}y$. $\therefore x + y = \dfrac{25}{3}y + y = \dfrac{28}{3}y$. 这时“峰电”用电量占每月总用电量的百分比为$\dfrac{25}{3}y:\dfrac{28}{3}y × 100\% \approx 89\%$.
所以“峰电”用量不超过每月总用电量的 89% 时,使用“峰谷电”合算.
解析
【分析】
(1) 第一问可通过建立二元一次方程组求解，首先提取两个核心等量关系：①峰电总费用加谷电总费用等于使用峰谷电实付的95.2元；②不使用峰谷电的总电费等于实付电费加节约的10.8元，也等于总用电量乘普通电价0.53元/千瓦时，根据这两个等量关系列方程组即可求解峰、谷电的用量。
(2) 第二问需先明确“使用峰谷电合算”的含义：使用峰谷电的总费用不高于使用普通电的总费用，我们先找到两种计费方式费用相等的临界点，计算此时峰电用量占总用电量的百分比，只要峰电用量不超过该百分比，使用峰谷电就更划算。
【解析】
(1) 设该家庭当月使用“峰电”$x$千瓦时，“谷电”$y$千瓦时，根据题意列方程组：
$\begin{cases} 0.56x + 0.28y = 95.2, \\ (x + y) × 0.53 = 95.2 + 10.8. \end{cases}$
先化简第二个方程：右边计算得$95.2+10.8=106$，因此$x+y=106÷0.53=200$，即$y=200-x$。
将$y=200-x$代入第一个方程：
$0.56x + 0.28×(200-x)=95.2$
展开计算得：$0.56x+56-0.28x=95.2$
合并同类项得：$0.28x=39.2$
解得$x=140$，则$y=200-140=60$。
(2) 设总用电量为$a$千瓦时，峰电用量为$x$千瓦时，谷电用量为$(a-x)$千瓦时，当使用峰谷电合算时，满足：
$0.56x + 0.28(a-x) ≤ 0.53a$
整理左边得：$0.28x + 0.28a ≤ 0.53a$
移项得：$0.28x ≤ 0.25a$
两边同时除以$a$（$a＞0$，不等号方向不变），得$\frac{x}{a}≤\frac{0.25}{0.28}\approx89\%$。
【答案】
(1) 使用“峰电”140千瓦时，使用“谷电”60千瓦时；
(2) 当“峰电”用量不超过每月总用电量的89%时，使用“峰谷”电合算。
【知识点】
二元一次方程组应用、不等式应用、百分率计算
【点评】
本题是生活中常见的阶梯计费类应用题，解题核心是准确梳理不同计费规则对应的数量关系，理解“合算”的含义找到费用临界点，能够有效锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.65
(1) 第一问可通过建立二元一次方程组求解，首先提取两个核心等量关系：①峰电总费用加谷电总费用等于使用峰谷电实付的95.2元；②不使用峰谷电的总电费等于实付电费加节约的10.8元，也等于总用电量乘普通电价0.53元/千瓦时，根据这两个等量关系列方程组即可求解峰、谷电的用量。
(2) 第二问需先明确“使用峰谷电合算”的含义：使用峰谷电的总费用不高于使用普通电的总费用，我们先找到两种计费方式费用相等的临界点，计算此时峰电用量占总用电量的百分比，只要峰电用量不超过该百分比，使用峰谷电就更划算。
【解析】
(1) 设该家庭当月使用“峰电”$x$千瓦时，“谷电”$y$千瓦时，根据题意列方程组：
$\begin{cases} 0.56x + 0.28y = 95.2, \\ (x + y) × 0.53 = 95.2 + 10.8. \end{cases}$
先化简第二个方程：右边计算得$95.2+10.8=106$，因此$x+y=106÷0.53=200$，即$y=200-x$。
将$y=200-x$代入第一个方程：
$0.56x + 0.28×(200-x)=95.2$
展开计算得：$0.56x+56-0.28x=95.2$
合并同类项得：$0.28x=39.2$
解得$x=140$，则$y=200-140=60$。
(2) 设总用电量为$a$千瓦时，峰电用量为$x$千瓦时，谷电用量为$(a-x)$千瓦时，当使用峰谷电合算时，满足：
$0.56x + 0.28(a-x) ≤ 0.53a$
整理左边得：$0.28x + 0.28a ≤ 0.53a$
移项得：$0.28x ≤ 0.25a$
两边同时除以$a$（$a＞0$，不等号方向不变），得$\frac{x}{a}≤\frac{0.25}{0.28}\approx89\%$。
【答案】
(1) 使用“峰电”140千瓦时，使用“谷电”60千瓦时；
(2) 当“峰电”用量不超过每月总用电量的89%时，使用“峰谷”电合算。
【知识点】
二元一次方程组应用、不等式应用、百分率计算
【点评】
本题是生活中常见的阶梯计费类应用题，解题核心是准确梳理不同计费规则对应的数量关系，理解“合算”的含义找到费用临界点，能够有效锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.65
