登录
1.(5分)如图,已知△ABC是等边三角形,点D在边AC上,∠DBC=35°,则∠ADB的度数为 (
A.25°
B.60°
C.85°
D.95°
（第1题图）
（第2题图）
D
)A.25°
B.60°
C.85°
D.95°
（第1题图）
（第2题图）
答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先从已知条件出发，已知△ABC是等边三角形，可先回忆等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都为60°，由此可得∠C=60°。接下来观察所求角∠ADB的位置，它是△BCD的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，直接代入已知的∠DBC和求出的∠C的度数即可计算；也可先在△BCD中用三角形内角和求出∠BDC的度数，再根据邻补角的和为180°求出∠ADB的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
∵∠ADB是△BCD的外角，
∴∠ADB=∠DBC + ∠C（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
将∠DBC=35°，∠C=60°代入得：
∠ADB=35°+60°=95°。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题型，重点考察等边三角形的基础性质和三角形外角性质的应用，只要熟练掌握相关基础概念，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先从已知条件出发，已知△ABC是等边三角形，可先回忆等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都为60°，由此可得∠C=60°。接下来观察所求角∠ADB的位置，它是△BCD的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，直接代入已知的∠DBC和求出的∠C的度数即可计算；也可先在△BCD中用三角形内角和求出∠BDC的度数，再根据邻补角的和为180°求出∠ADB的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
∵∠ADB是△BCD的外角，
∴∠ADB=∠DBC + ∠C（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
将∠DBC=35°，∠C=60°代入得：
∠ADB=35°+60°=95°。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题型，重点考察等边三角形的基础性质和三角形外角性质的应用，只要熟练掌握相关基础概念，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2.(5分)如图,在等边三角形ABC中,AD平分∠BAC,则下列结论不正确的是 (
A.$AD⊥BC$
B.$BD=CD$
C.$AB=2BD$
D.$AD=BC$
D
)A.$AD⊥BC$
B.$BD=CD$
C.$AB=2BD$
D.$AD=BC$
答案
2. D
解析
【分析】
解题时首先回忆等边三角形的性质：等边三角形三边相等，三个内角均为60°，且满足“三线合一”（顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）。结合AD平分∠BAC的条件，先推导AD的性质，再逐一验证每个选项的正误，最终选出不正确的结论即可。
【解析】
已知△ABC是等边三角形，因此$AB=BC=AC$，$∠ B=∠ BAC=60°$。
∵AD平分$∠ BAC$，根据等边三角形“三线合一”的性质可得：
$AD⊥ BC$，$BD=CD$，因此A、B选项结论正确；
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$，根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得$BD=\frac{1}{2}AB$，即$AB=2BD$，因此C选项结论正确；
设等边三角形边长为$a$，则$BC=a$，在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$BD=\frac{a}{2}$，由勾股定理得$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{a^2-(\frac{a}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a≠ a$，即$AD≠ BC$，因此D选项结论错误。
题目要求选择不正确的结论，故选D。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质，三线合一，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查等边三角形的核心性质，解题时需注意审题，明确题目要求选“不正确”的选项，避免因粗心漏看题干要求丢分，熟练掌握等边三角形三线合一的特征即可快速判断选项正误。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆等边三角形的性质：等边三角形三边相等，三个内角均为60°，且满足“三线合一”（顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）。结合AD平分∠BAC的条件，先推导AD的性质，再逐一验证每个选项的正误，最终选出不正确的结论即可。
【解析】
已知△ABC是等边三角形，因此$AB=BC=AC$，$∠ B=∠ BAC=60°$。
∵AD平分$∠ BAC$，根据等边三角形“三线合一”的性质可得：
$AD⊥ BC$，$BD=CD$，因此A、B选项结论正确；
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$，根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得$BD=\frac{1}{2}AB$，即$AB=2BD$，因此C选项结论正确；
