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1 [2025 山东滨州期末,中]如图所示,杠杆MN可绕O点转动,A、B、C、D是四个吊环,O点到B环所在竖直线的距离为O点到D环所在竖直线的距离的一半,父子俩在吊环上做游戏,质量为40 kg的儿子抓着B环双脚离地,父亲站在地面上抓着D环(g取10 N/kg)。
(1)若不计杠杆和吊环的重力以及转轴间的摩擦,为使杠杆在水平位置平衡,父亲要用多大的力竖直向下拉吊环D?
(2)若父亲实际使用竖直向下的拉力为250 N,在4 s内将儿子匀速拉高了0.4 m,则父亲做了多少功?(三角分别相等的两个三角形为相似三角形,相似三角形对应的边成比例)
(3)(2)中父亲提升儿子的过程中,该器材的机械效率为多少?
(1)若不计杠杆和吊环的重力以及转轴间的摩擦,为使杠杆在水平位置平衡,父亲要用多大的力竖直向下拉吊环D?
(2)若父亲实际使用竖直向下的拉力为250 N,在4 s内将儿子匀速拉高了0.4 m,则父亲做了多少功?(三角分别相等的两个三角形为相似三角形,相似三角形对应的边成比例)
(3)(2)中父亲提升儿子的过程中,该器材的机械效率为多少?
答案
1.【解】(1)设父亲竖直向下的拉力为$F_{1}$,已知
$OB'=\frac {1}{2}OD'$,根据杠杆平衡条件可得$F_{1}×$
$OD'=mg×OB'$,则$F_{1}=\frac {40kg×10N/kg×\frac {1}{2}OD'}{OD'}=$
200 N。(2)根据数学知识可得,$\frac {s_{父亲}}{s_{儿子}}=\frac {OD'}{OB'}=$
2,所以,父亲拉力端移动的距离$s_{父亲}=2s_{儿子}=$
0.8 m,父亲做的功$W_{总}=F_{1}'s_{父亲}=250N×$
$0.8m=200J$。(3)(2)中父亲用该器材提升
儿子的过程中,所做的有用功$W_{有用}=$
$Gs_{儿子}=mgs_{儿子}=40kg×10N/kg×0.4m=$
160 J,该器材的机械效率$\eta =\frac {W_{有用}}{W_{总}}=$
$\frac {160J}{200J}=80\% $。
$OB'=\frac {1}{2}OD'$,根据杠杆平衡条件可得$F_{1}×$
$OD'=mg×OB'$,则$F_{1}=\frac {40kg×10N/kg×\frac {1}{2}OD'}{OD'}=$
200 N。(2)根据数学知识可得,$\frac {s_{父亲}}{s_{儿子}}=\frac {OD'}{OB'}=$
2,所以,父亲拉力端移动的距离$s_{父亲}=2s_{儿子}=$
0.8 m,父亲做的功$W_{总}=F_{1}'s_{父亲}=250N×$
$0.8m=200J$。(3)(2)中父亲用该器材提升
儿子的过程中,所做的有用功$W_{有用}=$
$Gs_{儿子}=mgs_{儿子}=40kg×10N/kg×0.4m=$
160 J,该器材的机械效率$\eta =\frac {W_{有用}}{W_{总}}=$
$\frac {160J}{200J}=80\% $。
解析
【分析】
这是一道杠杆与功、机械效率结合的力学综合题，我们可以分三步梳理解题思路：
1. 第一问求父亲的拉力：首先确定杠杆支点为O，儿子的重力是作用在B端的阻力，对应阻力臂为OB'，父亲的拉力是作用在D端的动力，对应动力臂为OD'，题目已知OB'是OD'的1/2，先算出儿子的重力，直接代入杠杆平衡条件即可求出拉力。
2. 第二问求父亲做的总功：杠杆绕O转动时，B点上升的距离和D点下降的距离满足相似三角形的比例关系，距离比值等于对应力臂的比值，由此可算出父亲拉力端移动的距离，再代入功的计算公式W=Fs就能得到总功。
3. 第三问求机械效率：提升儿子的过程中，有用功是克服儿子重力做的功，算出有用功后，代入机械效率的定义式η=W有/W总即可得到结果。
【解析】
(1) 先计算儿子的重力：
