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引入 补充完成下面证明过程.
已知:如图,在$△ ABC$中,$AB = AC$.求证:$∠ B = ∠ C$.
证明:如图,作$∠ BAC$的平分线$AD$,交$BC$于点$D$,则$∠ BAD = ∠$
$\because AB =$
$\therefore △ BAD ≌ △ CAD($
已知:如图,在$△ ABC$中,$AB = AC$.求证:$∠ B = ∠ C$.
证明:如图,作$∠ BAC$的平分线$AD$,交$BC$于点$D$,则$∠ BAD = ∠$
CAD
.$\because AB =$
AC
$,∠ BAD =$$∠CAD$
$,AD = AD$,$\therefore △ BAD ≌ △ CAD($
SAS
$). \therefore ∠ B =$$∠C$
.答案
引入 证明:如图,作$∠ BAC$的平分线$AD$,交$BC$于点$D$,则$∠ BAD = ∠CAD$.$\because AB = AC$,$∠ BAD = ∠CAD$,$AD = AD$,$\therefore △ BAD ≌ △ CAD(SAS). \therefore ∠ B = ∠C$.
解析
【分析】
要证明等腰三角形两底角相等，本题已给出作顶角平分线AD的辅助线思路，我们可按三步推导：首先根据角平分线的定义，得到AD平分∠BAC后两个相等的角；再梳理△BAD和△CAD全等的条件，已知AB=AC，有公共边AD，结合得到的等角，刚好满足两边及夹角对应相等的全等判定要求；最后利用全等三角形对应角相等的性质，即可推出∠B=∠C。
【解析】
按证明顺序逐步推导填空：
1. 由AD是∠BAC的平分线，根据角平分线定义，可得$∠ BAD=∠ CAD$，第一个空填$CAD$；
2. 题目已知$AB=AC$，因此第二个空填$AC$；
3. 已证$∠ BAD=∠ CAD$，因此第三个空填$∠ CAD$；
4. 在$△ BAD$和$△ CAD$中，$AB=AC$，$∠ BAD=∠ CAD$，$AD=AD$，符合两边及其夹角对应相等的全等判定定理，故判定依据为$SAS$；
5. 根据全等三角形对应角相等，可得$∠ B=∠ C$，最后一个空填$∠ C$。
完整证明过程：
作$∠ BAC$的平分线$AD$，交$BC$于点$D$，则$∠ BAD = ∠ CAD$。
$\because AB = AC$，$∠ BAD = ∠ CAD$，$AD = AD$，
$\therefore △ BAD ≌ △ CAD(\mathrm{SAS})$。
$\therefore ∠ B = ∠ C$。
【答案】
依次填空内容为：$CAD$；$AC$；$∠ CAD$；$\mathrm{SAS}$；$∠ C$，完整证明如下：
作$∠ BAC$的平分线$AD$,交$BC$于点$D$,则$∠ BAD = ∠CAD$。
$\because AB = AC$,$∠ BAD = ∠CAD$,$AD = AD$,
$\therefore △ BAD ≌ △ CAD(SAS)$。
$\therefore ∠ B = ∠C$。
【知识点】
角平分线定义；SAS全等判定；全等三角形性质
【点评】
本题是等腰三角形“等边对等角”性质的基础推导题，通过作角平分线构造全等三角形的思路非常典型，能帮助学生理解等腰三角形性质的推导逻辑，巩固全等三角形相关知识的应用。
【难度系数】
0.9
要证明等腰三角形两底角相等，本题已给出作顶角平分线AD的辅助线思路，我们可按三步推导：首先根据角平分线的定义，得到AD平分∠BAC后两个相等的角；再梳理△BAD和△CAD全等的条件，已知AB=AC，有公共边AD，结合得到的等角，刚好满足两边及夹角对应相等的全等判定要求；最后利用全等三角形对应角相等的性质，即可推出∠B=∠C。
【解析】
按证明顺序逐步推导填空：
1. 由AD是∠BAC的平分线，根据角平分线定义，可得$∠ BAD=∠ CAD$，第一个空填$CAD$；
2. 题目已知$AB=AC$，因此第二个空填$AC$；
3. 已证$∠ BAD=∠ CAD$，因此第三个空填$∠ CAD$；
