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1. 某厂现有300吨煤，这些煤能烧的天数$y$与平均每天烧的吨数$x$之间的函数表达式是（
A.$y=\dfrac{300}{x}(x＞0)$
B.$y=\dfrac{300}{x}(x≥ 0)$
C.$y=300x(x≥ 0)$
D.$y=300x(x＞0)$
A
）A.$y=\dfrac{300}{x}(x＞0)$
B.$y=\dfrac{300}{x}(x≥ 0)$
C.$y=300x(x≥ 0)$
D.$y=300x(x＞0)$
答案
1. A
解析
【分析】
首先我们先梳理总量相关的基本数量关系：总煤量=平均每天烧煤吨数×可烧天数，已知总煤量为300吨，要推导y和x的函数，就把公式变形，将y单独放在等号一侧，得到y等于总煤量除以x。接下来结合实际意义判断自变量x的取值范围：每天烧煤的吨数不可能是负数，同时如果x=0的话，既不符合实际烧煤的场景，也会让分式的分母为0没有意义，所以x必须大于0，最后对照选项就能选出正确答案。
【解析】
解：根据数量关系“可烧的总天数 = 煤的总质量 ÷ 平均每天烧的质量”，代入已知总煤量300吨，可得：
$y=\frac{300}{x}$
接下来分析自变量x的取值范围：
x代表平均每天烧的吨数，实际场景中烧煤量不能为负，同时x不能等于0，若x=0，分式$\frac{300}{x}$无意义，也不符合“烧煤”的实际前提，因此x的取值范围是$x＞0$。
因此对应的函数表达式为$y=\frac{300}{x}(x＞0)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数实际应用，自变量实际取值范围
【点评】
本题属于反比例函数实际应用的基础题，易错点是忽略x=0既不符合分式有意义的要求，也不符合烧煤的实际场景，容易误选B选项，解题时要注意实际问题的自变量取值需要同时满足表达式有意义、符合现实逻辑两个要求。
【难度系数】
0.9
首先我们先梳理总量相关的基本数量关系：总煤量=平均每天烧煤吨数×可烧天数，已知总煤量为300吨，要推导y和x的函数，就把公式变形，将y单独放在等号一侧，得到y等于总煤量除以x。接下来结合实际意义判断自变量x的取值范围：每天烧煤的吨数不可能是负数，同时如果x=0的话，既不符合实际烧煤的场景，也会让分式的分母为0没有意义，所以x必须大于0，最后对照选项就能选出正确答案。
【解析】
解：根据数量关系“可烧的总天数 = 煤的总质量 ÷ 平均每天烧的质量”，代入已知总煤量300吨，可得：
$y=\frac{300}{x}$
接下来分析自变量x的取值范围：
x代表平均每天烧的吨数，实际场景中烧煤量不能为负，同时x不能等于0，若x=0，分式$\frac{300}{x}$无意义，也不符合“烧煤”的实际前提，因此x的取值范围是$x＞0$。
因此对应的函数表达式为$y=\frac{300}{x}(x＞0)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数实际应用，自变量实际取值范围
【点评】
本题属于反比例函数实际应用的基础题，易错点是忽略x=0既不符合分式有意义的要求，也不符合烧煤的实际场景，容易误选B选项，解题时要注意实际问题的自变量取值需要同时满足表达式有意义、符合现实逻辑两个要求。
【难度系数】
0.9
2. (2025·湖北)已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流$I$(单位:A)与电阻$R$(单位:$\Omega$)是反比例函数关系,它的图象如图所示. 当电阻$R$大于$9\ \Omega$时,电流$I$可能是（
A.3 A
B.4 A