$G=mg=40\ \mathrm{kg} × 10\ \mathrm{N/kg}=400\ \mathrm{N}$
设父亲竖直向下的拉力为$F_1$，根据杠杆平衡条件$F_1L_1=F_2L_2$，动力臂$L_1=OD'$，阻力$F_2=G$，阻力臂$L_2=OB'$，已知$OB'=\frac{1}{2}OD'$，代入得：
$F_1 × OD' = G × OB'$
$F_1=\frac{G × OB'}{OD'}=\frac{400\ \mathrm{N} × \frac{1}{2}OD'}{OD'}=200\ \mathrm{N}$
(2) 根据相似三角形对应边成比例的性质，可得两端移动距离的关系：$\frac{s_{\mathrm{父亲}}}{s_{\mathrm{儿子}}}=\frac{OD'}{OB'}=2$
已知儿子被拉高$s_{\mathrm{儿子}}=0.4\ \mathrm{m}$，因此父亲拉力端移动的距离：
$s_{\mathrm{父亲}}=2s_{\mathrm{儿子}}=2 × 0.4\ \mathrm{m}=0.8\ \mathrm{m}$
父亲做的总功：
$W_{\mathrm{总}}=F's_{\mathrm{父亲}}=250\ \mathrm{N} × 0.8\ \mathrm{m}=200\ \mathrm{J}$
(3) 提升儿子过程中做的有用功为克服儿子重力做的功：
$W_{\mathrm{有用}}=Gs_{\mathrm{儿子}}=400\ \mathrm{N} × 0.4\ \mathrm{m}=160\ \mathrm{J}$
该器材的机械效率：
$\eta=\frac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{总}}} × 100\%=\frac{160\ \mathrm{J}}{200\ \mathrm{J}} × 100\%=80\%$
【答案】
(1) 父亲要用200N的力竖直向下拉吊环D；(2) 父亲做的功为200J；(3) 该器材的机械效率为80%
【知识点】
杠杆平衡条件，功的计算，机械效率
【点评】
本题属于中等难度的力学综合题，将杠杆平衡规律、几何相似三角形性质、功和机械效率的计算结合起来，考察学生跨知识点的应用能力，其中利用相似三角形推导杠杆两端移动距离的比例关系是本题的易错点，理清力臂和运动距离的对应关系、准确区分有用功和总功即可顺利完成求解。
【难度系数】
0.6
这是一道杠杆与功、机械效率结合的力学综合题，我们可以分三步梳理解题思路：
1. 第一问求父亲的拉力：首先确定杠杆支点为O，儿子的重力是作用在B端的阻力，对应阻力臂为OB'，父亲的拉力是作用在D端的动力，对应动力臂为OD'，题目已知OB'是OD'的1/2，先算出儿子的重力，直接代入杠杆平衡条件即可求出拉力。
2. 第二问求父亲做的总功：杠杆绕O转动时，B点上升的距离和D点下降的距离满足相似三角形的比例关系，距离比值等于对应力臂的比值，由此可算出父亲拉力端移动的距离，再代入功的计算公式W=Fs就能得到总功。
3. 第三问求机械效率：提升儿子的过程中，有用功是克服儿子重力做的功，算出有用功后，代入机械效率的定义式η=W有/W总即可得到结果。
【解析】
(1) 先计算儿子的重力：
$G=mg=40\ \mathrm{kg} × 10\ \mathrm{N/kg}=400\ \mathrm{N}$
设父亲竖直向下的拉力为$F_1$，根据杠杆平衡条件$F_1L_1=F_2L_2$，动力臂$L_1=OD'$，阻力$F_2=G$，阻力臂$L_2=OB'$，已知$OB'=\frac{1}{2}OD'$，代入得：
$F_1 × OD' = G × OB'$
$F_1=\frac{G × OB'}{OD'}=\frac{400\ \mathrm{N} × \frac{1}{2}OD'}{OD'}=200\ \mathrm{N}$
(2) 根据相似三角形对应边成比例的性质，可得两端移动距离的关系：$\frac{s_{\mathrm{父亲}}}{s_{\mathrm{儿子}}}=\frac{OD'}{OB'}=2$