4. 在$△ BAD$和$△ CAD$中，$AB=AC$，$∠ BAD=∠ CAD$，$AD=AD$，符合两边及其夹角对应相等的全等判定定理，故判定依据为$SAS$；
5. 根据全等三角形对应角相等，可得$∠ B=∠ C$，最后一个空填$∠ C$。
完整证明过程：
作$∠ BAC$的平分线$AD$，交$BC$于点$D$，则$∠ BAD = ∠ CAD$。
$\because AB = AC$，$∠ BAD = ∠ CAD$，$AD = AD$，
$\therefore △ BAD ≌ △ CAD(\mathrm{SAS})$。
$\therefore ∠ B = ∠ C$。
【答案】
依次填空内容为：$CAD$；$AC$；$∠ CAD$；$\mathrm{SAS}$；$∠ C$，完整证明如下：
作$∠ BAC$的平分线$AD$,交$BC$于点$D$,则$∠ BAD = ∠CAD$。
$\because AB = AC$,$∠ BAD = ∠CAD$,$AD = AD$,
$\therefore △ BAD ≌ △ CAD(SAS)$。
$\therefore ∠ B = ∠C$。
【知识点】
角平分线定义；SAS全等判定；全等三角形性质
【点评】
本题是等腰三角形“等边对等角”性质的基础推导题，通过作角平分线构造全等三角形的思路非常典型，能帮助学生理解等腰三角形性质的推导逻辑，巩固全等三角形相关知识的应用。
【难度系数】
0.9
归纳 性质:等腰三角形的两个底角
几何语言:如图,∵AB=AC,∴
相等
（简写成“等边对等角
”）。几何语言:如图,∵AB=AC,∴
$∠C=∠B$
。答案
归纳 性质:等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。几何语言:如图,
∵AB=AC,
∴$∠C=∠B$。
∵AB=AC,
∴$∠C=∠B$。
解析
【分析】
本题考查等腰三角形基本性质的识记与几何语言规范书写。解题思路如下：第一步，回忆等腰三角形的核心性质：有两边相等的三角形为等腰三角形，相等的两条边称为腰，腰所对的两个角为底角，两个底角大小相等，该性质简记为“等边对等角”；第二步，对应几何语言的逻辑：已知AB=AC即两条腰相等，根据等边对等角规则，两条腰对应的底角相等，其中AB对应底角为∠C，AC对应底角为∠B，因此可推出两角相等。
【解析】
首先填写等腰三角形的性质内容：等腰三角形的两个底角相等，该性质可简写成“等边对等角”。再推导几何语言结论：已知AB=AC，说明AB、AC是等腰三角形的两条腰，根据“等边对等角”，相等的边所对的角相等，AB对∠C，AC对∠B，因此可得∠C=∠B。
【答案】
相等；等边对等角；$\boldsymbol{∠C=∠B}$
【知识点】
等腰三角形性质；等边对等角
【点评】
本题是对等腰三角形基础概念的直接考查，属于基础概念题，需要准确牢记性质内容，熟练掌握性质对应的几何语言表达，为后续等腰三角形的相关计算和证明奠定基础。
【难度系数】
0.9
本题考查等腰三角形基本性质的识记与几何语言规范书写。解题思路如下：第一步，回忆等腰三角形的核心性质：有两边相等的三角形为等腰三角形，相等的两条边称为腰，腰所对的两个角为底角，两个底角大小相等，该性质简记为“等边对等角”；第二步，对应几何语言的逻辑：已知AB=AC即两条腰相等，根据等边对等角规则，两条腰对应的底角相等，其中AB对应底角为∠C，AC对应底角为∠B，因此可推出两角相等。
【解析】
首先填写等腰三角形的性质内容：等腰三角形的两个底角相等，该性质可简写成“等边对等角”。再推导几何语言结论：已知AB=AC，说明AB、AC是等腰三角形的两条腰，根据“等边对等角”，相等的边所对的角相等，AB对∠C，AC对∠B，因此可得∠C=∠B。
【答案】
相等；等边对等角；$\boldsymbol{∠C=∠B}$
【知识点】
等腰三角形性质；等边对等角
【点评】
本题是对等腰三角形基础概念的直接考查，属于基础概念题，需要准确牢记性质内容，熟练掌握性质对应的几何语言表达，为后续等腰三角形的相关计算和证明奠定基础。
【难度系数】
0.9
1.【例1】下列各图中，$AB=AC$，写出对应$x$的值.
