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1. (2025·常州期中)一元二次方程 $x^{2}+x-3=0$ 的根的情况是（
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
答案
1. A
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，不需要直接求解方程，利用根的判别式即可快速判定。首先先对应一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，从给定方程里找出系数a、b、c，接着代入判别式$\Delta = b^2-4ac$算出数值，最后对照判别式的取值规则：$\Delta＞0$有两个不等实根、$\Delta=0$有两个相等实根、$\Delta＜0$没有实根，就能选出正确选项。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$：
1. 对应本题方程$x^2+x-3=0$，可得系数$a=1$，$b=1$，$c=-3$；
2. 代入判别式计算：$\Delta = 1^2 - 4×1×(-3) = 1 + 12 = 13$；
3. 由于$\Delta=13＞0$，因此该一元二次方程有两个不相等的实数根。
所以本题选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根的情况判定
【点评】
本题是一元二次方程章节的基础题，直接考察根的判别式的基础应用，无需解方程即可完成判断，解题时要注意常数项c的正负符号，避免代入计算判别式时出现符号失误。
【难度系数】
0.9
要判断一元二次方程根的情况，不需要直接求解方程，利用根的判别式即可快速判定。首先先对应一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，从给定方程里找出系数a、b、c，接着代入判别式$\Delta = b^2-4ac$算出数值，最后对照判别式的取值规则：$\Delta＞0$有两个不等实根、$\Delta=0$有两个相等实根、$\Delta＜0$没有实根，就能选出正确选项。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$：
1. 对应本题方程$x^2+x-3=0$，可得系数$a=1$，$b=1$，$c=-3$；
2. 代入判别式计算：$\Delta = 1^2 - 4×1×(-3) = 1 + 12 = 13$；
3. 由于$\Delta=13＞0$，因此该一元二次方程有两个不相等的实数根。
所以本题选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根的情况判定
【点评】
本题是一元二次方程章节的基础题，直接考察根的判别式的基础应用，无需解方程即可完成判断，解题时要注意常数项c的正负符号，避免代入计算判别式时出现符号失误。
【难度系数】
0.9
2. 以下一元二次方程有两个相等的实数根的是（
A.$x^{2}-6x=0$
B.$x^{2}-9=0$
C.$x^{2}-6x+6=0$
D.$x^{2}-6x+9=0$
D
）A.$x^{2}-6x=0$
B.$x^{2}-9=0$
C.$x^{2}-6x+6=0$
D.$x^{2}-6x+9=0$
答案
2. D
解析
【分析】
要选出有两个相等实数根的一元二次方程，我们可以利用一元二次方程根的判别式来判断：对于一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一元二次方程，判别式$\Delta = b^2-4ac$，当$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根。我们只需要依次计算四个选项中方程的判别式的值，找到判别式等于0的选项即可得到答案。
【解析】
一元二次方程根的判别式规则：对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，
若$\Delta = b^2-4ac ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根；
若$\Delta = b^2-4ac = 0$，方程有两个相等的实数根；
若$\Delta = b^2-4ac ＜ 0$，方程没有实数根。
逐个计算选项的判别式：
1. 选项A：方程$x^2-6x=0$中，$a=1$，$b=-6$，$c=0$，代入得$\Delta=(-6)^2 - 4×1×0=36＞0$，有两个不相等的实数根，不符合要求；
2. 选项B：方程$x^2-9=0$中，$a=1$，$b=0$，$c=-9$，代入得$\Delta=0^2 - 4×1×(-9)=36＞0$，有两个不相等的实数根，不符合要求；
3. 选项C：方程$x^2-6x+6=0$中，$a=1$，$b=-6$，$c=6$，代入得$\Delta=(-6)^2 - 4×1×6=12＞0$，有两个不相等的实数根，不符合要求；
4. 选项D：方程$x^2-6x+9=0$中，$a=1$，$b=-6$，$c=9$，代入得$\Delta=(-6)^2 - 4×1×9=0$，方程有两个相等的实数根，符合要求。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于一元二次方程章节的基础常规题，核心考察对根的判别式性质的掌握，除了用判别式计算之外，也可以通过因式分解将D选项变形为$(x-3)^2=0$，直接得到两个相等的实数根$x_1=x_2=3$，快速完成判断，整体计算量很小，只要牢记判别式和根的对应关系即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