C.5 A
D.6 A
A
）A.3 A
B.4 A
C.5 A
D.6 A
答案
2. A
解析
【分析】
解题思路：首先根据题意明确电流I和电阻R是反比例函数关系，先设出反比例函数的一般形式，再将图像给出的已知点(9,4)代入解析式，求出反比例函数的比例系数，也就是蓄电池的电压值。接下来根据k＞0时第一象限内反比例函数的增减性：R越大，I越小，就可以推导出当R＞9Ω时电流I的取值范围，最后匹配选项得到正确答案。
【解析】
解：设电流I与电阻R的反比例函数解析式为$I=\frac{k}{R}\ (k≠0,\ R＞0)$，
由图像可知函数经过点$(9,4)$，将$R=9$，$I=4$代入解析式得：
$4=\frac{k}{9}$，解得$k=4×9=36$，
因此反比例函数解析式为$I=\frac{36}{R}$。
由于$k=36＞0$，在$R＞0$的范围内，I随R的增大而减小，
因此当$R＞9\ \Omega$时，$I＜\frac{36}{9}=4\ \mathrm{A}$，即电流小于4A。
观察选项，只有3A符合该条件，故选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数应用，反比例函数性质
【点评】
本题以物理电学的欧姆定律为实际背景，考察反比例函数的实际应用，解题核心是先通过图像已知点确定函数解析式，再利用反比例函数的增减性判断自变量变化时因变量的取值范围，题目难度不大，需要注意不要搞反第一象限内反比例函数的增减趋势。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先根据题意明确电流I和电阻R是反比例函数关系，先设出反比例函数的一般形式，再将图像给出的已知点(9,4)代入解析式，求出反比例函数的比例系数，也就是蓄电池的电压值。接下来根据k＞0时第一象限内反比例函数的增减性：R越大，I越小，就可以推导出当R＞9Ω时电流I的取值范围，最后匹配选项得到正确答案。
【解析】
解：设电流I与电阻R的反比例函数解析式为$I=\frac{k}{R}\ (k≠0,\ R＞0)$，
由图像可知函数经过点$(9,4)$，将$R=9$，$I=4$代入解析式得：
$4=\frac{k}{9}$，解得$k=4×9=36$，
因此反比例函数解析式为$I=\frac{36}{R}$。
由于$k=36＞0$，在$R＞0$的范围内，I随R的增大而减小，
因此当$R＞9\ \Omega$时，$I＜\frac{36}{9}=4\ \mathrm{A}$，即电流小于4A。
观察选项，只有3A符合该条件，故选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数应用，反比例函数性质
【点评】
本题以物理电学的欧姆定律为实际背景，考察反比例函数的实际应用，解题核心是先通过图像已知点确定函数解析式，再利用反比例函数的增减性判断自变量变化时因变量的取值范围，题目难度不大，需要注意不要搞反第一象限内反比例函数的增减趋势。
【难度系数】
0.8
3.(2025·长春)在功$W(\mathrm{J})$一定的条件下,功率$P(\mathrm{W})$与做功时间$t(\mathrm{s})$成反比例,$P(\mathrm{W})$与$t(\mathrm{s})$之间的函数关系如图所示.当$25 ≤ t ≤ 40$时,$P$的值可以为（
A.24
B.27
C.45
D.50
C
）A.24
B.27
C.45
D.50
答案
3. C
解析
【分析】
首先根据题意明确功率P和做功时间t成反比例关系，先设出反比例函数的通用形式，再代入图像给出的已知点(60,20)求出定值功W，得到完整的函数解析式。接下来利用反比例函数在t＞0区间的单调性，代入t的两个端点值计算出P的取值边界，得到P的取值范围，最后对比选项选出落在该范围内的正确答案即可。