$x=$
$x=$
$70°$
$x=$ $30°$
$x=$ $35°$
答案
1. $70°$ $30°$ $35°$
解析
【分析】
解题时先根据已知条件$AB=AC$，判定$△ ABC$为等腰三角形，利用等腰三角形“等边对等角”的性质得到相等的角，再结合三角形内角和定理、三角形外角的性质分别计算每个图中$x$的数值：
1. 图①中，等腰$△ ABC$的底角$∠ B$已知为$70°$，另一底角$∠ C=x$，直接由等边对等角得$x$的值；
2. 图②中，等腰$△ ABC$的顶角$∠ A$为$120°$，利用三角形内角和$180°$先求出两个底角的和，再除以2得到底角$x$的值；
3. 图③中，$70°$角是$△ ABC$的外角，根据外角等于不相邻两个内角和，结合$∠ B=∠ C=x$，列等式求解$x$。
【解析】
1. 图①：$\because AB=AC$，$\therefore △ ABC$是等腰三角形，底角$∠ B=∠ C$，已知$∠ B=70°$，$\therefore x=∠ C=70°$；
2. 图②：$\because AB=AC$，$\therefore △ ABC$是等腰三角形，底角$∠ B=∠ C=x$，又$\because$三角形内角和为$180°$，$∠ A=120°$，$\therefore x=(180°-120°)÷2=30°$；
3. 图③：$\because AB=AC$，$\therefore △ ABC$是等腰三角形，$∠ B=∠ C=x$，已知$70°$是$△ ABC$的外角，根据三角形外角性质：外角等于与它不相邻的两个内角之和，$\therefore ∠ B+∠ C=70°$，即$2x=70°$，解得$x=35°$。
【答案】
$70°$；$30°$；$35°$
【知识点】
等腰三角形性质；三角形内角和定理；三角形外角性质
【点评】
本题主要考查等腰三角形性质与三角形角度计算的结合，解题关键是准确识别等腰三角形的顶角和底角，灵活运用内角和、外角性质计算角度，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时先根据已知条件$AB=AC$，判定$△ ABC$为等腰三角形，利用等腰三角形“等边对等角”的性质得到相等的角，再结合三角形内角和定理、三角形外角的性质分别计算每个图中$x$的数值：
1. 图①中，等腰$△ ABC$的底角$∠ B$已知为$70°$，另一底角$∠ C=x$，直接由等边对等角得$x$的值；
2. 图②中，等腰$△ ABC$的顶角$∠ A$为$120°$，利用三角形内角和$180°$先求出两个底角的和，再除以2得到底角$x$的值；
3. 图③中，$70°$角是$△ ABC$的外角，根据外角等于不相邻两个内角和，结合$∠ B=∠ C=x$，列等式求解$x$。
【解析】
1. 图①：$\because AB=AC$，$\therefore △ ABC$是等腰三角形，底角$∠ B=∠ C$，已知$∠ B=70°$，$\therefore x=∠ C=70°$；
2. 图②：$\because AB=AC$，$\therefore △ ABC$是等腰三角形，底角$∠ B=∠ C=x$，又$\because$三角形内角和为$180°$，$∠ A=120°$，$\therefore x=(180°-120°)÷2=30°$；
3. 图③：$\because AB=AC$，$\therefore △ ABC$是等腰三角形，$∠ B=∠ C=x$，已知$70°$是$△ ABC$的外角，根据三角形外角性质：外角等于与它不相邻的两个内角之和，$\therefore ∠ B+∠ C=70°$，即$2x=70°$，解得$x=35°$。
【答案】
$70°$；$30°$；$35°$
【知识点】
等腰三角形性质；三角形内角和定理；三角形外角性质
【点评】
本题主要考查等腰三角形性质与三角形角度计算的结合，解题关键是准确识别等腰三角形的顶角和底角，灵活运用内角和、外角性质计算角度，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在△ABC中,点D是边BC上一点,若AB=AD=DC,∠BAD=44°,则∠C=
34
°答案
2. 34
解析
【分析】
解题时先观察已知条件中的等边关系，首先由AB=AD可知△ABD为等腰三角形，结合已知顶角∠BAD的度数，利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理可求出底角∠ADB的度数；再由AD=DC可知△ADC为等腰三角形，得∠C=∠DAC，最后利用三角形外角的性质，即可建立∠ADB与∠C的关系，求出∠C的度数。
【解析】
解：
∵AB=AD，∠BAD=44°
∴△ABD为等腰三角形，∠B=∠ADB
根据三角形内角和为180°，得：
$∠ ADB=(180°-∠ BAD)÷2=(180°-44°)÷2=68°$
又
∵AD=DC
∴△ADC为等腰三角形，$∠ C=∠ DAC$
∵∠ADB是△ADC的外角，根据三角形外角性质：
$∠ ADB=∠ C+∠ DAC=2∠ C$
∴$∠ C=∠ ADB÷2=68°÷2=34°$
【答案】
34