已知儿子被拉高$s_{\mathrm{儿子}}=0.4\ \mathrm{m}$，因此父亲拉力端移动的距离：
$s_{\mathrm{父亲}}=2s_{\mathrm{儿子}}=2 × 0.4\ \mathrm{m}=0.8\ \mathrm{m}$
父亲做的总功：
$W_{\mathrm{总}}=F's_{\mathrm{父亲}}=250\ \mathrm{N} × 0.8\ \mathrm{m}=200\ \mathrm{J}$
(3) 提升儿子过程中做的有用功为克服儿子重力做的功：
$W_{\mathrm{有用}}=Gs_{\mathrm{儿子}}=400\ \mathrm{N} × 0.4\ \mathrm{m}=160\ \mathrm{J}$
该器材的机械效率：
$\eta=\frac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{总}}} × 100\%=\frac{160\ \mathrm{J}}{200\ \mathrm{J}} × 100\%=80\%$
【答案】
(1) 父亲要用200N的力竖直向下拉吊环D；(2) 父亲做的功为200J；(3) 该器材的机械效率为80%
【知识点】
杠杆平衡条件，功的计算，机械效率
【点评】
本题属于中等难度的力学综合题，将杠杆平衡规律、几何相似三角形性质、功和机械效率的计算结合起来，考察学生跨知识点的应用能力，其中利用相似三角形推导杠杆两端移动距离的比例关系是本题的易错点，理清力臂和运动距离的对应关系、准确区分有用功和总功即可顺利完成求解。
【难度系数】
0.6
2 [2023 四川眉山中考,中]如图所示,工人用滑轮组提升重物,已知重物重力$G_{物}=1\ 000\ \mathrm{N}$,动滑轮重力$G_{动}=200\ \mathrm{N}$。在工人用力F作用下,重物匀速上升,30 s达到规定高度6 m处。不计绳重和机械之间的摩擦。
(1)求拉力做功的功率。
(2)求滑轮组的机械效率。(结果保留到0.1%)
(3)若用该装置提升另一重物时,机械效率达到90%,则该重物的重力是多少?
(1)求拉力做功的功率。
(2)求滑轮组的机械效率。(结果保留到0.1%)
(3)若用该装置提升另一重物时,机械效率达到90%,则该重物的重力是多少?
答案
2.【解】(1)有用功为$W_{有用}=G_{物}h=1000N×6m=$
6 000 J;额外功为$W_{额}=G_{动}h=200N×6m=$
1 200 J;不计绳重和机械之间的摩擦,总功为
$W_{总}=W_{有用}+W_{额}=6000J+1200J=7200J$;拉
力做功的功率为$P=\frac {W_{总}}{t}=\frac {7200J}{30s}=240W$。
(2)滑轮组的机械效率为$\eta =\frac {W_{有用}}{W_{总}}=\frac {6000J}{7200J}\approx $
83.3%。
(3)不计绳重和机械之间的摩擦,根据$\eta =$
$\frac {W_{有用}}{W_{总}}=\frac {G_{物}h}{G_{物}h+G_{动}h}=\frac {G_{物}}{G_{物}+G_{动}}$可知,机械效率达
到90%时,有$90\% =\frac {G_{物}'}{G_{物}'+200N}$,解得$G_{物}'=$
1 800 N。
6 000 J;额外功为$W_{额}=G_{动}h=200N×6m=$
1 200 J;不计绳重和机械之间的摩擦,总功为
$W_{总}=W_{有用}+W_{额}=6000J+1200J=7200J$;拉
力做功的功率为$P=\frac {W_{总}}{t}=\frac {7200J}{30s}=240W$。
(2)滑轮组的机械效率为$\eta =\frac {W_{有用}}{W_{总}}=\frac {6000J}{7200J}\approx $
83.3%。
