11.（10分）如图，AD平分∠BAC，且AD⊥BD，垂足为D，DE//AC，交AB于点E。
（1）求证：AE=DE；
（2）求证：△BDE是等腰三角形。

11. 证明:(1)
∵DE//AC,
∴∠CAD=∠EDA.
∵AD平分∠BAC,
∴∠CAD=∠EAD.
∴∠EAD=∠EDA.
∴AE=DE.(2)
∵AD⊥BD,
∴∠EAD+∠B=90°,∠EDA+∠BDE=90°.由(1)知∠EAD=∠EDA,
∴∠B=∠BDE.
∴BE=DE.
∴△BDE是等腰三角形.

【分析】
（1）要证AE=DE，可通过“等角对等边”推导，即证明∠EAD=∠EDA：首先由DE//AC，利用平行线的内错角相等可得∠CAD=∠EDA，再结合AD平分∠BAC得到∠CAD=∠EAD，等量代换即可得到∠EAD=∠EDA，从而证得AE=DE。
（2）要证△BDE是等腰三角形，同样可通过等角推等边，即证明∠B=∠BDE：已知AD⊥BD，可得∠ADB=90°，因此∠EAD与∠B互余，∠EDA与∠BDE互余，结合（1）的结论∠EAD=∠EDA，根据等角的余角相等即可推出∠B=∠BDE，进而得到BE=DE，即可证明△BDE是等腰三角形。
【解析】
(1) 证明：
∵DE//AC，
∴∠CAD=∠EDA。
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠EAD。
∴∠EAD=∠EDA。
∴AE=DE。
(2) 证明：
∵AD⊥BD，
∴∠EAD+∠B=90°,∠EDA+∠BDE=90°。
由(1)知∠EAD=∠EDA，
∴∠B=∠BDE。
∴BE=DE。
∴△BDE是等腰三角形。
【答案】
(1) 证明成立，AE=DE；(2) 证明成立，△BDE是等腰三角形。
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础应用题型，解题核心是结合平行线、角平分线、垂直的性质完成角的等量代换，熟练掌握相关性质和判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8

12.(12分)(教材P81练习T2变式)将一张长方形纸条ABCD按如图所示的方式折叠，已知∠FEC=64°.
(1)求∠1的度数；
(2)求证:△GEF是等腰三角形.

12. (1)解:由题意,得∠GEF=∠FEC=64°.
∵AD//BC,
∴∠1=∠GEB=180°−∠GEF−∠FEC=52°.(2)证明:
∵AD//BC,
∴∠GFE=∠FEC=64°.由折叠的性质知∠GEF=64°.
∴∠GEF=∠GFE.
∴GE=GF.
∴△GEF是等腰三角形.

【分析】
(1)求解∠1度数时，首先利用折叠前后对应角相等的性质，得出∠GEF=∠FEC=64°；再结合长方形对边平行的性质，可知∠1与∠GEB是同位角，二者相等；最后根据平角为180°，计算∠GEB的度数即可得到∠1的大小。
(2)证明△GEF是等腰三角形，只需证明三角形有两个内角相等即可：先利用平行线的内错角相等得到∠GFE=∠FEC，再结合折叠性质得到∠GEF=∠FEC，即可推出∠GEF=∠GFE，根据等角对等边即可判定△GEF为等腰三角形。
【解析】
(1)解：由折叠的性质可得∠GEF=∠FEC=64°。
∵长方形ABCD中AD//BC，
∴∠1=∠GEB，
∵∠GEB=180°−∠GEF−∠FEC=180°−64°−64°=52°，
∴∠1=52°。
(2)证明：
∵AD//BC，
∴∠GFE=∠FEC=64°，
由折叠的性质可知∠GEF=∠FEC=64°，
∴∠GEF=∠GFE，
∴GE=GF，
∴△GEF是等腰三角形。
【答案】
(1)∠1=52°；(2)△GEF是等腰三角形，证明如上。
【知识点】
折叠的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题结合折叠变换考查平行线与等腰三角形的相关知识，属于基础常规题型，解题核心是抓住折叠前后对应角相等的特点，结合平行线的角的关系推导即可，难度较低。
【难度系数】
0.8

13.(12分)如图,在$△ ABC$中,$AC＞BC$,$∠ A=45°$,D是边AB上一点,且$DC=BC$,过点B作$BF⊥ CD$于点E,与AC交于点F,过点C作$CG⊥ BD$,垂足为G.
(1)求证:$∠ BCD=2∠ ABF$;
(2)判断$△ BCF$的形状,并说明理由.