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型基础题，解题关键是从等边关系识别等腰三角形，再结合三角形内角和、外角性质建立角度间的数量关系，需要熟练掌握等腰三角形等边对等角的性质。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知条件中的等边关系，首先由AB=AD可知△ABD为等腰三角形，结合已知顶角∠BAD的度数，利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理可求出底角∠ADB的度数；再由AD=DC可知△ADC为等腰三角形，得∠C=∠DAC，最后利用三角形外角的性质，即可建立∠ADB与∠C的关系，求出∠C的度数。
【解析】
解：
∵AB=AD，∠BAD=44°
∴△ABD为等腰三角形，∠B=∠ADB
根据三角形内角和为180°，得：
$∠ ADB=(180°-∠ BAD)÷2=(180°-44°)÷2=68°$
又
∵AD=DC
∴△ADC为等腰三角形，$∠ C=∠ DAC$
∵∠ADB是△ADC的外角，根据三角形外角性质：
$∠ ADB=∠ C+∠ DAC=2∠ C$
∴$∠ C=∠ ADB÷2=68°÷2=34°$
【答案】
34
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型基础题，解题关键是从等边关系识别等腰三角形，再结合三角形内角和、外角性质建立角度间的数量关系，需要熟练掌握等腰三角形等边对等角的性质。
【难度系数】
0.8
3.【例2】如图,在$△ ABC$中, $AB=AC,AD⊥ BC$,垂足为$D$. (1)若 $∠ BAC = 108°$, 则 $∠ BAD =$ 
$54°$
; (2)若$∠ B = 35°$,则$∠ BAC =$ $110°$
. 答案
3. (1) $54°$ (2) $110°$
解析
【分析】
首先由AB=AC可判定△ABC是等腰三角形，解题需用到等腰三角形的两个核心性质：①等边对等角（等腰三角形两底角相等）；②三线合一（等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合）。
(1) 已知AD是底边BC上的高，根据三线合一可知AD平分顶角∠BAC，因此∠BAD是∠BAC的一半，代入角度计算即可；
(2) 先根据等边对等角得到底角∠C=∠B，再结合三角形内角和为180°，用180°减去两个底角的度数就能得到顶角∠BAC的度数。
【解析】
∵ AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形。
(1)
∵ AD⊥BC，∠BAC=108°，
根据等腰三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×108° = 54°；
(2)
∵ AB=AC，根据等边对等角，∠C=∠B=35°，
根据三角形内角和定理，∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 35° - 35° = 110°。
【答案】
(1) $54°$ (2) $110°$
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题，解题的关键是准确识别等腰三角形的边角关系，结合三线合一和内角和定理即可快速得出结果，是巩固基础的典型习题。
【难度系数】
0.9
首先由AB=AC可判定△ABC是等腰三角形，解题需用到等腰三角形的两个核心性质：①等边对等角（等腰三角形两底角相等）；②三线合一（等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合）。
(1) 已知AD是底边BC上的高，根据三线合一可知AD平分顶角∠BAC，因此∠BAD是∠BAC的一半，代入角度计算即可；
(2) 先根据等边对等角得到底角∠C=∠B，再结合三角形内角和为180°，用180°减去两个底角的度数就能得到顶角∠BAC的度数。
【解析】
∵ AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形。
(1)
∵ AD⊥BC，∠BAC=108°，
根据等腰三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×108° = 54°；
(2)
∵ AB=AC，根据等边对等角，∠C=∠B=35°，
根据三角形内角和定理，∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 35° - 35° = 110°。
【答案】
(1) $54°$ (2) $110°$
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题，解题的关键是准确识别等腰三角形的边角关系，结合三线合一和内角和定理即可快速得出结果，是巩固基础的典型习题。
【难度系数】
0.9
5.【例3】(一题多解)如图,在$△ ABC$中,$AB = AC$,点$D,E$是$BC$边上的点,且$AD = AE$,求证:$BD = CE.$ 
答案
5. 方法1:证明:如图,过点$ A $作$ AG ⊥ BC$于点$ G $.