设等边三角形边长为$a$，则$BC=a$，在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$BD=\frac{a}{2}$，由勾股定理得$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{a^2-(\frac{a}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a≠ a$，即$AD≠ BC$，因此D选项结论错误。
题目要求选择不正确的结论，故选D。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质，三线合一，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查等边三角形的核心性质，解题时需注意审题，明确题目要求选“不正确”的选项，避免因粗心漏看题干要求丢分，熟练掌握等边三角形三线合一的特征即可快速判断选项正误。
【难度系数】
0.8
3.(5分)在$△ ABC$中，$∠ B=60°$，$AB=BC=6$，则$AC$的长为（
A.4
B.6
C.8
D.10
B
）A.4
B.6
C.8
D.10
答案
3. B
解析
【分析】
读题可知△ABC中AB=BC，可先判定它是等腰三角形，同时已知两边的夹角∠B=60°，结合等边三角形的判定定理“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，可先确定△ABC的类型，再利用等边三角形三边相等的性质即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，AB=BC=6
∴ △ABC是等腰三角形
又
∵ ∠B=60°
∴ △ABC是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）
∴ AC=AB=6
故选B。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的判定；等边三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查等边三角形的判定与性质的应用，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.9
读题可知△ABC中AB=BC，可先判定它是等腰三角形，同时已知两边的夹角∠B=60°，结合等边三角形的判定定理“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，可先确定△ABC的类型，再利用等边三角形三边相等的性质即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，AB=BC=6
∴ △ABC是等腰三角形
又
∵ ∠B=60°
∴ △ABC是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）
∴ AC=AB=6
故选B。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的判定；等边三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查等边三角形的判定与性质的应用，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.9
4.(5分)如图,在等边三角形ABC中,AD⊥BC于点D,E是AD的延长线上一点.若AE=AC,则∠AEC的度数为 (
A.$45°$
B.$60°$
C.$65°$
D.$75°$
D
)A.$45°$
B.$60°$
C.$65°$
D.$75°$
答案
4. D
解析
【分析】
解题时首先从等边三角形的性质入手：等边三角形每个内角为60°，且满足“三线合一”，已知AD⊥BC，可得AD平分∠BAC，先求出∠CAE的度数；再结合AE=AC可知△AEC为等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和定理即可求出∠AEC的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠BAC=60°
∵AD⊥BC，根据等边三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×60°=30°
又
∵AE=AC
∴△AEC是等腰三角形，∠AEC=∠ACE
根据三角形内角和为180°，可得：
∠AEC=(180°-∠CAE)÷2=(180°-30°)÷2=75°
故选：D
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础计算题，解题核心是熟练运用等边三角形三线合一的性质得到角的度数，再结合等腰三角形的性质计算角度，属于对基础知识点的综合考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先从等边三角形的性质入手：等边三角形每个内角为60°，且满足“三线合一”，已知AD⊥BC，可得AD平分∠BAC，先求出∠CAE的度数；再结合AE=AC可知△AEC为等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和定理即可求出∠AEC的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠BAC=60°
∵AD⊥BC，根据等边三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×60°=30°
又
∵AE=AC
∴△AEC是等腰三角形，∠AEC=∠ACE
根据三角形内角和为180°，可得：
∠AEC=(180°-∠CAE)÷2=(180°-30°)÷2=75°
故选：D
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础计算题，解题核心是熟练运用等边三角形三线合一的性质得到角的度数，再结合等腰三角形的性质计算角度，属于对基础知识点的综合考查。
【难度系数】
0.8
5.（5分）半开放性试题 在$△ ABC$中，$∠ B=∠ C$，若添加一个条件使$△ ABC$是等边三角形，则添加的条件可以是
∠B=∠A(答案不唯一)
.（写出一个即可）答案
5. ∠B=∠A(答案不唯一)
解析
【分析】
