登录
(4)如图，$AB=CD$，$AD=BC$，$O$为$BD$的中点，过点$O$作直线$EF$，分别交$DA$，$BC$的延长线于点$E$，$F$. 若$∠ ADB=60°$，$EO=10$，则$∠ DBC$的度数和$FO$的长分别为 (
第1(4)题
A.$90°$，8
B.$80°$，9
C.$60°$，10
D.$50°$，11
C
)第1(4)题
A.$90°$，8
B.$80°$，9
C.$60°$，10
D.$50°$，11
答案
1. (4) C
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据已知的两组对边相等，判定四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形对边平行的性质，可得内错角∠ADB=∠DBC，直接求出∠DBC的度数；再结合O是BD中点的条件，找到△EOD和△FOB全等的条件，证明两三角形全等后，根据全等三角形对应边相等即可求出FO的长度。
【解析】
1. 求∠DBC的度数：
已知$AB=CD$，$AD=BC$，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可得四边形ABCD是平行四边形。
由平行四边形的性质可知$AD// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，得$∠DBC=∠ADB=60°$。
2. 求FO的长度：
∵O为BD的中点，
∴$OD=OB$。
∵$AD// BC$，
∴$∠E=∠F$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ EOD$和$△ FOB$中：
$\begin{cases}∠E=∠F \\∠EOD=∠FOB（对顶角相等） \\OD=OB\end{cases}$
∴$△ EOD≌△ FOB$（AAS），
∴$FO=EO=10$。
综上，$∠DBC=60°$，$FO=10$，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础题，将平行四边形和全等三角形的知识点结合考查，解题的突破口是先判定四边形为平行四边形，再利用平行线性质和全等三角形的判定推导结论，是几何部分的常见考法。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先根据已知的两组对边相等，判定四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形对边平行的性质，可得内错角∠ADB=∠DBC，直接求出∠DBC的度数；再结合O是BD中点的条件，找到△EOD和△FOB全等的条件，证明两三角形全等后，根据全等三角形对应边相等即可求出FO的长度。
【解析】
1. 求∠DBC的度数：
已知$AB=CD$，$AD=BC$，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可得四边形ABCD是平行四边形。
由平行四边形的性质可知$AD// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，得$∠DBC=∠ADB=60°$。
2. 求FO的长度：
∵O为BD的中点，
∴$OD=OB$。
∵$AD// BC$，
∴$∠E=∠F$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ EOD$和$△ FOB$中：
$\begin{cases}∠E=∠F \\∠EOD=∠FOB（对顶角相等） \\OD=OB\end{cases}$
∴$△ EOD≌△ FOB$（AAS），
∴$FO=EO=10$。
综上，$∠DBC=60°$，$FO=10$，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础题，将平行四边形和全等三角形的知识点结合考查，解题的突破口是先判定四边形为平行四边形，再利用平行线性质和全等三角形的判定推导结论，是几何部分的常见考法。
【难度系数】
0.8
(1)如图，$AC=FE$，$BC=DE$，点$A$，$D$，$B$，$F$在同一条直线上. 要使$△ ABC ≌ △ FDE$，还需添加一个条件，这个条件可以是
第2(1)题
$∠ C=∠ E$
.第2(1)题
答案
2. (1) 答案不唯一，如$∠ C=∠ E$
解析
【分析】
要解决这道题，首先梳理已知条件：题目已给出两组边对应相等，即$AC=FE$，$BC=DE$，要证明$△ ABC ≌ △ FDE$，结合全等三角形的判定定理思考：已有两组边相等的情况下，可通过两种方式添加条件：①添加两组相等边的夹角相等，利用SAS判定全等；②添加第三组边相等，利用SSS判定全等，任选其中一种情况给出条件即可。
【解析】
已知$AC=FE$，$BC=DE$，若添加条件$∠ C=∠ E$：
