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一、选择题
1. 已知一个一元一次不等式在求解过程中需要改变不等号的方向，且这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，这个不等式可能是 （
A.$2x≤ 10$
B.$2x＜10$
C.$-2x≥ -10$
D.$-2x≤ -10$
1. 已知一个一元一次不等式在求解过程中需要改变不等号的方向，且这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，这个不等式可能是 （
C
）A.$2x≤ 10$
B.$2x＜10$
C.$-2x≥ -10$
D.$-2x≤ -10$
答案
1. C
解析
【分析】
首先观察数轴确定不等式的解集：数轴上5的位置是实心圆点，方向向左，因此解集为$x≤5$。再结合题目要求“求解过程中需要改变不等号的方向”，说明将不等式系数化为1时，两边同时乘或除以的是负数（依据不等式的性质：不等式两边同时乘或除以同一个负数，不等号方向改变）。接下来逐一求解四个选项的不等式，同时验证是否满足“改变不等号方向”和“解集为$x≤5$”两个条件，匹配的即为正确选项。
【解析】
第一步：确定数轴表示的解集
数轴上5处为实心圆点，折线向左延伸，因此该不等式的解集为$\boldsymbol{x ≤ 5}$，且求解时需要改变不等号方向。
第二步：逐一分析选项
A. 解$2x ≤ 10$：两边同时除以正数2，不等号方向不变，得$x ≤ 5$，虽然解集符合，但求解时未改变不等号方向，不符合要求，排除；
B. 解$2x ＜ 10$：两边同时除以正数2，不等号方向不变，得$x ＜ 5$，解集不符，且未改变不等号方向，排除；
C. 解$-2x ≥ -10$：两边同时除以负数-2，不等号方向改变，得$x ≤ 5$，既符合解集要求，也满足求解时改变不等号方向的条件，符合要求；
D. 解$-2x ≤ -10$：两边同时除以负数-2，不等号方向改变，得$x ≥ 5$，解集与数轴表示不符，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
数轴表示不等式解集；不等式的性质；一元一次不等式解法
【点评】
本题需要同时满足两个条件才能选对，一是能正确读取数轴上的不等式解集，注意实心点表示包含该点，空心点表示不包含，向左为小于、向右为大于；二是熟练掌握不等式的性质，明确只有两边同时乘除负数时才需要改变不等号方向，避免遗漏条件错选。
【难度系数】
0.7
首先观察数轴确定不等式的解集：数轴上5的位置是实心圆点，方向向左，因此解集为$x≤5$。再结合题目要求“求解过程中需要改变不等号的方向”，说明将不等式系数化为1时，两边同时乘或除以的是负数（依据不等式的性质：不等式两边同时乘或除以同一个负数，不等号方向改变）。接下来逐一求解四个选项的不等式，同时验证是否满足“改变不等号方向”和“解集为$x≤5$”两个条件，匹配的即为正确选项。
【解析】
第一步：确定数轴表示的解集
数轴上5处为实心圆点，折线向左延伸，因此该不等式的解集为$\boldsymbol{x ≤ 5}$，且求解时需要改变不等号方向。
第二步：逐一分析选项
A. 解$2x ≤ 10$：两边同时除以正数2，不等号方向不变，得$x ≤ 5$，虽然解集符合，但求解时未改变不等号方向，不符合要求，排除；
B. 解$2x ＜ 10$：两边同时除以正数2，不等号方向不变，得$x ＜ 5$，解集不符，且未改变不等号方向，排除；
C. 解$-2x ≥ -10$：两边同时除以负数-2，不等号方向改变，得$x ≤ 5$，既符合解集要求，也满足求解时改变不等号方向的条件，符合要求；
D. 解$-2x ≤ -10$：两边同时除以负数-2，不等号方向改变，得$x ≥ 5$，解集与数轴表示不符，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
数轴表示不等式解集；不等式的性质；一元一次不等式解法
【点评】
本题需要同时满足两个条件才能选对，一是能正确读取数轴上的不等式解集，注意实心点表示包含该点，空心点表示不包含，向左为小于、向右为大于；二是熟练掌握不等式的性质，明确只有两边同时乘除负数时才需要改变不等号方向，避免遗漏条件错选。
【难度系数】
0.7
2. 已知$a＞b$，若$c$是任意实数，则下列不等式中总是成立的是 （
A.$a+c ＜ b+c$
B.$a-c ＞ b-c$
C.$ac ＜ bc$
D.$ac^2 ＞ bc^2$
B
）A.$a+c ＜ b+c$
