6. 如图是一把可调节座椅的侧面示意图，已知头枕上的点 $ A $ 到调节器点 $ O $ 的距离为 $ 80 \mathrm{ cm} $，$ AO $ 与地面垂直，现调整靠背，把 $ OA $ 绕点 $ O $ 旋转 $ 35^{\circ} $ 到 $ OA' $ 处. 求调整后点 $ A' $ 比调整前点 $ A $ 的高度降低了多少厘米(结果取整数).
参考数据：$ \sin 35^{\circ} \approx 0.57 $，$ \cos 35^{\circ} \approx 0.82 $，$ \tan 35^{\circ} \approx 0.70 $.

6. 过点 $A'$ 作 $A'B⊥ AO$ 于点 $B$. 由题意，知 $OA = OA' = 80\mathrm{cm},∠ AOA' = 35^{\circ}$，$\therefore OB = OA'\cos 35^{\circ}\approx 65.6(\mathrm{cm})$，所以调整后点 $A'$ 比调整前点 $A$ 降低的高度 $AB = OA - OB = 80 - 65.6\approx 14(\mathrm{cm})$

解：过点$A'$作$A'B ⊥ AO$于点$B$。
由题意，知$OA = OA' = 80\ \mathrm{cm}$，$∠ AOA' = 35°$。
在$\mathrm{Rt}△ OA'B$中，$\cos 35° = \frac{OB}{OA'}$，则$OB = OA' · \cos 35° \approx 80 × 0.82 = 65.6\ \mathrm{cm}$。
调整后点$A'$比调整前点$A$降低的高度$AB = OA - OB = 80 - 65.6 = 14.4\ \mathrm{cm} \approx 14\ \mathrm{cm}$。
答：调整后点$A'$比调整前点$A$的高度降低了$14$厘米。

7. 在等腰三角形 $ ABC $ 中，$ AB = AC $，$ BC = 8 \mathrm{ cm} $，$ \tan B = \frac{3}{4} $. 一个动点 $ P $ 在底边上从点 $ B $ 向点 $ C $ 以 $ 0.25 \mathrm{ cm/s} $ 的速度移动，当 $ PA $ 与腰垂直时，求点 $ P $ 运动的时间.

7. $7\mathrm{s}$ 或 $25\mathrm{s}$

过点$ A $作$ AD ⊥ BC $于点$ D $。
因为$ AB = AC $，$ BC = 8\ \mathrm{cm} $，所以$ BD = DC = 4\ \mathrm{cm} $。
在$ \mathrm{Rt}△ ABD $中，$ \tan B = \frac{AD}{BD} = \frac{3}{4} $，$ BD = 4\ \mathrm{cm} $，则$ AD = 3\ \mathrm{cm} $，$ AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = 5\ \mathrm{cm} $。
设点$ P $运动时间为$ t\ \mathrm{s} $，则$ BP = 0.25t\ \mathrm{cm} $，$ PD = |4 - 0.25t|\ \mathrm{cm} $。
情况一：当$ PA ⊥ AB $时
在$ \mathrm{Rt}△ ABP $中，$ \tan B = \frac{AP}{AB} = \frac{3}{4} $，则$ AP = \frac{15}{4}\ \mathrm{cm} $。
在$ \mathrm{Rt}△ APD $中，$ AP^2 = AD^2 + PD^2 $，即$ (\frac{15}{4})^2 = 3^2 + (4 - 0.25t)^2 $，解得$ t = 7 $。
情况二：当$ PA ⊥ AC $时
同理，$ AP = \frac{15}{4}\ \mathrm{cm} $，在$ \mathrm{Rt}△ APD $中，$ (\frac{15}{4})^2 = 3^2 + (0.25t - 4)^2 $，解得$ t = 25 $。
综上，点$ P $运动的时间为$ 7\ \mathrm{s} $或$ 25\ \mathrm{s} $。