在$△ ABC$和$△ FDE$中：
$\begin{cases}AC=FE \\∠ C=∠ E \\BC=DE\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ FDE(\mathrm{SAS})$。
注：也可添加$AB=FD$（利用SSS判定全等）、$AD=FB$（可推导得$AB=FD$）等，答案不唯一。
【答案】
答案不唯一，如$∠ C=∠E$
【知识点】
全等三角形的判定；SAS判定定理；SSS判定定理
【点评】
本题属于开放型基础题，考查全等三角形判定定理的灵活应用，解题时只要结合已知条件匹配对应的判定定理，即可快速得到符合要求的添加条件。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先梳理已知条件：题目已给出两组边对应相等，即$AC=FE$，$BC=DE$，要证明$△ ABC ≌ △ FDE$，结合全等三角形的判定定理思考：已有两组边相等的情况下，可通过两种方式添加条件：①添加两组相等边的夹角相等，利用SAS判定全等；②添加第三组边相等，利用SSS判定全等，任选其中一种情况给出条件即可。
【解析】
已知$AC=FE$，$BC=DE$，若添加条件$∠ C=∠ E$：
在$△ ABC$和$△ FDE$中：
$\begin{cases}AC=FE \\∠ C=∠ E \\BC=DE\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ FDE(\mathrm{SAS})$。
注：也可添加$AB=FD$（利用SSS判定全等）、$AD=FB$（可推导得$AB=FD$）等，答案不唯一。
【答案】
答案不唯一，如$∠ C=∠E$
【知识点】
全等三角形的判定；SAS判定定理；SSS判定定理
【点评】
本题属于开放型基础题，考查全等三角形判定定理的灵活应用，解题时只要结合已知条件匹配对应的判定定理，即可快速得到符合要求的添加条件。
【难度系数】
0.8
(2)如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3=
$55°$
答案
2. (2) $55°$
解析
【分析】
首先观察已知条件有两组边相等：AB=AC、AD=AE，要利用这两组边可尝试证明三角形全等，还缺夹角相等的条件；由∠BAC=∠DAE，同时减去公共角∠DAC，即可得到夹角∠1=∠CAE，满足SAS全等判定条件，可证△BAD≌△CAE；全等后对应角相等可得∠ABD=∠2，再观察∠3是△ABD的外角，根据三角形外角性质即可计算出∠3的度数。
【解析】
解：
∵∠BAC=∠DAE
∴∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，即∠1=∠CAE
在△BAD和△CAE中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC\\∠1=∠CAE\\AD=AE\end{array} $
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴∠ABD=∠2=30°
∵∠3是△ABD的外角
∴∠3=∠1 + ∠ABD = 25° + 30° = 55°
【答案】
$55°$
【知识点】
SAS判定全等，全等三角形性质，三角形外角性质
【点评】
本题是全等三角形与三角形外角性质的综合应用题型，解题核心是先推导角相等证明三角形全等，再利用全等性质和外角定理计算角度，属于全等章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
首先观察已知条件有两组边相等：AB=AC、AD=AE，要利用这两组边可尝试证明三角形全等，还缺夹角相等的条件；由∠BAC=∠DAE，同时减去公共角∠DAC，即可得到夹角∠1=∠CAE，满足SAS全等判定条件，可证△BAD≌△CAE；全等后对应角相等可得∠ABD=∠2，再观察∠3是△ABD的外角，根据三角形外角性质即可计算出∠3的度数。
【解析】
解：
∵∠BAC=∠DAE
∴∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，即∠1=∠CAE
在△BAD和△CAE中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC\\∠1=∠CAE\\AD=AE\end{array} $
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴∠ABD=∠2=30°
∵∠3是△ABD的外角
∴∠3=∠1 + ∠ABD = 25° + 30° = 55°
【答案】
$55°$
【知识点】
SAS判定全等，全等三角形性质，三角形外角性质
【点评】