B.$a-c ＞ b-c$
C.$ac ＜ bc$
D.$ac^2 ＞ bc^2$
答案
2. B
解析
【分析】
本题考查不等式基本性质的应用，解题思路为：首先回忆不等式的三条基本性质，再逐一将每个选项结合性质验证是否恒成立，遇到含平方的选项要额外考虑参数为0的特殊情况，也可以通过代入特殊值快速排除错误选项。
【解析】
我们根据不等式的基本性质逐一判断选项：
1. 分析选项A：不等式$a＞b$两边同时加同一个实数$c$，根据“不等式两边加（或减）同一个数（或整式），不等号方向不变”，可得$a+c ＞ b+c$，故A错误。
2. 分析选项B：不等式$a＞b$两边同时减同一个实数$c$，同理根据上述性质，不等号方向不变，可得$a-c ＞ b-c$，该式对任意实数$c$都成立，故B正确。
3. 分析选项C：当$c＞0$时，不等式两边乘正数$c$，不等号方向不变，得$ac＞bc$；当$c＜0$时，乘负数$c$，不等号方向改变，得$ac＜bc$；当$c=0$时，$ac=bc$，因此该式不是总成立，故C错误。
4. 分析选项D：由平方的非负性可知$c^2≥0$，当$c≠0$时，$c^2＞0$，可得$ac^2＞bc^2$；当$c=0$时，$ac^2=bc^2=0$，因此该式不是总成立，故D错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
不等式的基本性质、平方的非负性
【点评】
本题是不等式性质的常规基础题，解题时要注意不等式两边同乘负数时不等号方向要改变，同时需重视参数取值为0的特殊情况，避免因忽略特殊值误选错误选项。
【难度系数】
0.8
本题考查不等式基本性质的应用，解题思路为：首先回忆不等式的三条基本性质，再逐一将每个选项结合性质验证是否恒成立，遇到含平方的选项要额外考虑参数为0的特殊情况，也可以通过代入特殊值快速排除错误选项。
【解析】
我们根据不等式的基本性质逐一判断选项：
1. 分析选项A：不等式$a＞b$两边同时加同一个实数$c$，根据“不等式两边加（或减）同一个数（或整式），不等号方向不变”，可得$a+c ＞ b+c$，故A错误。
2. 分析选项B：不等式$a＞b$两边同时减同一个实数$c$，同理根据上述性质，不等号方向不变，可得$a-c ＞ b-c$，该式对任意实数$c$都成立，故B正确。
3. 分析选项C：当$c＞0$时，不等式两边乘正数$c$，不等号方向不变，得$ac＞bc$；当$c＜0$时，乘负数$c$，不等号方向改变，得$ac＜bc$；当$c=0$时，$ac=bc$，因此该式不是总成立，故C错误。
4. 分析选项D：由平方的非负性可知$c^2≥0$，当$c≠0$时，$c^2＞0$，可得$ac^2＞bc^2$；当$c=0$时，$ac^2=bc^2=0$，因此该式不是总成立，故D错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
不等式的基本性质、平方的非负性
【点评】
本题是不等式性质的常规基础题，解题时要注意不等式两边同乘负数时不等号方向要改变，同时需重视参数取值为0的特殊情况，避免因忽略特殊值误选错误选项。
【难度系数】
0.8
3. 满足不等式$3x - 5 ＞ -1$的最小整数是 （
A.$-1$
B.$1$
C.$2$
D.$3$
C
）A.$-1$
B.$1$
C.$2$
D.$3$
答案
3. C
解析
【分析】
要找到满足不等式的最小整数，首先需要解出这个一元一次不等式的解集，再在解集中找出符合条件的最小整数即可。解题步骤依次为：先对不等式进行移项，合并常数项，再将x的系数化为1得到解集，最后从解集中筛选最小整数。
【解析】
解不等式$3x - 5 ＞ -1$：
第一步，移项，将常数项移到不等号右侧，得：$3x ＞ -1 + 5$
第二步，合并右侧的常数项，得：$3x ＞ 4$
第三步，系数化为1，不等号两侧同时除以3，不等号方向不变，得：$x ＞ \frac{4}{3}$（即$x＞1.\dot{3}$）
大于$1.\dot{3}$的最小整数是2，因此满足不等式的最小整数是2。
【答案】
C
【知识点】
一元一次不等式的解法；不等式的整数解
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是正确求出一元一次不等式的解集，再根据题意找出对应的整数解，计算时注意移项要变号、系数化为1时不等号方向的变化规则。
【难度系数】
0.9
要找到满足不等式的最小整数，首先需要解出这个一元一次不等式的解集，再在解集中找出符合条件的最小整数即可。解题步骤依次为：先对不等式进行移项，合并常数项，再将x的系数化为1得到解集，最后从解集中筛选最小整数。