【解析】
1. 设函数解析式：已知功W一定时，P与t成反比例，因此设解析式为 $P=\frac{W}{t}$（$W≠0$，$t＞0$）。
2. 代入已知点求W：由图像可知当$t=60\ \mathrm{s}$时，$P=20\ \mathrm{W}$，代入解析式得：
$20=\frac{W}{60}$，解得$W=20×60=1200\ \mathrm{J}$，因此完整函数为 $P=\frac{1200}{t}$（$t＞0$）。
3. 计算P的取值范围：由于比例系数1200＞0，该反比例函数在t＞0时，P随t的增大而减小。
当$t=25$时，P取最大值：$P_{\mathrm{max}}=\frac{1200}{25}=48\ \mathrm{W}$；
当$t=40$时，P取最小值：$P_{\mathrm{min}}=\frac{1200}{40}=30\ \mathrm{W}$；
因此P的取值范围是 $30≤ P≤48$。
4. 对比选项：24、27均小于30，50大于48，只有45落在30~48的区间内，符合要求。
【答案】C
【知识点】反比例函数应用，反比例函数单调性
【点评】本题结合物理功和功率的常识考查反比例函数的实际应用，核心考点是通过已知点确定反比例函数解析式，再利用函数增减性求解指定自变量区间对应的函数值范围，注意不要颠倒自变量和函数值的大小对应关系。
【难度系数】0.7
首先根据题意明确功率P和做功时间t成反比例关系，先设出反比例函数的通用形式，再代入图像给出的已知点(60,20)求出定值功W，得到完整的函数解析式。接下来利用反比例函数在t＞0区间的单调性，代入t的两个端点值计算出P的取值边界，得到P的取值范围，最后对比选项选出落在该范围内的正确答案即可。
【解析】
1. 设函数解析式：已知功W一定时，P与t成反比例，因此设解析式为 $P=\frac{W}{t}$（$W≠0$，$t＞0$）。
2. 代入已知点求W：由图像可知当$t=60\ \mathrm{s}$时，$P=20\ \mathrm{W}$，代入解析式得：
$20=\frac{W}{60}$，解得$W=20×60=1200\ \mathrm{J}$，因此完整函数为 $P=\frac{1200}{t}$（$t＞0$）。
3. 计算P的取值范围：由于比例系数1200＞0，该反比例函数在t＞0时，P随t的增大而减小。
当$t=25$时，P取最大值：$P_{\mathrm{max}}=\frac{1200}{25}=48\ \mathrm{W}$；
当$t=40$时，P取最小值：$P_{\mathrm{min}}=\frac{1200}{40}=30\ \mathrm{W}$；
因此P的取值范围是 $30≤ P≤48$。
4. 对比选项：24、27均小于30，50大于48，只有45落在30~48的区间内，符合要求。
【答案】C
【知识点】反比例函数应用，反比例函数单调性
【点评】本题结合物理功和功率的常识考查反比例函数的实际应用，核心考点是通过已知点确定反比例函数解析式，再利用函数增减性求解指定自变量区间对应的函数值范围，注意不要颠倒自变量和函数值的大小对应关系。
【难度系数】0.7
4.(2025·连云港)某气球内充满了一定质量的气体,在温度不变的条件下,气球内气体的压强$p(\mathrm{Pa})$是气球体积$V(\mathrm{m}^3)$的反比例函数.当$V=1.2\ \mathrm{m}^3$时,$p=20000\ \mathrm{Pa}$,则当$V=1.5\ \mathrm{m}^3$时,$p=\_\_\_\_\_\_\mathrm{Pa}.$
答案
4. 16000
解析
【分析】