13. (1)证明:
∵BC=DC,CG⊥BD,
∴∠DCG=∠BCG=$\frac{1}{2}$∠BCD,∠DCG+∠CDG=90°.
∵BF⊥CD,
∴∠ABF+∠CDG=90°.
∴∠ABF=∠DCG=$\frac{1}{2}$∠BCD.
∴∠BCD=2∠ABF.(2)解:△BCF是等腰三角形.理由如下:
∵∠A=45°,CG⊥AB,
∴∠ACG=45°.
∵∠BCF=∠ACG+∠BCG=45°+∠BCG,∠BFC=∠A+∠ABF=45°+∠ABF,由(1)知∠BCG=∠DCG=∠ABF,
∴∠BCF=∠BFC.
∴BC=BF.
∴△BCF是等腰三角形.

【分析】
(1) 要证∠BCD=2∠ABF，首先利用等腰三角形“三线合一”的性质：已知DC=BC且CG⊥BD，可得CG平分∠BCD，即∠BCD=2∠DCG；接下来只需证明∠ABF=∠DCG即可，由BF⊥CD、CG⊥BD可知∠ABF和∠DCG都与∠CDG互余，根据同角的余角相等即可得到两角相等，进而推出结论。
(2) 判断△BCF的形状可从角的等量关系入手：先由∠A=45°、CG⊥AB推出∠ACG=45°，再分别用三角形外角的性质表示出∠BCF和∠BFC，结合(1)中得到的∠BCG=∠ABF，可证得∠BCF=∠BFC，根据“等角对等边”即可得到边相等，从而判断三角形的形状。
【解析】
(1) 证明：
∵BC=DC，CG⊥BD，
∴∠DCG=∠BCG=$\frac{1}{2}$∠BCD，∠DCG+∠CDG=90°，
∵BF⊥CD，
∴∠ABF+∠CDG=90°，
∴∠ABF=∠DCG=$\frac{1}{2}$∠BCD，
∴∠BCD=2∠ABF。
(2) 解：△BCF是等腰三角形，理由如下：
∵∠A=45°，CG⊥AB，
∴∠ACG=90°-∠A=45°，
∵∠BCF=∠ACG+∠BCG=45°+∠BCG，
∠BFC是△ABF的外角，
∴∠BFC=∠A+∠ABF=45°+∠ABF，
由(1)知∠BCG=∠DCG=∠ABF，
∴∠BCF=∠BFC，
∴BC=BF，
∴△BCF是等腰三角形。
【答案】
(1) 证明成立，∠BCD=2∠ABF；(2) △BCF是等腰三角形。
【知识点】
等腰三角形的性质与判定，同角的余角相等，三角形外角的性质
【点评】
本题综合考察等腰三角形的相关性质、直角三角形的角度关系以及三角形外角性质，解题核心是通过角度的等量代换推导角的相等或倍分关系，能够有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

14.(5分) 渗透分类讨论思想 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ B=40°$,点D在线段BC上运动(点D不与点B,C重合),连接AD,作$∠ ADE=40°$,DE与AC交于点E.在点D的运动过程中,当$∠ BDA$的度数为时,$△ ADE$是等腰三角形.

14. 110°或 80°

【分析】
首先根据等腰△ABC的性质求出各内角度数，再明确△ADE为等腰三角形需分三类讨论：AD=AE、AD=DE、DE=AE，结合点D不与B、C重合的限制条件舍去不符合的情况，再利用三角形内角和定理分别计算对应∠BDA的度数即可。
【解析】
∵ AB=AC，∠B=40°，
∴ ∠C=∠B=40°，∠BAC=180°-40°×2=100°，
△ADE为等腰三角形，分三种情况讨论：
1. 当AD=AE时，∠AED=∠ADE=40°，
则∠DAE=180°-40°×2=100°，此时∠DAE与∠BAC重合，点D与点B重合，不符合题意，舍去；
2. 当AD=DE时，∠DAE=∠DEA，
∵ ∠ADE=40°，
∴ ∠DAE=(180°-40°)÷2=70°，
∴ ∠BAD=∠BAC - ∠DAE=100°-70°=30°，
在△ABD中，∠BDA=180°-∠B - ∠BAD=180°-40°-30°=110°，符合题意；
3. 当DE=AE时，∠DAE=∠ADE=40°，
∴ ∠BAD=100°-40°=60°，
在△ABD中，∠BDA=180°-40°-60°=80°，符合题意。
综上，∠BDA的度数为110°或80°。
【答案】
110°或80°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题需要结合等腰三角形的性质，对等腰三角形的腰的情况进行分类讨论，解题时要注意排除不符合题意的情况，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6