要选出有两个相等实数根的一元二次方程，我们可以利用一元二次方程根的判别式来判断：对于一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一元二次方程，判别式$\Delta = b^2-4ac$，当$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根。我们只需要依次计算四个选项中方程的判别式的值，找到判别式等于0的选项即可得到答案。
【解析】
一元二次方程根的判别式规则：对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，
若$\Delta = b^2-4ac ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根；
若$\Delta = b^2-4ac = 0$，方程有两个相等的实数根；
若$\Delta = b^2-4ac ＜ 0$，方程没有实数根。
逐个计算选项的判别式：
1. 选项A：方程$x^2-6x=0$中，$a=1$，$b=-6$，$c=0$，代入得$\Delta=(-6)^2 - 4×1×0=36＞0$，有两个不相等的实数根，不符合要求；
2. 选项B：方程$x^2-9=0$中，$a=1$，$b=0$，$c=-9$，代入得$\Delta=0^2 - 4×1×(-9)=36＞0$，有两个不相等的实数根，不符合要求；
3. 选项C：方程$x^2-6x+6=0$中，$a=1$，$b=-6$，$c=6$，代入得$\Delta=(-6)^2 - 4×1×6=12＞0$，有两个不相等的实数根，不符合要求；
4. 选项D：方程$x^2-6x+9=0$中，$a=1$，$b=-6$，$c=9$，代入得$\Delta=(-6)^2 - 4×1×9=0$，方程有两个相等的实数根，符合要求。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于一元二次方程章节的基础常规题，核心考察对根的判别式性质的掌握，除了用判别式计算之外，也可以通过因式分解将D选项变形为$(x-3)^2=0$，直接得到两个相等的实数根$x_1=x_2=3$，快速完成判断，整体计算量很小，只要牢记判别式和根的对应关系即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
3.若一元二次方程$x^{2}-2x+c=0$无实数根，则实数c的取值范围为
$c＞1$
.答案
3. $c＞1$
解析
【分析】
这道题的核心条件是“一元二次方程无实数根”，我们首先要联想到一元二次方程根的判别式的相关性质：对于标准形式的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的情况完全由判别式$\Delta=b^2-4ac$决定，当方程没有实数根时，满足$\Delta＜0$。接下来我们只需要先找出本题方程对应的二次项系数、一次项系数，代入判别式列出关于$c$的不等式，解这个不等式就能得到$c$的取值范围，注意不要把本题的常数项$c$和判别式公式里的参数$c$混淆。
【解析】
解：已知该一元二次方程为$x^2 - 2x + c = 0$，
可得二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项为$c$。
因为方程无实数根，根据一元二次方程根的判别式性质，可得：
$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$
将$a=1$，$b=-2$代入得：
$(-2)^2 - 4×1× c ＜ 0$
计算化简：
$4 - 4c ＜ 0$
移项得：$4c ＞ 4$
两边同时除以4，解得：$c ＞ 1$
【答案】
$c＞1$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题属于一元二次方程章节的基础题型，重点考察根的判别式和方程根的情况的对应关系，易错点为记错无实根对应的判别式不等号方向，或是计算$b^2$时忽略负号得到错误结果，解题时只需牢记三类根的情况和判别式的对应关系即可轻松求解。
【难度系数】
0.9
这道题的核心条件是“一元二次方程无实数根”，我们首先要联想到一元二次方程根的判别式的相关性质：对于标准形式的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的情况完全由判别式$\Delta=b^2-4ac$决定，当方程没有实数根时，满足$\Delta＜0$。接下来我们只需要先找出本题方程对应的二次项系数、一次项系数，代入判别式列出关于$c$的不等式，解这个不等式就能得到$c$的取值范围，注意不要把本题的常数项$c$和判别式公式里的参数$c$混淆。
【解析】
解：已知该一元二次方程为$x^2 - 2x + c = 0$，
可得二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项为$c$。
因为方程无实数根，根据一元二次方程根的判别式性质，可得：
$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$
将$a=1$，$b=-2$代入得：
$(-2)^2 - 4×1× c ＜ 0$
计算化简：