题目明确给出压强p是体积V的反比例函数，我们可以按照反比例函数的常规求解思路来解题：第一步先设出反比例函数的通用形式$p=\frac{k}{V}(k≠0)$，第二步将题目给出的已知条件$V=1.2\ \mathrm{m^3}$、$p=20000\ \mathrm{Pa}$代入所设解析式，求出比例系数k，得到完整的函数表达式，第三步再将待求的$V=1.5\ \mathrm{m^3}$代入已经求出的解析式中，即可计算出对应的压强p的数值。
【解析】
解：由题意，设p与V的反比例函数解析式为：
$p=\frac{k}{V} \quad (k≠0)$
将$V=1.2\ \mathrm{m^3}$，$p=20000\ \mathrm{Pa}$代入解析式得：
$20000=\frac{k}{1.2}$
解得$k=20000×1.2=24000$，因此该反比例函数解析式为$p=\frac{24000}{V}$。
将$V=1.5\ \mathrm{m^3}$代入上述解析式：
$p=\frac{24000}{1.5}=16000\ \mathrm{Pa}$
【答案】
16000
【知识点】
待定系数法求反比例函数，反比例函数实际应用
【点评】
本题是反比例函数结合物理玻意耳定律的基础应用题，考点非常直白，只需要熟练掌握待定系数法求解反比例函数解析式的步骤即可顺利完成，属于试卷中的基础送分题型，解题时注意计算比例系数k不要出现运算错误即可。
【难度系数】
0.9
题目明确给出压强p是体积V的反比例函数，我们可以按照反比例函数的常规求解思路来解题：第一步先设出反比例函数的通用形式$p=\frac{k}{V}(k≠0)$，第二步将题目给出的已知条件$V=1.2\ \mathrm{m^3}$、$p=20000\ \mathrm{Pa}$代入所设解析式，求出比例系数k，得到完整的函数表达式，第三步再将待求的$V=1.5\ \mathrm{m^3}$代入已经求出的解析式中，即可计算出对应的压强p的数值。
【解析】
解：由题意，设p与V的反比例函数解析式为：
$p=\frac{k}{V} \quad (k≠0)$
将$V=1.2\ \mathrm{m^3}$，$p=20000\ \mathrm{Pa}$代入解析式得：
$20000=\frac{k}{1.2}$
解得$k=20000×1.2=24000$，因此该反比例函数解析式为$p=\frac{24000}{V}$。
将$V=1.5\ \mathrm{m^3}$代入上述解析式：
$p=\frac{24000}{1.5}=16000\ \mathrm{Pa}$
【答案】
16000
【知识点】
待定系数法求反比例函数，反比例函数实际应用
【点评】
本题是反比例函数结合物理玻意耳定律的基础应用题，考点非常直白，只需要熟练掌握待定系数法求解反比例函数解析式的步骤即可顺利完成，属于试卷中的基础送分题型，解题时注意计算比例系数k不要出现运算错误即可。
【难度系数】
0.9
5.(2025·德阳)公元前3世纪,古希腊科学家阿基米德发现:若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比,则杠杆平衡.后来人们把它归纳为“杠杆原理”:阻力×阻力臂=动力×动力臂.已知阻力和阻力臂分别为600 N和1 m,当动力为1200 N时,动力臂是
0.5
m.答案
5. 0.5
解析
【分析】
这道题已经直接给出了杠杆原理的明确等量关系：阻力×阻力臂=动力×动力臂，解题思路非常清晰：第一步先梳理已知条件，明确给出的三个已知量分别是阻力600N、阻力臂1m、动力1200N，待求量是动力臂的长度；第二步将所有已知量直接代入给定的等量关系式，就能得到仅含动力臂一个未知数的简易方程，最后通过基础的除法运算即可解出动力臂的数值，全程不需要复杂变形。