(3)不计绳重和机械之间的摩擦,根据$\eta =$
$\frac {W_{有用}}{W_{总}}=\frac {G_{物}h}{G_{物}h+G_{动}h}=\frac {G_{物}}{G_{物}+G_{动}}$可知,机械效率达
到90%时,有$90\% =\frac {G_{物}'}{G_{物}'+200N}$,解得$G_{物}'=$
1 800 N。
解析
【分析】
首先梳理已知条件：题目给出重物重力、动滑轮重力、重物上升高度、做功时间，且明确不计绳重和机械之间的摩擦，说明额外功仅来自提升动滑轮所做的功。
解题思路：
1. 第一问求拉力做功的功率，功率的定义是总功除以做功时间，因此先分别计算提升重物的有用功、提升动滑轮的额外功，两者相加得到总功，再代入功率公式即可算出结果，无需额外数滑轮组承担物重的绳子段数，利用总功等于有用功加额外功的关系就能快速求解。
2. 第二问求滑轮组的机械效率，直接套用机械效率的定义式：有用功除以总功，代入前一步算出的数值，按要求保留到0.1%即可。
3. 第三问，不计绳重和摩擦时，机械效率公式可以简化推导：$\eta=\frac{W_{有}}{W_{总}}=\frac{G_{物}h}{G_{物}h+G_{动}h}$，h可以直接约去，得到$\eta=\frac{G_{物}}{G_{物}+G_{动}}$，将90%的机械效率和已知的动滑轮重力代入公式，解方程就能求出对应重物的重力。
【解析】
解：
(1) 提升重物做的有用功：
$W_{有用}=G_{物}h=1000\ \mathrm{N} × 6\ \mathrm{m}=6000\ \mathrm{J}$
不计绳重和机械摩擦，额外功为提升动滑轮做的功：
$W_{额}=G_{动}h=200\ \mathrm{N} × 6\ \mathrm{m}=1200\ \mathrm{J}$
拉力做的总功为有用功与额外功之和：
$W_{总}=W_{有用}+W_{额}=6000\ \mathrm{J}+1200\ \mathrm{J}=7200\ \mathrm{J}$
拉力做功的功率：
$P=\frac{W_{总}}{t}=\frac{7200\ \mathrm{J}}{30\ \mathrm{s}}=240\ \mathrm{W}$
(2) 滑轮组的机械效率：
$\eta =\frac {W_{有用}}{W_{总}}=\frac {6000\ \mathrm{J}}{7200\ \mathrm{J}}\approx 83.3\%$
(3) 不计绳重和机械摩擦，机械效率可推导为：
$\eta =\frac {W_{有用}}{W_{总}}=\frac {G_{物}h}{G_{物}h+G_{动}h}=\frac {G_{物}}{G_{物}+G_{动}}$
当机械效率$\eta'=90\%$时，代入得：
$90\% =\frac {G_{物}'}{G_{物}'+200\ \mathrm{N}}$
解得：$G_{物}'=1800\ \mathrm{N}$
【答案】
(1) 拉力做功的功率为$\boldsymbol{240\ \mathrm{W}}$；
(2) 滑轮组的机械效率约为$\boldsymbol{83.3\%}$；
(3) 该重物的重力为$\boldsymbol{1800\ \mathrm{N}}$。
【知识点】
滑轮组功计算，机械效率计算，功率计算
【点评】
本题是滑轮组相关的常规中考中等题，重点考察不计绳重和摩擦条件下的功、功率、机械效率的计算，利用总功等于有用功加额外功的关系可以跳过数绳子段数的步骤简化运算，推导得到的不含高度h的机械效率公式也能快速求解第三问，整体计算难度不大，需要学生牢记相关公式的适用条件。
【难度系数】
0.7
首先梳理已知条件：题目给出重物重力、动滑轮重力、重物上升高度、做功时间，且明确不计绳重和机械之间的摩擦，说明额外功仅来自提升动滑轮所做的功。
解题思路：
1. 第一问求拉力做功的功率，功率的定义是总功除以做功时间，因此先分别计算提升重物的有用功、提升动滑轮的额外功，两者相加得到总功，再代入功率公式即可算出结果，无需额外数滑轮组承担物重的绳子段数，利用总功等于有用功加额外功的关系就能快速求解。