首先由已知∠B=∠C，根据等角对等边可得出△ABC是等腰三角形，AB=AC。接下来回忆等边三角形的判定方法：①三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。我们只需要根据这些判定规则，添加一个符合要求的条件即可，既可以从角的角度添加，比如让第三个角和已知的两个角相等，或者让其中一个角为60°，也可以从边的角度添加，让腰和底边相等。
【解析】
解：已知在△ABC中，∠B=∠C，根据等角对等边，可得AB=AC，即△ABC为等腰三角形。
根据等边三角形的判定规则，可添加的条件示例：
若添加∠B=∠A，则∠A=∠B=∠C，三个内角都相等的三角形是等边三角形，符合要求；
也可添加∠B=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，符合要求；
还可添加AB=BC，此时AB=AC=BC，三边相等的三角形是等边三角形，符合要求。
写出其中一个即可。
【答案】
∠B=∠A(答案不唯一)
【知识点】
等腰三角形的判定；等边三角形的判定
【点评】
本题属于半开放型基础题，主要考查等腰三角形与等边三角形的联系及等边三角形的判定方法，解题时结合已知条件对应判定定理添加合理条件即可，答案不唯一。
【难度系数】
0.9
首先由已知∠B=∠C，根据等角对等边可得出△ABC是等腰三角形，AB=AC。接下来回忆等边三角形的判定方法：①三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。我们只需要根据这些判定规则，添加一个符合要求的条件即可，既可以从角的角度添加，比如让第三个角和已知的两个角相等，或者让其中一个角为60°，也可以从边的角度添加，让腰和底边相等。
【解析】
解：已知在△ABC中，∠B=∠C，根据等角对等边，可得AB=AC，即△ABC为等腰三角形。
根据等边三角形的判定规则，可添加的条件示例：
若添加∠B=∠A，则∠A=∠B=∠C，三个内角都相等的三角形是等边三角形，符合要求；
也可添加∠B=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，符合要求；
还可添加AB=BC，此时AB=AC=BC，三边相等的三角形是等边三角形，符合要求。
写出其中一个即可。
【答案】
∠B=∠A(答案不唯一)
【知识点】
等腰三角形的判定；等边三角形的判定
【点评】
本题属于半开放型基础题，主要考查等腰三角形与等边三角形的联系及等边三角形的判定方法，解题时结合已知条件对应判定定理添加合理条件即可，答案不唯一。
【难度系数】
0.9
6.(5分)如图,在等边三角形ABC中,AD是△ABC的中线,点E在线段AD上.若∠EBC=45°,则∠ACE的度数为
15°
.答案
6. 15°
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据等边三角形的性质，结合AD是中线，利用“三线合一”可得AD垂直平分BC；再根据线段垂直平分线的性质，得到EB=EC，由等边对等角可知∠ECB=∠EBC；最后结合等边三角形内角为60°，用∠ACB减去∠ECB即可求出∠ACE的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AB=AC。
∵AD是△ABC的中线，
∴AD垂直平分BC（等边三角形三线合一）。
∵点E在线段AD上，
∴EB=EC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴∠ECB=∠EBC=45°（等边对等角），
∴∠ACE=∠ACB - ∠ECB=60° - 45°=15°。
【答案】
15°
【知识点】
等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是熟练运用等边三角形三线合一、线段垂直平分线的性质推导角的等量关系，计算过程简单，侧重对基础性质的考查。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先根据等边三角形的性质，结合AD是中线，利用“三线合一”可得AD垂直平分BC；再根据线段垂直平分线的性质，得到EB=EC，由等边对等角可知∠ECB=∠EBC；最后结合等边三角形内角为60°，用∠ACB减去∠ECB即可求出∠ACE的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AB=AC。
∵AD是△ABC的中线，
∴AD垂直平分BC（等边三角形三线合一）。
∵点E在线段AD上，
∴EB=EC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴∠ECB=∠EBC=45°（等边对等角），
∴∠ACE=∠ACB - ∠ECB=60° - 45°=15°。
【答案】
15°
【知识点】
等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是熟练运用等边三角形三线合一、线段垂直平分线的性质推导角的等量关系，计算过程简单，侧重对基础性质的考查。
【难度系数】
0.7
7.(5分) 日常生活情境 某种落地灯的简易示意图如图所示，已知悬杆的CD部分的长度与支杆BC相等，且$∠ BCE=120°$.若CD的长为55 cm，则B,D两点之间的距离为
（第7题图）
（第8题图）
55
cm.（第7题图）
（第8题图）
答案
7. 55
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先由CD=BC可得△BCD是等腰三角形，再结合∠BCE=120°，利用平角的性质求出等腰三角形的顶角∠BCD的度数，最后根据等边三角形的判定定理即可推出△BCD为等边三角形，从而得到BD的长度。
【解析】
解：
∵ CD=BC，CD=55 cm
∴ BC=55 cm
∵ ∠BCE=120°，∠BCE与∠BCD互为邻补角（平角的定义）
∴ ∠BCD=180°-∠BCE=180°-120°=60°
在△BCD中，BC=CD，∠BCD=60°
∴ △BCD是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）
∴ BD=BC=55 cm
【答案】
55
【知识点】
等边三角形的判定；平角的性质
【点评】
本题结合生活中的落地灯情境考查几何基础知识点，解题核心是通过已知边相等和角度计算判定等边三角形，进而得到所求线段长度，侧重对基础定理的理解与应用。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先由CD=BC可得△BCD是等腰三角形，再结合∠BCE=120°，利用平角的性质求出等腰三角形的顶角∠BCD的度数，最后根据等边三角形的判定定理即可推出△BCD为等边三角形，从而得到BD的长度。