$\because AB = AC,AD = AE$,
$\therefore BG = CG,DG = EG$.
$\therefore BG - DG = CG - EG. \therefore BD = CE$.
方法2:证明:$\because AB = AC,AD = AE$,
$\therefore ∠ B = ∠ C,∠ ADE = ∠ AED$.
$\therefore ∠ ADB = ∠ AEC$.
$\therefore △ ABD ≌ △ ACE( AAS ). \therefore BD = CE$.
解析
【分析】
要证明$BD=CE$，结合题目给出的两个等腰三角形的条件，可从两种常见思路入手：
思路1：利用等腰三角形“三线合一”的性质，过点A作BC的垂线，可同时得到$△ ABC$和$△ ADE$底边的中线，得到两组相等的线段，通过等式作差即可推出结论；
思路2：利用等腰三角形“等边对等角”的性质推导角相等，再证明$△ ABD$和$△ ACE$全等，根据全等三角形对应边相等得到结论。
【解析】
方法1：过点$A$作$AG ⊥ BC$于点$G$。
$\because AB=AC$，$AG ⊥ BC$，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$BG=CG$；
又$\because AD=AE$，$AG ⊥ BC$，同理可得$DG=EG$；
根据等式的性质，$BG-DG=CG-EG$，即$BD=CE$。
方法2：$\because AB=AC$，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得$∠ B=∠ C$；
$\because AD=AE$，同理可得$∠ ADE=∠ AED$；
$\because ∠ ADB+∠ ADE=180°$，$∠ AEC+∠ AED=180°$，$\therefore ∠ ADB=∠ AEC$；
在$△ ABD$和$△ ACE$中：
$\begin{cases}∠ B=∠ C \\∠ ADB=∠ AEC \\AB=AC\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACE(\mathrm{AAS})$，根据全等三角形对应边相等，可得$BD=CE$。
【答案】
方法1:证明:如图,过点$ A $作$ AG ⊥ BC$于点$ G $.
$\because AB = AC,AD = AE$,
$\therefore BG = CG,DG = EG$.
$\therefore BG - DG = CG - EG. \therefore BD = CE$.
方法2:证明:$\because AB = AC,AD = AE$,
$\therefore ∠ B = ∠ C,∠ ADE = ∠ AED$.
$\therefore ∠ ADB = ∠ AEC$.
$\therefore △ ABD ≌ △ ACE( AAS ). \therefore BD = CE$.