2. 第二问求滑轮组的机械效率，直接套用机械效率的定义式：有用功除以总功，代入前一步算出的数值，按要求保留到0.1%即可。
3. 第三问，不计绳重和摩擦时，机械效率公式可以简化推导：$\eta=\frac{W_{有}}{W_{总}}=\frac{G_{物}h}{G_{物}h+G_{动}h}$，h可以直接约去，得到$\eta=\frac{G_{物}}{G_{物}+G_{动}}$，将90%的机械效率和已知的动滑轮重力代入公式，解方程就能求出对应重物的重力。
【解析】
解：
(1) 提升重物做的有用功：
$W_{有用}=G_{物}h=1000\ \mathrm{N} × 6\ \mathrm{m}=6000\ \mathrm{J}$
不计绳重和机械摩擦，额外功为提升动滑轮做的功：
$W_{额}=G_{动}h=200\ \mathrm{N} × 6\ \mathrm{m}=1200\ \mathrm{J}$
拉力做的总功为有用功与额外功之和：
$W_{总}=W_{有用}+W_{额}=6000\ \mathrm{J}+1200\ \mathrm{J}=7200\ \mathrm{J}$
拉力做功的功率：
$P=\frac{W_{总}}{t}=\frac{7200\ \mathrm{J}}{30\ \mathrm{s}}=240\ \mathrm{W}$
(2) 滑轮组的机械效率：
$\eta =\frac {W_{有用}}{W_{总}}=\frac {6000\ \mathrm{J}}{7200\ \mathrm{J}}\approx 83.3\%$
(3) 不计绳重和机械摩擦，机械效率可推导为：
$\eta =\frac {W_{有用}}{W_{总}}=\frac {G_{物}h}{G_{物}h+G_{动}h}=\frac {G_{物}}{G_{物}+G_{动}}$
当机械效率$\eta'=90\%$时，代入得：
$90\% =\frac {G_{物}'}{G_{物}'+200\ \mathrm{N}}$
解得：$G_{物}'=1800\ \mathrm{N}$
【答案】
(1) 拉力做功的功率为$\boldsymbol{240\ \mathrm{W}}$；
(2) 滑轮组的机械效率约为$\boldsymbol{83.3\%}$；
(3) 该重物的重力为$\boldsymbol{1800\ \mathrm{N}}$。
【知识点】
滑轮组功计算，机械效率计算，功率计算
【点评】
本题是滑轮组相关的常规中考中等题，重点考察不计绳重和摩擦条件下的功、功率、机械效率的计算，利用总功等于有用功加额外功的关系可以跳过数绳子段数的步骤简化运算，推导得到的不含高度h的机械效率公式也能快速求解第三问，整体计算难度不大，需要学生牢记相关公式的适用条件。
【难度系数】
0.7
3 [2024 广东东莞调研,中]如图甲所示,用滑轮组提升重为600 N的物体,物体在拉力F的作用下20 s内匀速上升了8 m。此过程中,拉力F做的功W随时间t的变化图像如图乙所示。求:
(1)拉力F的功率;
(2)滑轮组的机械效率。
(1)拉力F的功率;
(2)滑轮组的机械效率。
答案
3.【解】(1)由图乙知,20 s内拉力做的总功为$W=$
6 000 J,所以拉力F的功率为$P=\frac {W}{t}=\frac {6000J}{20s}=$
300 W;(2)克服物体的重力做的有用功为$W_{有用}=$
$Gh=600N×8m=4800J$,滑轮组的机械效率
为$\eta =\frac {W_{有用}}{W}=\frac {4800J}{6000J}=80\% $。
6 000 J,所以拉力F的功率为$P=\frac {W}{t}=\frac {6000J}{20s}=$
300 W;(2)克服物体的重力做的有用功为$W_{有用}=$
$Gh=600N×8m=4800J$,滑轮组的机械效率