本题是全等三角形与三角形外角性质的综合应用题型，解题核心是先推导角相等证明三角形全等，再利用全等性质和外角定理计算角度，属于全等章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
（3）如图，四边形ABCD是边长为3 cm的正方形，E为BC边上的任意一点，AF⊥AE，AF交CD的延长线于点F，则四边形AFCE的面积为
9
cm².答案
2. (3) 9
解析
【分析】
首先利用正方形的性质得到边相等、角为直角的条件，结合AF⊥AE推出一组角相等，进而证明△AFD和△AEB全等，根据全等三角形面积相等，可将四边形AFCE的面积转化为正方形ABCD的面积，即可快速计算结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是边长为3cm的正方形，
∴AD=AB，∠BAD=∠ADF=∠ABE=90°，$S_{正方形ABCD}=3×3=9\mathrm{cm}^2$。
∵AF⊥AE，
∴∠FAE=90°，
∴∠FAE - ∠DAE = ∠BAD - ∠DAE，即∠FAD=∠EAB。
在△AFD和△AEB中：
$\begin{cases}∠ADF=∠ABE=90° \\AD=AB \\∠FAD=∠EAB\end{cases}$
∴△AFD≌△AEB（ASA），
∴$S_{△ AFD}=S_{△ AEB}$，
∴$S_{四边形AFCE}=S_{△ AFD}+S_{四边形ADCE}=S_{△ AEB}+S_{四边形ADCE}=S_{正方形ABCD}=9\mathrm{cm}^2$。
【答案】
9
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；面积转化
【点评】
本题通过全等三角形实现不规则图形面积向规则图形面积的转化，是全等三角形在面积计算中的典型应用，熟练掌握全等判定和正方形性质是解题关键。
【难度系数】
0.7
首先利用正方形的性质得到边相等、角为直角的条件，结合AF⊥AE推出一组角相等，进而证明△AFD和△AEB全等，根据全等三角形面积相等，可将四边形AFCE的面积转化为正方形ABCD的面积，即可快速计算结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是边长为3cm的正方形，
∴AD=AB，∠BAD=∠ADF=∠ABE=90°，$S_{正方形ABCD}=3×3=9\mathrm{cm}^2$。
∵AF⊥AE，
∴∠FAE=90°，
∴∠FAE - ∠DAE = ∠BAD - ∠DAE，即∠FAD=∠EAB。
在△AFD和△AEB中：
$\begin{cases}∠ADF=∠ABE=90° \\AD=AB \\∠FAD=∠EAB\end{cases}$
∴△AFD≌△AEB（ASA），
∴$S_{△ AFD}=S_{△ AEB}$，
∴$S_{四边形AFCE}=S_{△ AFD}+S_{四边形ADCE}=S_{△ AEB}+S_{四边形ADCE}=S_{正方形ABCD}=9\mathrm{cm}^2$。
【答案】
9
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；面积转化
【点评】
本题通过全等三角形实现不规则图形面积向规则图形面积的转化，是全等三角形在面积计算中的典型应用，熟练掌握全等判定和正方形性质是解题关键。
【难度系数】
0.7
(4)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，BE=DE. 已知AC=10 cm，BD=8 cm，则阴影部分的面积为
20
cm².答案
2. (4) 20
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：已知AC⊥BD，BE=DE，可得AC是BD的垂直平分线，根据全等三角形的判定可证得关于AC对称的三角形全等、面积相等，因此可以将分散的阴影部分面积转化为规则的三角形面积计算，简化求解过程。
【解析】
解：
∵AC⊥BD，
∴∠AEB=∠AED=∠CEB=∠CED=90°
①在△BEF和△DEF中：
$\{\begin{array}{l}BE=DE\\ ∠ BEF=∠ DEF=90°\\ EF=EF\end{array} $
∴△BEF≌△DEF（SAS），故$S_{△ BEF}=S_{△ DEF}$
②在△BEC和△DEC中：
$\{\begin{array}{l}BE=DE\\ ∠ BEC=∠ DEC=90°\\ CE=CE\end{array} $
∴△BEC≌△DEC（SAS），故$S_{△ BEC}=S_{△ DEC}$
因此阴影部分面积可转化为：
$S_{阴影}=S_{△ ABF}+S_{△ DEF}+S_{△ BEC}=S_{△ ABF}+S_{△ BEF}+S_{△ BEC}=S_{△ ABC}$
已知BD=8cm，BE=DE，
∴$BE=\frac{1}{2}BD=4\mathrm{cm}$
又AC=10cm，AC⊥BD，即△ABC中AC边上的高为BE=4cm
