7.(2025·姑苏区期中)如图①是某新款茶吧机,开始加热时,水温每分钟上升$25\ °\mathrm{C}$,加热到$100\ °\mathrm{C}$时,停止加热,水温开始下降,此时水温$y(°\mathrm{C})$是通电时间$x(\mathrm{min})$的反比例函数.若在水温为$20\ °\mathrm{C}$时开始加热,水温$y$与通电时间$x$之间的函数关系如图②所示.
(1)将水从$20\ °\mathrm{C}$加热到$100\ °\mathrm{C}$需要$\mathrm{min}$;
(2)在水温下降的过程中,求水温$y$关于通电时间$x$的函数表达式;
(3)加热一次,水温不低于$40\ °\mathrm{C}$的时间有多少分钟?

7. (1)3.2
(2)解:设在水温下降的过程中,水温y关于通电时间x的函数表达式为$y=\frac{k}{x}$,代入点$(3.2,100)$,得$\frac{k}{3.2}=100$,解得$k=320$,
$\therefore$ 在水温下降的过程中,水温y关于通电时间x的函数表达式是$y=\frac{320}{x}$.
(3)解:在加热过程中,水温为$40\ °Celsius$时,$25x+20=40$,解得$x=0.8$,
在降温过程中,水温为$40°Celsius$时,$40=\frac{320}{x}$,解得$x=8$,
$\because 8-0.8=7.2$,
$\therefore$ 加热一次,水温不低于$40\ °Celsius$的时间为7.2 min.

【分析】
我们可以分三步来思考这道题：
1. 第一问：已知初始水温是20℃，目标温度是100℃，先算出总共需要升高的温度为100-20=80℃，题目给出每分钟水温上升25℃，用总升温幅度除以每分钟升温速度，就能得到加热所需的时间。
2. 第二问：水温下降阶段是反比例函数，我们已经通过第一问得到了停止加热时的坐标点（加热总时长，100），将这个点代入反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}$，就能求出参数k，得到对应的函数表达式。
3. 第三问：要计算水温不低于40℃的总时长，我们需要分别在升温的一次函数阶段，求出y=40对应的起始x值，再在降温的反比例函数阶段，求出y=40对应的结束x值，两个x的差值就是水温≥40℃的总持续时间。
【解析】
(1) 水从20℃升到100℃需要升高的温度为：$100℃ - 20℃ = 80℃$，
已知水温每分钟上升$25℃$，因此所需时间为：$80 ÷ 25 = 3.2\ \mathrm{min}$。
(2) 设水温下降过程中，y关于x的函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
由(1)可知，当$x=3.2$时，$y=100$，将点$(3.2,100)$代入表达式得：
$\frac{k}{3.2}=100$，解得$k=320$，
因此水温下降阶段的函数表达式为$y=\frac{320}{x}$。
(3) 加热阶段水温从20℃开始，每分钟升25℃，因此加热阶段的函数为$y=25x+20$，其中$0≤x≤3.2$。
令$y=40$，代入得：$25x + 20 = 40$，解得$x=0.8$，即通电0.8min时水温首次达到40℃。
在降温阶段，令$y=40$，代入$y=\frac{320}{x}$得：$40=\frac{320}{x}$，解得$x=8$，即通电8min时水温降到40℃。
因此水温不低于40℃的总时长为：$8 - 0.8 = 7.2\ \mathrm{min}$。
【答案】
(1) $3.2$；(2) $y=\frac{320}{x}$；(3) $7.2\ \mathrm{min}$
【知识点】
一次函数实际应用，反比例函数实际应用，分段函数
【点评】
本题以生活中常见的茶吧机为背景，考察分段函数的实际应用，将升温过程对应一次函数、降温过程对应反比例函数，解题逻辑清晰，难度适中。学生容易出错的点是误将反比例函数的横坐标取为3，没有通过第一问先算出加热到100℃的准确时间，导致后续计算全部出错，解题时要注意先确定分段点的坐标再进行后续计算。
【难度系数】
0.7

8.一般情况下,中学生完成数学家庭作业时,注意力指数随时间$x$(分)的变化规律如图所示.
(其中$AB,BC$为线段,$CD$为双曲线的一部分)
(1)分别求出线段$AB$和双曲线$CD$的函数表达式;
(2)若学生的注意力指数不低于40为高效时间,根据图中信息,求一般情况下,完成一份数学家庭作业的高效时间是多少分钟.