为$\eta =\frac {W_{有用}}{W}=\frac {4800J}{6000J}=80\% $。
解析
【分析】
首先梳理解题思路：①求拉力的功率，根据功率的定义式P=W/t，只需要找到对应时间内拉力做的总功即可，直接从图乙的W-t图像中读取20s对应的总功数值，代入公式就能算出拉力的功率，不需要额外推导拉力大小。②求滑轮组的机械效率，机械效率的定义是有用功与总功的比值，这里的有用功是克服物体重力做的功，已知物体重力和上升高度，用W有用=Gh即可算出有用功，总功已经从图像中获取，代入效率公式就能得到结果，整个过程不需要额外推导滑轮组的绳子段数，直接提取图像信息就能简化计算。
【解析】
(1) 由图乙的W-t图像可知，20s内拉力F做的总功$W_{总}=6000\ \mathrm{J}$，
根据功率的计算公式，拉力F的功率：
$P=\frac{W_{总}}{t}=\frac{6000\ \mathrm{J}}{20\ \mathrm{s}}=300\ \mathrm{W}$
(2) 提升物体过程中，克服物体重力做的功为有用功，已知物体重力$G=600\ \mathrm{N}$，上升高度$h=8\ \mathrm{m}$，
则有用功：
$W_{有用}=Gh=600\ \mathrm{N} × 8\ \mathrm{m}=4800\ \mathrm{J}$
根据滑轮组机械效率的定义，机械效率：
$\eta=\frac{W_{有用}}{W_{总}} × 100\%=\frac{4800\ \mathrm{J}}{6000\ \mathrm{J}} × 100\%=80\%$
【答案】
(1) 拉力F的功率为300 W；(2) 滑轮组的机械效率为80%。
【知识点】
功率的计算，有用功与总功，滑轮组机械效率
【点评】
本题结合滑轮组装置和功-时间图像考察功、功率、机械效率的基础计算，无需推导滑轮组的绳子段数，直接从图像提取总功数据即可完成计算，重点考察学生的图像信息读取能力和核心公式的应用能力，属于滑轮组相关计算的常规典型题，难度适中。
【难度系数】
0.7
首先梳理解题思路：①求拉力的功率，根据功率的定义式P=W/t，只需要找到对应时间内拉力做的总功即可，直接从图乙的W-t图像中读取20s对应的总功数值，代入公式就能算出拉力的功率，不需要额外推导拉力大小。②求滑轮组的机械效率，机械效率的定义是有用功与总功的比值，这里的有用功是克服物体重力做的功，已知物体重力和上升高度，用W有用=Gh即可算出有用功，总功已经从图像中获取，代入效率公式就能得到结果，整个过程不需要额外推导滑轮组的绳子段数，直接提取图像信息就能简化计算。
【解析】
(1) 由图乙的W-t图像可知，20s内拉力F做的总功$W_{总}=6000\ \mathrm{J}$，
根据功率的计算公式，拉力F的功率：
$P=\frac{W_{总}}{t}=\frac{6000\ \mathrm{J}}{20\ \mathrm{s}}=300\ \mathrm{W}$
(2) 提升物体过程中，克服物体重力做的功为有用功，已知物体重力$G=600\ \mathrm{N}$，上升高度$h=8\ \mathrm{m}$，
则有用功：
$W_{有用}=Gh=600\ \mathrm{N} × 8\ \mathrm{m}=4800\ \mathrm{J}$
根据滑轮组机械效率的定义，机械效率：
$\eta=\frac{W_{有用}}{W_{总}} × 100\%=\frac{4800\ \mathrm{J}}{6000\ \mathrm{J}} × 100\%=80\%$
【答案】
(1) 拉力F的功率为300 W；(2) 滑轮组的机械效率为80%。
【知识点】
功率的计算，有用功与总功，滑轮组机械效率
【点评】
本题结合滑轮组装置和功-时间图像考察功、功率、机械效率的基础计算，无需推导滑轮组的绳子段数，直接从图像提取总功数据即可完成计算，重点考察学生的图像信息读取能力和核心公式的应用能力，属于滑轮组相关计算的常规典型题，难度适中。
【难度系数】
0.7