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定；等式的性质
【点评】
本题是等腰三角形性质应用的基础题型，通过一题多解的设置，既可以利用等腰三角形三线合一的性质简化解题步骤，也可以通过全等三角形的判定推导结论，能够帮助学生巩固相关知识点，开拓解题思路。
【难度系数】
0.8
要证明$BD=CE$，结合题目给出的两个等腰三角形的条件，可从两种常见思路入手：
思路1：利用等腰三角形“三线合一”的性质，过点A作BC的垂线，可同时得到$△ ABC$和$△ ADE$底边的中线，得到两组相等的线段，通过等式作差即可推出结论；
思路2：利用等腰三角形“等边对等角”的性质推导角相等，再证明$△ ABD$和$△ ACE$全等，根据全等三角形对应边相等得到结论。
【解析】
方法1：过点$A$作$AG ⊥ BC$于点$G$。
$\because AB=AC$，$AG ⊥ BC$，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$BG=CG$；
又$\because AD=AE$，$AG ⊥ BC$，同理可得$DG=EG$；
根据等式的性质，$BG-DG=CG-EG$，即$BD=CE$。
方法2：$\because AB=AC$，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得$∠ B=∠ C$；
$\because AD=AE$，同理可得$∠ ADE=∠ AED$；
$\because ∠ ADB+∠ ADE=180°$，$∠ AEC+∠ AED=180°$，$\therefore ∠ ADB=∠ AEC$；
在$△ ABD$和$△ ACE$中：
$\begin{cases}∠ B=∠ C \\∠ ADB=∠ AEC \\AB=AC\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACE(\mathrm{AAS})$，根据全等三角形对应边相等，可得$BD=CE$。
【答案】
方法1:证明:如图,过点$ A $作$ AG ⊥ BC$于点$ G $.
$\because AB = AC,AD = AE$,
$\therefore BG = CG,DG = EG$.
$\therefore BG - DG = CG - EG. \therefore BD = CE$.
方法2:证明:$\because AB = AC,AD = AE$,
$\therefore ∠ B = ∠ C,∠ ADE = ∠ AED$.
$\therefore ∠ ADB = ∠ AEC$.
$\therefore △ ABD ≌ △ ACE( AAS ). \therefore BD = CE$.
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定；等式的性质
【点评】
本题是等腰三角形性质应用的基础题型，通过一题多解的设置，既可以利用等腰三角形三线合一的性质简化解题步骤，也可以通过全等三角形的判定推导结论，能够帮助学生巩固相关知识点，开拓解题思路。
【难度系数】
0.8
4.（云南中考）已知AF是等腰三角形ABC的底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为（
A.$\frac{3}{2}$
B.2
C.3
D.$\frac{7}{2}$
C
）A.$\frac{3}{2}$
B.2
C.3
D.$\frac{7}{2}$
答案
4. C
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：首先△ABC是等腰三角形，BC为底边，AF是底边BC上的高，已知F到AB的距离为3，求F到AC的距离。第一步先结合等腰三角形的性质思考：等腰三角形底边上的高与顶角平分线重合（三线合一），因此可推出AF是∠BAC的角平分线；第二步结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，点F在角平分线上，因此它到AB、AC的距离相等，直接可得出结果。
【解析】
解：
∵△ABC是等腰三角形，BC为底边，AF是底边BC上的高，
∴AF平分∠BAC（等腰三角形三线合一），
即点F在∠BAC的角平分线上。
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
已知点F到直线AB的距离为3，
∴点F到直线AC的距离等于点F到直线AB的距离，即为3。
【答案】
C
【知识点】
1. 等腰三角形三线合一
2. 角平分线的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查等腰三角形性质和角平分线性质的综合运用，解题的关键是通过等腰三角形底边上的高推导出顶角的角平分线，再利用角平分线的性质快速得到答案，熟练掌握相关性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
解题时先梳理已知条件：首先△ABC是等腰三角形，BC为底边，AF是底边BC上的高，已知F到AB的距离为3，求F到AC的距离。第一步先结合等腰三角形的性质思考：等腰三角形底边上的高与顶角平分线重合（三线合一），因此可推出AF是∠BAC的角平分线；第二步结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，点F在角平分线上，因此它到AB、AC的距离相等，直接可得出结果。
【解析】
解：
∵△ABC是等腰三角形，BC为底边，AF是底边BC上的高，
∴AF平分∠BAC（等腰三角形三线合一），
即点F在∠BAC的角平分线上。
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
已知点F到直线AB的距离为3，
∴点F到直线AC的距离等于点F到直线AB的距离，即为3。
【答案】
C
【知识点】
1. 等腰三角形三线合一
2. 角平分线的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查等腰三角形性质和角平分线性质的综合运用，解题的关键是通过等腰三角形底边上的高推导出顶角的角平分线，再利用角平分线的性质快速得到答案，熟练掌握相关性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
6. 如图,在△ABC中,AB = AC,AD为BC边上的中线,E为AC上一点,且AE = AD,∠BAD = 50°,求∠CDE的度数.