$4 - 4c ＜ 0$
移项得：$4c ＞ 4$
两边同时除以4，解得：$c ＞ 1$
【答案】
$c＞1$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题属于一元二次方程章节的基础题型，重点考察根的判别式和方程根的情况的对应关系，易错点为记错无实根对应的判别式不等号方向，或是计算$b^2$时忽略负号得到错误结果，解题时只需牢记三类根的情况和判别式的对应关系即可轻松求解。
【难度系数】
0.9
4. 关于$x$的一元二次方程$x^{2}+3x+k=0$有两个不相等的实数根，则$k$的取值范围为
$k＜\dfrac{9}{4}$
.答案
4. $k＜\dfrac{9}{4}$
解析
【分析】
首先看到题目给出的核心条件是“关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根”，我们可以直接联想到一元二次方程根的判别式的相关性质：对于一般形式的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根。接下来我们只需要对应找出本题方程里的a、b、c的取值，代入判别式构造关于k的不等式，解出不等式就能得到k的取值范围了。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程$x^{2}+3x+k=0$有两个不相等的实数根，
∴ 该方程的根的判别式$\Delta ＞ 0$。
在一元二次方程$x^{2}+3x+k=0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=3$，常数项$c=k$，
代入判别式公式得：
$\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4×1× k = 9 - 4k$
因此列不等式：
$9 - 4k ＞ 0$
移项得：$4k ＜ 9$
两边同时除以4，解得：$k ＜ \dfrac{9}{4}$
【答案】
$k＜\dfrac{9}{4}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题属于一元二次方程章节的基础题型，核心考查根的判别式和根的数量的对应关系，本题已经明确给出是一元二次方程，无需额外验证二次项系数不为0的条件，只要牢记判别式的取值和实根数量的对应规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.9
首先看到题目给出的核心条件是“关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根”，我们可以直接联想到一元二次方程根的判别式的相关性质：对于一般形式的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根。接下来我们只需要对应找出本题方程里的a、b、c的取值，代入判别式构造关于k的不等式，解出不等式就能得到k的取值范围了。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程$x^{2}+3x+k=0$有两个不相等的实数根，
∴ 该方程的根的判别式$\Delta ＞ 0$。
在一元二次方程$x^{2}+3x+k=0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=3$，常数项$c=k$，
代入判别式公式得：
$\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4×1× k = 9 - 4k$
因此列不等式：
$9 - 4k ＞ 0$
移项得：$4k ＜ 9$
两边同时除以4，解得：$k ＜ \dfrac{9}{4}$
【答案】
$k＜\dfrac{9}{4}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题属于一元二次方程章节的基础题型，核心考查根的判别式和根的数量的对应关系，本题已经明确给出是一元二次方程，无需额外验证二次项系数不为0的条件，只要牢记判别式的取值和实根数量的对应规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.9
5. 不解方程,判断下列方程根的情况:
(1)$3x^{2}+4x-2=0$;
(2)$x^{2}=4(x-2)$;
(3)$x^{2}-2x=-4$.
(1)$3x^{2}+4x-2=0$;
(2)$x^{2}=4(x-2)$;
(3)$x^{2}-2x=-4$.
答案
5. 解: (1) $\because a=3,b=4,c=-2$,
$\therefore b^{2}-4ac=4^{2}-4×3×(-2)=40＞0$,
$\therefore$ 该方程有两个不相等的实数根.
(2) 方程整理,得$x^{2}-4x+8=0$.$\because a=1,b=-4,c=8$,
$\therefore b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4×1×8=-16＜0$,
$\therefore$ 该方程没有实数根.
(3) 方程整理,得$x^{2}-2x+4=0$.$\because a=1,b=-2,c=4$,
$\therefore b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×1×4=-12＜0$,
$\therefore$ 该方程没有实数根.
