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3. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = \mathrm{Rt} ∠ $，$ \sin B = \frac{\sqrt{3}}{2} $，$ AC = 4\sqrt{3} $. 求 $ ∠ A $ 的度数和 $ △ ABC $ 的面积.
答案
3. $∠ A = 30^{\circ},S_{△ ABC}=8\sqrt{3}$
解析
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=\mathrm{Rt}∠$，
因为$\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$∠ B=60^{\circ}$，
则$∠ A=90^{\circ}-∠ B=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$。
因为$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$AC=4\sqrt{3}$，
所以$\frac{4\sqrt{3}}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得$AB=8$。
由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{8^{2}-(4\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{64 - 48}=\sqrt{16}=4$。
所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×4=8\sqrt{3}$。
$∠ A = 30^{\circ}$，$S_{△ ABC}=8\sqrt{3}$
因为$\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$∠ B=60^{\circ}$，
则$∠ A=90^{\circ}-∠ B=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$。
因为$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$AC=4\sqrt{3}$，
所以$\frac{4\sqrt{3}}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得$AB=8$。
由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{8^{2}-(4\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{64 - 48}=\sqrt{16}=4$。
所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×4=8\sqrt{3}$。
$∠ A = 30^{\circ}$，$S_{△ ABC}=8\sqrt{3}$
4. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = \mathrm{Rt} ∠ $，$ a $，$ b $，$ c $ 分别是 $ ∠ A $，$ ∠ B $，$ ∠ C $ 的对边. 根据下列条件解直角三角形.
(1) $ a = 6 $，$ ∠ B = 45^{\circ} $.
(2) $ a = 2\sqrt{3} $，$ b = 6 $.
(1) $ a = 6 $，$ ∠ B = 45^{\circ} $.
(2) $ a = 2\sqrt{3} $，$ b = 6 $.
答案
4. (1) $∠ A = 45^{\circ},b = 6,c = 6\sqrt{2}$ (2) $c = 4\sqrt{3},∠ A = 30^{\circ},∠ B = 60^{\circ}$
解析
(1)
$∠A=90^{\circ}-∠B=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$.
$\because∠A=∠B=45^{\circ}$，$\therefore b=a=6$.
$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{6^{2}+6^{2}}=6\sqrt{2}$.
(2)
$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}+6^{2}}=\sqrt{12+36}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$.
$\tan A=\dfrac{a}{b}=\dfrac{2\sqrt{3}}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，$\therefore∠A=30^{\circ}$.
$∠B=90^{\circ}-∠A=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$.
$∠A=90^{\circ}-∠B=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$.
$\because∠A=∠B=45^{\circ}$，$\therefore b=a=6$.
$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{6^{2}+6^{2}}=6\sqrt{2}$.
(2)
$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}+6^{2}}=\sqrt{12+36}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$.
$\tan A=\dfrac{a}{b}=\dfrac{2\sqrt{3}}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，$\therefore∠A=30^{\circ}$.
$∠B=90^{\circ}-∠A=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$.
5. 如图，$ \odot O $ 的半径为 20，$ \overset{\frown}{AB} $ 的度数为 $ 36^{\circ} $，求弦 $ AB $ 及其弦心距 $ OC $ 的长(结果精确到 0.1).
参考数据：$ \sin 18^{\circ} \approx 0.309 $，$ \cos 18^{\circ} \approx 0.951 $，$ \sin 36^{\circ} \approx 0.588 $，$ \cos 36^{\circ} \approx 0.809 $.
参考数据：$ \sin 18^{\circ} \approx 0.309 $，$ \cos 18^{\circ} \approx 0.951 $，$ \sin 36^{\circ} \approx 0.588 $，$ \cos 36^{\circ} \approx 0.809 $.
答案
5. $OC\approx 19.0,AB\approx 12.4$
解析
解：连接 $OA$，$OB$，则 $OA=OB=20$。
因为 $\overset{\frown}{AB}$ 的度数为 $36^{\circ}$，所以 $∠ AOB=36^{\circ}$。
由于 $OC$ 是弦心距，所以 $OC⊥ AB$，$AC=CB$，$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB=18^{\circ}$。
在 $Rt△ AOC$ 中：
$OC=OA·\cos∠ AOC=20×\cos18^{\circ}\approx20×0.951=19.02\approx19.0$；
$AC=OA·\sin∠ AOC=20×\sin18^{\circ}\approx20×0.309=6.18$。
所以 $AB=2AC=2×6.18=12.36\approx12.4$。
答：弦 $AB$ 的长约为 $12.4$，弦心距 $OC$ 的长约为 $19.0$。
因为 $\overset{\frown}{AB}$ 的度数为 $36^{\circ}$，所以 $∠ AOB=36^{\circ}$。
由于 $OC$ 是弦心距，所以 $OC⊥ AB$，$AC=CB$，$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB=18^{\circ}$。
在 $Rt△ AOC$ 中：
$OC=OA·\cos∠ AOC=20×\cos18^{\circ}\approx20×0.951=19.02\approx19.0$；
$AC=OA·\sin∠ AOC=20×\sin18^{\circ}\approx20×0.309=6.18$。
所以 $AB=2AC=2×6.18=12.36\approx12.4$。
答：弦 $AB$ 的长约为 $12.4$，弦心距 $OC$ 的长约为 $19.0$。