8. 解:(1)设线段AB所在直线的函数表达式为$y_1=k_1x+30$.
把$B(10,50)$代入,得$k_1=2$,
$\therefore$ 线段AB的函数表达式为$y_1=2x+30(0≤ x≤ 10)$.
设点C,D所在双曲线的函数表达式为$y_2=\frac{k_2}{x}$.
把$C(44,50)$代入,得$k_2=2200$,
$\therefore$ 双曲线CD的函数表达式为$y_2=\frac{2200}{x}(x≥ 44)$.
(2)将$y=40$代入$y_1=2x+30$,解得$x=5$.
将$y=40$代入$y_2=\frac{2200}{x}$,解得$x=55$.
$55-5=50$(分).
答:完成一份数学家庭作业的高效时间是50分钟.

【分析】
这是分段函数的实际应用问题，解题思路如下：
1. 第一问求两个分段的函数表达式：线段AB是一次函数，已知它过点A(0,30)，可直接设截距为30的一次函数形式，代入已知点B(10,50)即可算出斜率，同时标注x的取值范围0≤x≤10；CD段是双曲线即反比例函数，已知点C(44,50)，代入反比例函数标准形式就能求出比例系数，标注x≥44的范围。
2. 第二问求高效时间：注意力指数不低于40即y≥40，先在AB段找到y=40对应的起始x值，再在CD段找到y=40对应的结束x值，中间BC段的y恒为50，完全满足≥40的要求，两个x的差值就是总的高效时长。
【解析】
(1) 求线段AB的函数表达式：
设线段AB对应的一次函数为$y_1=k_1x+30$，由图可知该函数过点$B(10,50)$，将点代入函数：
$50 = 10k_1 + 30$，解得$k_1=2$，
因此线段AB的函数表达式为$y_1=2x+30$，自变量取值范围是$0≤ x≤10$。
求双曲线CD的函数表达式：
设双曲线CD对应的反比例函数为$y_2=\frac{k_2}{x}$，由图可知该函数过点$C(44,50)$，将点代入函数：
$50=\frac{k_2}{44}$，解得$k_2=2200$，
因此双曲线CD的函数表达式为$y_2=\frac{2200}{x}$，自变量取值范围是$x≥44$。
(2) 计算高效时间：
高效时间要求注意力指数$y≥40$：
① 在线段AB段，令$y_1=40$，代入$y_1=2x+30$得：
$40=2x+30$，解得$x=5$，即从第5分钟开始注意力指数达到40。
② BC段的函数值恒为50，始终满足$y≥40$。
③ 在双曲线CD段，令$y_2=40$，代入$y_2=\frac{2200}{x}$得：
$40=\frac{2200}{x}$，解得$x=55$，即到第55分钟时注意力指数降到40。
因此总的高效时长为$55-5=50$分钟。
【答案】
(1) 线段AB的函数表达式为$y_1=2x+30(0≤ x≤ 10)$，双曲线CD的函数表达式为$y_2=\frac{2200}{x}(x≥ 44)$；(2) 完成一份数学家庭作业的高效时间是50分钟。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求反比例函数解析式
分段函数实际应用
【点评】
本题是函数在实际场景中的应用，核心考察待定系数法求分段函数的解析式，通过函数值反向求解自变量，最终计算符合条件的时间长度，解题时要注意不同分段对应的自变量取值范围，不要遗漏中间BC段完全满足高效条件的部分，是中考常见的函数实际应用基础题型。
【难度系数】
0.7