$\therefore b^{2}-4ac=4^{2}-4×3×(-2)=40＞0$,
$\therefore$ 该方程有两个不相等的实数根.
(2) 方程整理,得$x^{2}-4x+8=0$.$\because a=1,b=-4,c=8$,
$\therefore b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4×1×8=-16＜0$,
$\therefore$ 该方程没有实数根.
(3) 方程整理,得$x^{2}-2x+4=0$.$\because a=1,b=-2,c=4$,
$\therefore b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×1×4=-12＜0$,
$\therefore$ 该方程没有实数根.
解析
【分析】
不解方程判断一元二次方程根的情况，核心方法是利用一元二次方程的根的判别式Δ=b²-4ac进行判断，解题思路如下：
1. 先将所有方程整理为一元二次方程的一般形式ax²+bx+c=0（a≠0），准确找出二次项系数a、一次项系数b、常数项c；
2. 将a、b、c代入判别式公式Δ=b²-4ac，计算出Δ的具体数值；
3. 根据Δ的符号判断根的情况：Δ＞0时方程有两个不相等的实数根，Δ=0时方程有两个相等的实数根，Δ＜0时方程没有实数根。
其中第(1)题已经是一般形式，可直接提取a、b、c计算，第(2)(3)题需要先移项整理为标准形式后再进行后续计算。
【解析】
解：
(1) 方程$3x^{2}+4x-2=0$已经是一元二次方程的一般形式，
可得$a=3,b=4,c=-2$，
代入根的判别式计算：
$b^{2}-4ac=4^{2}-4×3×(-2)=40$，
$\because 40＞0$，
$\therefore$ 该方程有两个不相等的实数根。
(2) 先将原方程整理为一般形式：
展开移项得$x^{2}-4x+8=0$，
可得$a=1,b=-4,c=8$，
代入根的判别式计算：
$b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4×1×8=-16$，
$\because -16＜0$，
$\therefore$ 该方程没有实数根。
(3) 先将原方程整理为一般形式：
移项得$x^{2}-2x+4=0$，
可得$a=1,b=-2,c=4$，
代入根的判别式计算：
$b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×1×4=-12$，
$\because -12＜0$，
$\therefore$ 该方程没有实数根。
【答案】
(1) 该方程有两个不相等的实数根；(2) 该方程没有实数根；(3) 该方程没有实数根。
【知识点】
一元二次方程一般形式，根的判别式应用
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用型题目，核心考察学生对判别式判断根的情况方法的掌握，易错点是对未整理为一般形式的方程直接错误提取a、b、c，或是计算判别式时忽略负号导致计算错误，解题时要牢记先将方程化为标准形式再代入计算的步骤。
【难度系数】
0.8
不解方程判断一元二次方程根的情况，核心方法是利用一元二次方程的根的判别式Δ=b²-4ac进行判断，解题思路如下：
1. 先将所有方程整理为一元二次方程的一般形式ax²+bx+c=0（a≠0），准确找出二次项系数a、一次项系数b、常数项c；
2. 将a、b、c代入判别式公式Δ=b²-4ac，计算出Δ的具体数值；
3. 根据Δ的符号判断根的情况：Δ＞0时方程有两个不相等的实数根，Δ=0时方程有两个相等的实数根，Δ＜0时方程没有实数根。
其中第(1)题已经是一般形式，可直接提取a、b、c计算，第(2)(3)题需要先移项整理为标准形式后再进行后续计算。
【解析】
解：
(1) 方程$3x^{2}+4x-2=0$已经是一元二次方程的一般形式，
可得$a=3,b=4,c=-2$，
代入根的判别式计算：
$b^{2}-4ac=4^{2}-4×3×(-2)=40$，
$\because 40＞0$，
$\therefore$ 该方程有两个不相等的实数根。
(2) 先将原方程整理为一般形式：
展开移项得$x^{2}-4x+8=0$，
可得$a=1,b=-4,c=8$，
代入根的判别式计算：