【解析】
解不等式$3x - 5 ＞ -1$：
第一步，移项，将常数项移到不等号右侧，得：$3x ＞ -1 + 5$
第二步，合并右侧的常数项，得：$3x ＞ 4$
第三步，系数化为1，不等号两侧同时除以3，不等号方向不变，得：$x ＞ \frac{4}{3}$（即$x＞1.\dot{3}$）
大于$1.\dot{3}$的最小整数是2，因此满足不等式的最小整数是2。
【答案】
C
【知识点】
一元一次不等式的解法；不等式的整数解
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是正确求出一元一次不等式的解集，再根据题意找出对应的整数解，计算时注意移项要变号、系数化为1时不等号方向的变化规则。
【难度系数】
0.9
4. 在平面直角坐标系中，如果点$P(x,y)$的横、纵坐标满足$2x+3＜2$，$-3y+5＜4$，那么点$P$所在的象限是 （
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
B
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
4. B
解析
【分析】
要判断点P所在的象限，首先需要分别解两个一元一次不等式，得到x和y的正负性，再结合各象限内点的横、纵坐标的符号特征，就能确定点P的位置。解题思路分为三步：第一步解关于x的不等式，确定x的符号；第二步解关于y的不等式，确定y的符号；第三步对照象限坐标符号规则判断对应的象限。
【解析】
首先解关于x的不等式：
$2x + 3 ＜ 2$
移项得：$2x ＜ 2 - 3$
计算得：$2x ＜ -1$
两边同时除以2得：$x ＜ -\frac{1}{2}$，可得x为负数。
再解关于y的不等式：
$-3y + 5 ＜ 4$
移项得：$-3y ＜ 4 - 5$
计算得：$-3y ＜ -1$
两边同时除以-3，不等号方向改变：$y ＞ \frac{1}{3}$，可得y为正数。
根据象限坐标符号特征：第二象限内的点横坐标为负、纵坐标为正，因此点P在第二象限。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式的解法；象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，将一元一次不等式求解和象限坐标符号两个知识点结合考查，解题的关键是正确求解不等式，尤其要注意不等式两边同时除以负数时需要改变不等号的方向，牢记各象限点的坐标正负规律就能快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断点P所在的象限，首先需要分别解两个一元一次不等式，得到x和y的正负性，再结合各象限内点的横、纵坐标的符号特征，就能确定点P的位置。解题思路分为三步：第一步解关于x的不等式，确定x的符号；第二步解关于y的不等式，确定y的符号；第三步对照象限坐标符号规则判断对应的象限。
【解析】
首先解关于x的不等式：
$2x + 3 ＜ 2$
移项得：$2x ＜ 2 - 3$
计算得：$2x ＜ -1$
两边同时除以2得：$x ＜ -\frac{1}{2}$，可得x为负数。
再解关于y的不等式：
$-3y + 5 ＜ 4$
移项得：$-3y ＜ 4 - 5$
计算得：$-3y ＜ -1$
两边同时除以-3，不等号方向改变：$y ＞ \frac{1}{3}$，可得y为正数。
根据象限坐标符号特征：第二象限内的点横坐标为负、纵坐标为正，因此点P在第二象限。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式的解法；象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，将一元一次不等式求解和象限坐标符号两个知识点结合考查，解题的关键是正确求解不等式，尤其要注意不等式两边同时除以负数时需要改变不等号的方向，牢记各象限点的坐标正负规律就能快速解题。
【难度系数】
0.8
5. 若$k＜\sqrt{90}＜k+1$（k是整数），则$k=$（
A.6
B.7
C.8
D.9
D
）A.6
B.7
C.8
D.9
答案
5. D
解析
【分析】
要确定整数k的值，核心是估算出$\sqrt{90}$在哪两个相邻的整数之间。我们可以先找到和90相邻的两个正的完全平方数，再根据算术平方根的性质，对这三个数同时开算术平方根，就能得到$\sqrt{90}$的取值范围，进而对应求出k的值。
【解析】
先计算与90相邻的完全平方数：