【解析】
解：
∵ CD=BC，CD=55 cm
∴ BC=55 cm
∵ ∠BCE=120°，∠BCE与∠BCD互为邻补角（平角的定义）
∴ ∠BCD=180°-∠BCE=180°-120°=60°
在△BCD中，BC=CD，∠BCD=60°
∴ △BCD是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）
∴ BD=BC=55 cm
【答案】
55
【知识点】
等边三角形的判定；平角的性质
【点评】
本题结合生活中的落地灯情境考查几何基础知识点，解题核心是通过已知边相等和角度计算判定等边三角形，进而得到所求线段长度，侧重对基础定理的理解与应用。
【难度系数】
0.8
8.(5分)将含$30°$角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，已知$∠α=60°$，点B，C对应的刻度分别为1，3，则线段AB的长为
2
cm.答案
8. 2
解析
【分析】
解题时首先通过刻度尺的刻度差计算出线段BC的长度，再利用直尺对边平行的性质推导角的等量关系，结合三角尺的内角度数判断三角形的形状，最后根据特殊三角形的性质求出AB的长度。
【解析】
1. 计算BC的长度：已知点B、C对应的刻度分别为1cm、3cm，因此$BC=3-1=2\mathrm{cm}$。
2. 推导角的关系：因为直尺的上下对边互相平行，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ ACB=∠ α =60°$。
3. 判断三角形形状：已知三角尺的顶角$∠ A=60°$，在$△ ABC$中，$∠ A=60°$，$∠ ACB=60°$，因此$∠ ABC=180°-60°-60°=60°$，三个内角均为$60°$，故$△ ABC$是等边三角形。
4. 求AB的长度：根据等边三角形三边相等的性质，可得$AB=BC=2\mathrm{cm}$。
【答案】
2
【知识点】
平行线的性质；等边三角形的判定与性质；刻度尺读数
【点评】
本题结合常见的学习工具三角尺、直尺命题，综合考查了基础几何知识点的应用，解题的突破口是通过平行线得到等角，进而判断出三角形为等边三角形，侧重对基础知识灵活运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先通过刻度尺的刻度差计算出线段BC的长度，再利用直尺对边平行的性质推导角的等量关系，结合三角尺的内角度数判断三角形的形状，最后根据特殊三角形的性质求出AB的长度。
【解析】
1. 计算BC的长度：已知点B、C对应的刻度分别为1cm、3cm，因此$BC=3-1=2\mathrm{cm}$。
2. 推导角的关系：因为直尺的上下对边互相平行，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ ACB=∠ α =60°$。
3. 判断三角形形状：已知三角尺的顶角$∠ A=60°$，在$△ ABC$中，$∠ A=60°$，$∠ ACB=60°$，因此$∠ ABC=180°-60°-60°=60°$，三个内角均为$60°$，故$△ ABC$是等边三角形。
4. 求AB的长度：根据等边三角形三边相等的性质，可得$AB=BC=2\mathrm{cm}$。
【答案】
2
【知识点】
平行线的性质；等边三角形的判定与性质；刻度尺读数
【点评】
本题结合常见的学习工具三角尺、直尺命题，综合考查了基础几何知识点的应用，解题的突破口是通过平行线得到等角，进而判断出三角形为等边三角形，侧重对基础知识灵活运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
9.(7分)(教材P84习题T5变式)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B,点E在AB上,CE//DA,∠ECB=60°.求证:△BCE是等边三角形.
答案
9. 证明:
∵CE//DA,
∴∠A=∠BEC.
∵∠A=∠B,
∴∠B=∠BEC.
∴BC=CE.
∵∠ECB=60°,
∴△BCE是等边三角形.
∵CE//DA,
∴∠A=∠BEC.
∵∠A=∠B,
∴∠B=∠BEC.
∴BC=CE.
∵∠ECB=60°,
∴△BCE是等边三角形.
解析
【分析】
要证明△BCE是等边三角形，我们可以结合等边三角形的判定定理思考：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。题目已经给出∠ECB=60°，因此只需先证明△BCE是等腰三角形即可。首先利用平行线的性质，由CE//AD可得同位角∠A=∠BEC，再结合已知∠A=∠B，通过等量代换得到∠B=∠BEC，根据等角对等边即可推出BC=CE，得到等腰三角形后，结合60°的内角就能完成等边三角形的判定。
【解析】
证明:
∵CE//DA,
∴∠A=∠BEC.
∵∠A=∠B,
∴∠B=∠BEC.
∴BC=CE.
∵∠ECB=60°,
∴△BCE是等边三角形.
【答案】
证明过程见上述解析。
【知识点】
平行线的性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，综合考查了平行线、等腰三角形和等边三角形的相关性质与判定，解题的关键是通过角的等量关系推导得到等腰三角形，再结合已知的60°角完成判定，整体逻辑清晰，推导过程简单。
【难度系数】
0.8
要证明△BCE是等边三角形，我们可以结合等边三角形的判定定理思考：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。题目已经给出∠ECB=60°，因此只需先证明△BCE是等腰三角形即可。首先利用平行线的性质，由CE//AD可得同位角∠A=∠BEC，再结合已知∠A=∠B，通过等量代换得到∠B=∠BEC，根据等角对等边即可推出BC=CE，得到等腰三角形后，结合60°的内角就能完成等边三角形的判定。
【解析】
证明:
∵CE//DA,
∴∠A=∠BEC.
∵∠A=∠B,
∴∠B=∠BEC.
∴BC=CE.
∵∠ECB=60°,
∴△BCE是等边三角形.
【答案】
证明过程见上述解析。
【知识点】
平行线的性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，综合考查了平行线、等腰三角形和等边三角形的相关性质与判定，解题的关键是通过角的等量关系推导得到等腰三角形，再结合已知的60°角完成判定，整体逻辑清晰，推导过程简单。
【难度系数】
0.8