$b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4×1×8=-16$，
$\because -16＜0$，
$\therefore$ 该方程没有实数根。
(3) 先将原方程整理为一般形式：
移项得$x^{2}-2x+4=0$，
可得$a=1,b=-2,c=4$，
代入根的判别式计算：
$b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×1×4=-12$，
$\because -12＜0$，
$\therefore$ 该方程没有实数根。
【答案】
(1) 该方程有两个不相等的实数根；(2) 该方程没有实数根；(3) 该方程没有实数根。
【知识点】
一元二次方程一般形式，根的判别式应用
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用型题目，核心考察学生对判别式判断根的情况方法的掌握，易错点是对未整理为一般形式的方程直接错误提取a、b、c，或是计算判别式时忽略负号导致计算错误，解题时要牢记先将方程化为标准形式再代入计算的步骤。
【难度系数】
0.8
6. 已知 $a,b,c$ 为常数，点 $A(a,c)$ 在第二象限，点 $B(0,b)$ 在 $y$ 轴的正半轴上，则关于 $x$ 的方程
$ax^2+(b-1)x+c=0$ 的根的情况是（
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
$ax^2+(b-1)x+c=0$ 的根的情况是（
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
答案
6. A
解析
【分析】
我们的解题思路是：要判断一元二次方程根的情况，核心是判断判别式Δ的正负性，题目没有直接给出a、b、c的具体数值，因此需要先结合点的位置特征推导a、b、c的符号性质，再代入判别式完成符号判断。第一步，回忆第二象限点的坐标特点：横坐标小于0，纵坐标大于0，可直接得到a＜0、c＞0；第二步，点B在y轴正半轴，可得b＞0；第三步，写出该方程的判别式Δ=(b-1)²-4ac，结合前面推导的a、c异号可得ac＜0，因此-4ac＞0，同时平方项(b-1)²本身是非负的，非负数加正数的结果必然大于0，即可得到Δ＞0，最终判断根的情况。
【解析】
解：
1. 由点A(a,c)在第二象限，根据第二象限点的坐标特征，可得：
$a ＜ 0$，$c ＞ 0$，因此$ac ＜ 0$；
2. 由点B(0,b)在y轴的正半轴上，可得：
$b ＞ 0$；
3. 对于方程$ax^2+(b-1)x+c=0$，其判别式为：
$\Delta = (b-1)^2 - 4ac$
因为任意实数的平方都大于等于0，所以$(b-1)^2 ≥ 0$，
又因为$ac ＜ 0$，所以$-4ac ＞ 0$，
因此$\Delta = (\mathrm{非负数}) + (\mathrm{正数}) ＞ 0$，
所以该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
A
【知识点】
点的坐标象限特征，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题将平面直角坐标系中点的坐标性质与一元二次方程根的判别式知识点结合，无需计算判别式的具体数值，仅通过符号推导即可得出结论，侧重考察知识点的综合运用能力，解题时要注意不要忽略a、c异号的条件，避免对判别式的符号判断出错。
【难度系数】
0.7
我们的解题思路是：要判断一元二次方程根的情况，核心是判断判别式Δ的正负性，题目没有直接给出a、b、c的具体数值，因此需要先结合点的位置特征推导a、b、c的符号性质，再代入判别式完成符号判断。第一步，回忆第二象限点的坐标特点：横坐标小于0，纵坐标大于0，可直接得到a＜0、c＞0；第二步，点B在y轴正半轴，可得b＞0；第三步，写出该方程的判别式Δ=(b-1)²-4ac，结合前面推导的a、c异号可得ac＜0，因此-4ac＞0，同时平方项(b-1)²本身是非负的，非负数加正数的结果必然大于0，即可得到Δ＞0，最终判断根的情况。
【解析】
解：
1. 由点A(a,c)在第二象限，根据第二象限点的坐标特征，可得：
$a ＜ 0$，$c ＞ 0$，因此$ac ＜ 0$；
2. 由点B(0,b)在y轴的正半轴上，可得：
$b ＞ 0$；
3. 对于方程$ax^2+(b-1)x+c=0$，其判别式为：