∵ $9^2=81$，$10^2=100$，且$81＜90＜100$
∴ 根据算术平方根的性质，可得$\sqrt{81}＜\sqrt{90}＜\sqrt{100}$
即$9＜\sqrt{90}＜10$
又
∵$k＜\sqrt{90}＜k+1$（k是整数）
∴ $k=9$
【答案】
D
【知识点】
1. 无理数大小估算
2. 算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是找到与被开方数相邻的两个完全平方数，进而确定无理数的整数区间，掌握这种估算方法是解决同类问题的核心。
【难度系数】
0.9
要确定整数k的值，核心是估算出$\sqrt{90}$在哪两个相邻的整数之间。我们可以先找到和90相邻的两个正的完全平方数，再根据算术平方根的性质，对这三个数同时开算术平方根，就能得到$\sqrt{90}$的取值范围，进而对应求出k的值。
【解析】
先计算与90相邻的完全平方数：
∵ $9^2=81$，$10^2=100$，且$81＜90＜100$
∴ 根据算术平方根的性质，可得$\sqrt{81}＜\sqrt{90}＜\sqrt{100}$
即$9＜\sqrt{90}＜10$
又
∵$k＜\sqrt{90}＜k+1$（k是整数）
∴ $k=9$
【答案】
D
【知识点】
1. 无理数大小估算
2. 算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是找到与被开方数相邻的两个完全平方数，进而确定无理数的整数区间，掌握这种估算方法是解决同类问题的核心。
【难度系数】
0.9
6. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成解一元一次不等式，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并按前一人所给的式子进行下一步计算，再将结果传递给下一人，每人只做一步，最后完成化简.四名同学完成一次游戏的过程如图所示，自己负责的一步出现错误的同学是 （
老师：$\frac{x}{6} ＞ 1 - \frac{x-2}{3}$
甲：$x ＞ 6 - 2x -4$
乙：$x-2$
$6-4$
丙：$-x ＞ 2$
丁：$x ＜ -2$
A.只有乙
B.甲和乙
C.乙和丙
D.乙和丁
B
）老师：$\frac{x}{6} ＞ 1 - \frac{x-2}{3}$
甲：$x ＞ 6 - 2x -4$
乙：$x-2$
$6-4$丙：$-x ＞ 2$
丁：$x ＜ -2$
A.只有乙
B.甲和乙
C.乙和丙
D.乙和丁
答案
6. B
解析
【分析】
要判断哪名同学的步骤出错，需按照解一元一次不等式的正确步骤，依次核对每人的计算：首先回忆解一元一次不等式的常规步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，每一步要注意符号变化规则，逐人核对即可找到出错的步骤。
【解析】
我们逐步核对每一步的正确性：
1. 核对甲的步骤：老师给出的原式为$\frac{x}{6} ＞ 1-\frac{x-2}{3}$，去分母时两边同时乘6，得$x ＞ 6 - 2(x-2)$，去括号后应为$x＞6-2x+4$，但甲得到的是$x＞6-2x-4$，去括号时符号错误，因此甲的步骤出错。
2. 核对乙的步骤：甲传递给乙的式子是$x＞6-2x-4$，下一步应移项，将含$x$的项移到左边，$-2x$移到左边要变号为$+2x$，正确应为$x+2x＞6-4$，但乙得到的是$x-2x＞6-4$，移项未变号，因此乙的步骤出错。
3. 核对丙的步骤：乙传递给丙的式子是$x-2x＞6-4$，合并同类项左边$x-2x=-x$，右边$6-4=2$，得到$-x＞2$，丙的步骤正确。
4. 核对丁的步骤：丙传递给丁的式子是$-x＞2$，系数化为1时两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得到$x＜-2$，丁的步骤正确。
因此出现错误的是甲和乙。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式的解法，去括号法则，移项规则
【点评】
本题考查解一元一次不等式过程中的易错点，解题时要格外注意去括号时的符号变化、移项要变号、系数化为1时若乘除负数不等号方向要改变，避免因步骤不规范出错。
【难度系数】
0.7
要判断哪名同学的步骤出错，需按照解一元一次不等式的正确步骤，依次核对每人的计算：首先回忆解一元一次不等式的常规步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，每一步要注意符号变化规则，逐人核对即可找到出错的步骤。