【解析】
解：设动力臂的长度为$ L \, \mathrm{m} $，
根据题干给出的杠杆平衡原理：$ 阻力 × 阻力臂 = 动力 × 动力臂 $，
将已知数值代入公式可得：
$ 600 × 1 = 1200 × L $
化简等式左侧得：$ 600 = 1200L $
等式两边同时除以1200，解得：$ L = \frac{600}{1200} = 0.5 $
即动力臂为0.5m。
【答案】
0.5
【知识点】
杠杆平衡条件；有理数乘除运算
【点评】
本题是结合物理背景的基础应用题，直接给出核心等量关系，不需要学生自行推导公式，仅考查学生代入已知量进行基础计算的能力，属于送分题型，解题时只要对应好各个物理量的位置，避免代错数值的低级失误即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
这道题已经直接给出了杠杆原理的明确等量关系：阻力×阻力臂=动力×动力臂，解题思路非常清晰：第一步先梳理已知条件，明确给出的三个已知量分别是阻力600N、阻力臂1m、动力1200N，待求量是动力臂的长度；第二步将所有已知量直接代入给定的等量关系式，就能得到仅含动力臂一个未知数的简易方程，最后通过基础的除法运算即可解出动力臂的数值，全程不需要复杂变形。
【解析】
解：设动力臂的长度为$ L \, \mathrm{m} $，
根据题干给出的杠杆平衡原理：$ 阻力 × 阻力臂 = 动力 × 动力臂 $，
将已知数值代入公式可得：
$ 600 × 1 = 1200 × L $
化简等式左侧得：$ 600 = 1200L $
等式两边同时除以1200，解得：$ L = \frac{600}{1200} = 0.5 $
即动力臂为0.5m。
【答案】
0.5
【知识点】
杠杆平衡条件；有理数乘除运算
【点评】
本题是结合物理背景的基础应用题，直接给出核心等量关系，不需要学生自行推导公式，仅考查学生代入已知量进行基础计算的能力，属于送分题型，解题时只要对应好各个物理量的位置，避免代错数值的低级失误即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
6.(2025·贵州)小星在阅读《天工开物》时,看到一种名为桔槔(gāo)的古代汲水工具(如图①),有一横杆固定于桔槔上$O$点,并可绕$O$点转动.在横杆$A$处连接一竹竿,在横杆$B$处固定$300\ \mathrm{N}$的物体,且$OB=1\ \mathrm{m}$.若图中人物竖直向下施加的拉力为$F$,当改变点$A$与点$O$的距离$l$时,横杆始终处于水平状态,小星发现$F$与$l$有一定的关系,记录了拉力的大小$F$与$l$的变化,如下表.
(1)表格中$a$的值是
(2)小星通过分析表格数据发现,用函数可以刻画$F$与$l$之间的关系.在如图②所示的平面直角坐标系中,描出表中对应的点,并画出这个函数的图象;
(3)根据以上数据和图象判断,当$OA$的长增大时,拉力$F$是增大还是减小?请说明理由.
(1)表格中$a$的值是
100
;(2)小星通过分析表格数据发现,用函数可以刻画$F$与$l$之间的关系.在如图②所示的平面直角坐标系中,描出表中对应的点,并画出这个函数的图象;
(3)根据以上数据和图象判断,当$OA$的长增大时,拉力$F$是增大还是减小?请说明理由.
答案
6. (1)100
(2)解:画出F与l的函数图象如答图所示.
(3)解:当OA的长增大时,拉力F减小,理由如下:
$\because Fl=300,\therefore$ 其函数表达式为$F=\frac{300}{l}(l＞0)$,
$\because 300＞0,\therefore$ 在第一象限内,F随l的增大而减小,
即当OA的长增大时,拉力F减小.