$\Delta = (b-1)^2 - 4ac$
因为任意实数的平方都大于等于0，所以$(b-1)^2 ≥ 0$，
又因为$ac ＜ 0$，所以$-4ac ＞ 0$，
因此$\Delta = (\mathrm{非负数}) + (\mathrm{正数}) ＞ 0$，
所以该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
A
【知识点】
点的坐标象限特征，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题将平面直角坐标系中点的坐标性质与一元二次方程根的判别式知识点结合，无需计算判别式的具体数值，仅通过符号推导即可得出结论，侧重考察知识点的综合运用能力，解题时要注意不要忽略a、c异号的条件，避免对判别式的符号判断出错。
【难度系数】
0.7
7. (2025·工业园区期末)如果关于$x$的方程$a(1-x^2)+2bx+c(1+x^2)=0$有两个相等的实数根,且$a,b,c$是$△ ABC$的三边长,那么$△ ABC$是（
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.任意三角形
C
）A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.任意三角形
答案
7. C
解析
【分析】
这道题的解题思路非常清晰：第一步先将给定的含x的方程去括号、合并同类项，整理成一元二次方程的标准形式$Ax^2+Bx+C=0$；第二步根据“方程有两个相等的实数根”的条件，得到该一元二次方程的判别式$\Delta=B^2-4AC=0$；第三步把整理后的各项系数代入判别式公式进行化简，最终推导出三角形三边a、b、c的平方关系，结合勾股定理逆定理就能判断三角形的形状。
【解析】
1. 先对原方程展开并合并同类项：
原方程$a(1-x^2)+2bx+c(1+x^2)=0$，去括号得：
$a - ax^2 + 2bx + c + cx^2 = 0$
将同次项合并，整理为一元二次方程一般形式：
$(c-a)x^2 + 2bx + (a+c) = 0$
2. 利用“两个相等实数根”的条件列判别式等式：
因为方程有两个相等的实数根，所以二次项系数不为0，且判别式$\Delta=0$：
$\Delta=(2b)^2 - 4·(c-a)·(a+c) = 0$
3. 化简等式推导三边关系：
展开计算得：
$4b^2 - 4(c^2 - a^2) = 0$
两边同时除以4：
$b^2 - c^2 + a^2 = 0$
整理后得到：$a^2 + b^2 = c^2$
根据勾股定理的逆定理，可知$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理
【点评】
本题属于一元二次方程和三角形性质的基础综合题，核心考点是利用判别式的性质建立三边的代数关系，解题时要注意合并同类项时不要混淆二次项的系数，最终得到的三边平方关系直接对应直角三角形的判定条件，整体逻辑连贯，难度不高。
【难度系数】
0.7
这道题的解题思路非常清晰：第一步先将给定的含x的方程去括号、合并同类项，整理成一元二次方程的标准形式$Ax^2+Bx+C=0$；第二步根据“方程有两个相等的实数根”的条件，得到该一元二次方程的判别式$\Delta=B^2-4AC=0$；第三步把整理后的各项系数代入判别式公式进行化简，最终推导出三角形三边a、b、c的平方关系，结合勾股定理逆定理就能判断三角形的形状。
【解析】
1. 先对原方程展开并合并同类项：
原方程$a(1-x^2)+2bx+c(1+x^2)=0$，去括号得：
$a - ax^2 + 2bx + c + cx^2 = 0$
将同次项合并，整理为一元二次方程一般形式：
$(c-a)x^2 + 2bx + (a+c) = 0$
2. 利用“两个相等实数根”的条件列判别式等式：
因为方程有两个相等的实数根，所以二次项系数不为0，且判别式$\Delta=0$：
$\Delta=(2b)^2 - 4·(c-a)·(a+c) = 0$
3. 化简等式推导三边关系：
展开计算得：
$4b^2 - 4(c^2 - a^2) = 0$
两边同时除以4：
$b^2 - c^2 + a^2 = 0$
整理后得到：$a^2 + b^2 = c^2$
根据勾股定理的逆定理，可知$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理