【解析】
我们逐步核对每一步的正确性：
1. 核对甲的步骤：老师给出的原式为$\frac{x}{6} ＞ 1-\frac{x-2}{3}$，去分母时两边同时乘6，得$x ＞ 6 - 2(x-2)$，去括号后应为$x＞6-2x+4$，但甲得到的是$x＞6-2x-4$，去括号时符号错误，因此甲的步骤出错。
2. 核对乙的步骤：甲传递给乙的式子是$x＞6-2x-4$，下一步应移项，将含$x$的项移到左边，$-2x$移到左边要变号为$+2x$，正确应为$x+2x＞6-4$，但乙得到的是$x-2x＞6-4$，移项未变号，因此乙的步骤出错。
3. 核对丙的步骤：乙传递给丙的式子是$x-2x＞6-4$，合并同类项左边$x-2x=-x$，右边$6-4=2$，得到$-x＞2$，丙的步骤正确。
4. 核对丁的步骤：丙传递给丁的式子是$-x＞2$，系数化为1时两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得到$x＜-2$，丁的步骤正确。
因此出现错误的是甲和乙。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式的解法，去括号法则，移项规则
【点评】
本题考查解一元一次不等式过程中的易错点，解题时要格外注意去括号时的符号变化、移项要变号、系数化为1时若乘除负数不等号方向要改变，避免因步骤不规范出错。
【难度系数】
0.7
7. 在平面直角坐标系中，已知点$M(1-2m, m-1)$位于第三象限，则$m$的取值范围在数轴上的表示正确的是（
C
）答案
7. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确第三象限内点的坐标特征：横坐标小于0，纵坐标也小于0。我们先根据这个特征列出关于m的一元一次不等式组，再分别解每个不等式，取两个解集的公共部分得到m的取值范围，最后对照数轴的表示规则（空心圆圈表示不包含该点，大于向右画线、小于向左画线）判断正确选项即可。
【解析】
已知点$M(1-2m, m-1)$位于第三象限，根据第三象限点的坐标特征可列不等式组：
$\begin{cases}1-2m ＜ 0 \quad ① \\m-1 ＜ 0 \quad ②\end{cases}$
解不等式①：移项得$-2m ＜ -1$，两边同时除以负数$-2$，不等号方向改变，解得$m ＞ 0.5$；
解不等式②：移项得$m ＜ 1$；
因此不等式组的解集为$0.5 ＜ m ＜ 1$。
在数轴上表示该解集：在0.5和1的位置画空心圆圈，0.5处向右画线，1处向左画线，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
第三象限点的坐标特征、解一元一次不等式组、解集的数轴表示
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是准确根据象限特征列出不等式组，需要注意解不等式时除以负数不等号方向要改变，数轴表示时要正确区分空心/实心点、画线方向。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确第三象限内点的坐标特征：横坐标小于0，纵坐标也小于0。我们先根据这个特征列出关于m的一元一次不等式组，再分别解每个不等式，取两个解集的公共部分得到m的取值范围，最后对照数轴的表示规则（空心圆圈表示不包含该点，大于向右画线、小于向左画线）判断正确选项即可。
【解析】
已知点$M(1-2m, m-1)$位于第三象限，根据第三象限点的坐标特征可列不等式组：
$\begin{cases}1-2m ＜ 0 \quad ① \\m-1 ＜ 0 \quad ②\end{cases}$
解不等式①：移项得$-2m ＜ -1$，两边同时除以负数$-2$，不等号方向改变，解得$m ＞ 0.5$；
解不等式②：移项得$m ＜ 1$；
因此不等式组的解集为$0.5 ＜ m ＜ 1$。
在数轴上表示该解集：在0.5和1的位置画空心圆圈，0.5处向右画线，1处向左画线，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
第三象限点的坐标特征、解一元一次不等式组、解集的数轴表示
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是准确根据象限特征列出不等式组，需要注意解不等式时除以负数不等号方向要改变，数轴表示时要正确区分空心/实心点、画线方向。
【难度系数】
0.7