解析
【分析】
这是一道结合物理杠杆原理的跨学科函数应用题，解题思路如下：
1. 第(1)问：利用杠杆平衡条件“动力×动力臂=阻力×阻力臂”，代入已知的B点物体重力300N、阻力臂OB=1m，可得到F与l的乘积为固定值，将l=3m代入即可求出a的数值。
2. 第(2)问：按照描点法画函数图像的标准步骤，先将表格中每组(l,F)对应的坐标点在坐标系中逐一描出，再用平滑曲线将所有点顺次连接，即可得到对应的函数图像。
3. 第(3)问：先推导得到F和l的函数关系式，判断其为反比例函数后，结合反比例函数的增减性规律，即可得到l增大时F的变化趋势。
【解析】
(1) 根据杠杆平衡条件$F_1L_1=F_2L_2$，本题中阻力为B点物体的重力$F_2=300\mathrm{N}$，阻力臂$L_2=OB=1\mathrm{m}$，因此动力F和动力臂l满足：
$F· l = 300\mathrm{N} × 1\mathrm{m} = 300\mathrm{N· m}$
当l=3m时，代入得$F=\frac{300}{3}=100\mathrm{N}$，即a=100。
(2) 描点：将表格中各组数据对应的点$(1,300)、(1.5,200)、(2,150)、(3,100)$在平面直角坐标系中描出，再用平滑曲线将所有点顺次连接，得到第一象限内的反比例函数分支即可。
(3) 由杠杆平衡条件可得F与l的函数表达式为$F=\frac{300}{l}(l＞0)$，该函数是反比例函数，其中比例系数k=300＞0，因此在l＞0的范围内，F随l的增大而减小，即OA的长增大时，拉力F减小。
【答案】
(1) $\boldsymbol{100}$
(2) 函数图象如下：
(3) 当OA的长增大时，拉力F减小，理由如下：
$\because Fl=300,\therefore$ 其函数表达式为$F=\frac{300}{l}(l＞0)$，
$\because 300＞0,\therefore$ 在第一象限内，F随l的增大而减小，
即当OA的长增大时，拉力F减小。
【知识点】
杠杆平衡原理，反比例函数性质，描点法作图
【点评】
本题以古代汲水工具桔槔为情境，融合物理杠杆知识与数学反比例函数内容，属于跨学科综合应用题，既考查学生对基础物理规律的掌握，也考查学生将实际问题转化为函数模型、利用函数性质分析问题的能力，整体情境新颖但知识点基础。
【难度系数】
0.7
这是一道结合物理杠杆原理的跨学科函数应用题，解题思路如下：
1. 第(1)问：利用杠杆平衡条件“动力×动力臂=阻力×阻力臂”，代入已知的B点物体重力300N、阻力臂OB=1m，可得到F与l的乘积为固定值，将l=3m代入即可求出a的数值。
2. 第(2)问：按照描点法画函数图像的标准步骤，先将表格中每组(l,F)对应的坐标点在坐标系中逐一描出，再用平滑曲线将所有点顺次连接，即可得到对应的函数图像。
3. 第(3)问：先推导得到F和l的函数关系式，判断其为反比例函数后，结合反比例函数的增减性规律，即可得到l增大时F的变化趋势。
【解析】
(1) 根据杠杆平衡条件$F_1L_1=F_2L_2$，本题中阻力为B点物体的重力$F_2=300\mathrm{N}$，阻力臂$L_2=OB=1\mathrm{m}$，因此动力F和动力臂l满足：
$F· l = 300\mathrm{N} × 1\mathrm{m} = 300\mathrm{N· m}$
当l=3m时，代入得$F=\frac{300}{3}=100\mathrm{N}$，即a=100。
(2) 描点：将表格中各组数据对应的点$(1,300)、(1.5,200)、(2,150)、(3,100)$在平面直角坐标系中描出，再用平滑曲线将所有点顺次连接，得到第一象限内的反比例函数分支即可。
(3) 由杠杆平衡条件可得F与l的函数表达式为$F=\frac{300}{l}(l＞0)$，该函数是反比例函数，其中比例系数k=300＞0，因此在l＞0的范围内，F随l的增大而减小，即OA的长增大时，拉力F减小。
【答案】
(1) $\boldsymbol{100}$
(2) 函数图象如下：
(3) 当OA的长增大时，拉力F减小，理由如下：
$\because Fl=300,\therefore$ 其函数表达式为$F=\frac{300}{l}(l＞0)$，
$\because 300＞0,\therefore$ 在第一象限内，F随l的增大而减小，
即当OA的长增大时，拉力F减小。
【知识点】
杠杆平衡原理，反比例函数性质，描点法作图
【点评】
本题以古代汲水工具桔槔为情境，融合物理杠杆知识与数学反比例函数内容，属于跨学科综合应用题，既考查学生对基础物理规律的掌握，也考查学生将实际问题转化为函数模型、利用函数性质分析问题的能力，整体情境新颖但知识点基础。
【难度系数】
0.7