【点评】
本题属于一元二次方程和三角形性质的基础综合题，核心考点是利用判别式的性质建立三边的代数关系，解题时要注意合并同类项时不要混淆二次项的系数，最终得到的三边平方关系直接对应直角三角形的判定条件，整体逻辑连贯，难度不高。
【难度系数】
0.7
8. 若关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2x+kb+1=0$有两个不相等的实数根，则一次函数$y=kx+b$的大致图象可能是（
B
）答案
8. B
解析
【分析】
解题思路分两步走：第一步，先利用一元二次方程有两个不相等实数根的条件，通过根的判别式列出不等式，推导得出k和b的乘积的符号要求；第二步，根据一次函数图像的性质，逐个判断四个选项中一次函数的斜率k、y轴截距b的正负，筛选出满足k、b异号的选项即可。计算判别式时牢记Δ＞0对应两个不等实根，化简后就能得到kb＜0的结论，之后逐一比对选项就可以快速排除错误答案。
【解析】
解：
∵关于x的一元二次方程$x^{2}-2x+kb+1=0$有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta ＞ 0$，
计算判别式：
$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(kb+1) = 4 - 4kb -4 = -4kb$，
由$\Delta ＞0$得：$-4kb＞0$，化简可得$kb＜0$，即k和b异号。
接下来逐一分析选项：
选项A：一次函数图象斜率为正，即$k＞0$，与y轴交于正半轴，即$b＞0$，此时$kb＞0$，不满足$kb＜0$，排除；
选项B：一次函数图象斜率为正，即$k＞0$，与y轴交于负半轴，即$b＜0$，此时$kb＜0$，满足条件；
选项C：一次函数图象斜率为负，即$k＜0$，与y轴交于负半轴，即$b＜0$，此时$kb＞0$，不满足$kb＜0$，排除；
选项D：一次函数图象过原点，即$b=0$，此时$kb=0$，不满足$kb＜0$，排除。
综上，符合条件的只有选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一次函数图像性质
【点评】
本题是一元二次方程和一次函数的小型综合题，核心考点是将根的判别式的结论转化为k、b的符号关系，再结合一次函数斜率、截距的图像含义进行判断，难度不大，需要学生熟练掌握两个基础知识点的关联应用，避免计算判别式时出现符号错误。
【难度系数】
0.7
解题思路分两步走：第一步，先利用一元二次方程有两个不相等实数根的条件，通过根的判别式列出不等式，推导得出k和b的乘积的符号要求；第二步，根据一次函数图像的性质，逐个判断四个选项中一次函数的斜率k、y轴截距b的正负，筛选出满足k、b异号的选项即可。计算判别式时牢记Δ＞0对应两个不等实根，化简后就能得到kb＜0的结论，之后逐一比对选项就可以快速排除错误答案。
【解析】
解：
∵关于x的一元二次方程$x^{2}-2x+kb+1=0$有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta ＞ 0$，
计算判别式：
$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(kb+1) = 4 - 4kb -4 = -4kb$，
由$\Delta ＞0$得：$-4kb＞0$，化简可得$kb＜0$，即k和b异号。
接下来逐一分析选项：
选项A：一次函数图象斜率为正，即$k＞0$，与y轴交于正半轴，即$b＞0$，此时$kb＞0$，不满足$kb＜0$，排除；
选项B：一次函数图象斜率为正，即$k＞0$，与y轴交于负半轴，即$b＜0$，此时$kb＜0$，满足条件；
选项C：一次函数图象斜率为负，即$k＜0$，与y轴交于负半轴，即$b＜0$，此时$kb＞0$，不满足$kb＜0$，排除；
选项D：一次函数图象过原点，即$b=0$，此时$kb=0$，不满足$kb＜0$，排除。
综上，符合条件的只有选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一次函数图像性质
【点评】
本题是一元二次方程和一次函数的小型综合题，核心考点是将根的判别式的结论转化为k、b的符号关系，再结合一次函数斜率、截距的图像含义进行判断，难度不大，需要学生熟练掌握两个基础知识点的关联应用，避免计算判别式时出现符号错误。
【难度系数】
0.7