答案
6. 解:$\because AB = AC,AD$为$ BC $边上的中线,$∠ BAD = 50°$,
$\therefore ∠ ADC = 90°,∠ CAD = ∠ BAD = 50°$.
又$\because AD = AE$,
$\therefore ∠ ADE = ∠ AED = \frac{1}{2}( 180° - ∠ CAD ) = 65°$.
$\therefore ∠ CDE = ∠ ADC - ∠ ADE = 90° - 65° = 25°$.
$\therefore ∠ ADC = 90°,∠ CAD = ∠ BAD = 50°$.
又$\because AD = AE$,
$\therefore ∠ ADE = ∠ AED = \frac{1}{2}( 180° - ∠ CAD ) = 65°$.
$\therefore ∠ CDE = ∠ ADC - ∠ ADE = 90° - 65° = 25°$.
解析
【分析】
解题时先从已知条件AB=AC、AD是BC边上的中线入手，联想等腰三角形“三线合一”的性质，可得出AD垂直BC，且AD平分顶角∠BAC，就能得到∠ADC的度数和∠CAD的大小；再根据AD=AE可知△ADE是等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质结合三角形内角和，即可算出∠ADE的度数；最后观察图形可得∠CDE是∠ADC与∠ADE的差，代入数值计算就能得到结果。
【解析】
解：$\because AB = AC,AD$为$ BC $边上的中线,$∠ BAD = 50°$,
$\therefore AD⊥ BC$（等腰三角形三线合一），$∠ CAD = ∠ BAD = 50°$，即$∠ ADC = 90°$。
又$\because AD = AE$,
$\therefore △ADE$为等腰三角形，$∠ ADE = ∠ AED$，
根据三角形内角和为180°，得$∠ ADE = ∠ AED = \frac{1}{2}( 180° - ∠ CAD ) = \frac{1}{2}×(180°-50°)=65°$。
$\therefore ∠ CDE = ∠ ADC - ∠ ADE = 90° - 65° = 25°$。
【答案】
$25°$
【知识点】
等腰三角形三线合一；等腰三角形等边对等角；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题型，解题核心是熟练掌握等腰三角形的相关特性，结合图形中的角度关系逐步推导所求角的度数，是等腰三角形角度计算类的典型习题。
【难度系数】
0.75
解题时先从已知条件AB=AC、AD是BC边上的中线入手，联想等腰三角形“三线合一”的性质，可得出AD垂直BC，且AD平分顶角∠BAC，就能得到∠ADC的度数和∠CAD的大小；再根据AD=AE可知△ADE是等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质结合三角形内角和，即可算出∠ADE的度数；最后观察图形可得∠CDE是∠ADC与∠ADE的差，代入数值计算就能得到结果。
【解析】
解：$\because AB = AC,AD$为$ BC $边上的中线,$∠ BAD = 50°$,
$\therefore AD⊥ BC$（等腰三角形三线合一），$∠ CAD = ∠ BAD = 50°$，即$∠ ADC = 90°$。
又$\because AD = AE$,
$\therefore △ADE$为等腰三角形，$∠ ADE = ∠ AED$，
根据三角形内角和为180°，得$∠ ADE = ∠ AED = \frac{1}{2}( 180° - ∠ CAD ) = \frac{1}{2}×(180°-50°)=65°$。
$\therefore ∠ CDE = ∠ ADC - ∠ ADE = 90° - 65° = 25°$。
【答案】
$25°$
【知识点】
等腰三角形三线合一；等腰三角形等边对等角；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题型，解题核心是熟练掌握等腰三角形的相关特性，结合图形中的角度关系逐步推导所求角的度数，是等腰三角形角度计算类的典型习题。
【难度系数】
0.75