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BE=\frac{1}{2}×10×4=20\mathrm{cm}^2$
【答案】
20
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形面积计算，垂直平分线的性质
【点评】
本题解题核心是利用全等三角形的性质将分散的阴影面积转化为规则三角形的面积，通过图形的对称性简化计算，需要熟练掌握全等三角形的判定定理，学会用割补法求不规则图形的面积。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形特征：已知AC⊥BD，BE=DE，可得AC是BD的垂直平分线，根据全等三角形的判定可证得关于AC对称的三角形全等、面积相等，因此可以将分散的阴影部分面积转化为规则的三角形面积计算，简化求解过程。
【解析】
解：
∵AC⊥BD，
∴∠AEB=∠AED=∠CEB=∠CED=90°
①在△BEF和△DEF中：
$\{\begin{array}{l}BE=DE\\ ∠ BEF=∠ DEF=90°\\ EF=EF\end{array} $
∴△BEF≌△DEF（SAS），故$S_{△ BEF}=S_{△ DEF}$
②在△BEC和△DEC中：
$\{\begin{array}{l}BE=DE\\ ∠ BEC=∠ DEC=90°\\ CE=CE\end{array} $
∴△BEC≌△DEC（SAS），故$S_{△ BEC}=S_{△ DEC}$
因此阴影部分面积可转化为：
$S_{阴影}=S_{△ ABF}+S_{△ DEF}+S_{△ BEC}=S_{△ ABF}+S_{△ BEF}+S_{△ BEC}=S_{△ ABC}$
已知BD=8cm，BE=DE，
∴$BE=\frac{1}{2}BD=4\mathrm{cm}$
又AC=10cm，AC⊥BD，即△ABC中AC边上的高为BE=4cm
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BE=\frac{1}{2}×10×4=20\mathrm{cm}^2$
【答案】
20
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形面积计算，垂直平分线的性质
【点评】
本题解题核心是利用全等三角形的性质将分散的阴影面积转化为规则三角形的面积，通过图形的对称性简化计算，需要熟练掌握全等三角形的判定定理，学会用割补法求不规则图形的面积。
【难度系数】
0.7
(5)如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点$C'$处，折痕为EF。如果$∠ ABE＝20°$，那么$∠ EFC$的度数为
第2(5)题
(6)如图，在$△ ABC$中，D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E，F，连接CE，BF。要使$△ BDF ≌ △ CDE$，还需添加一个条件，这个条件可以是
第2(6)题
$125°$
。第2(5)题
(6)如图，在$△ ABC$中，D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E，F，连接CE，BF。要使$△ BDF ≌ △ CDE$，还需添加一个条件，这个条件可以是
$DE=DF$
，依据是SAS(答案不唯一)
。第2(6)题
答案
2. (5) $125°$
2. (6) $DE=DF$，SAS(答案不唯一)
2. (6) $DE=DF$，SAS(答案不唯一)
解析
【分析】
第(5)题：首先根据长方形的性质得到∠A为直角、AD平行BC，先在Rt△ABE中求出∠AEB的度数，再根据平角定义算出∠BED的度数，结合折叠前后对应角相等得到∠DEF的度数，最后利用平行线同旁内角互补的性质计算∠EFC的度数。
第(6)题：先根据D是BC中点得到BD=CD，再结合对顶角相等得到一组角相等，对照全等三角形的判定定理，添加一组对应边相等或者一组对应角相等即可证明两个三角形全等，常见的添加方式为DE=DF，用SAS判定。
【解析】
(5) 解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=90°，AD//BC，
在Rt△ABE中，∠ABE=20°，
∴∠AEB=90°-∠ABE=90°-20°=70°，
由平角的定义得：∠BED=180°-∠AEB=180°-70°=110°，
由折叠的性质可得：∠BEF=∠DEF=½∠BED=55°，
∵AD//BC，
∴∠DEF+∠EFC=180°，
∴∠EFC=180°-55°=125°。
(6) 解：已知D是BC的中点，
∴BD=CD，
又
∵∠BDF和∠CDE是对顶角，
∴∠BDF=∠CDE，
若添加条件DE=DF，
在△BDF和△CDE中：
$\{\begin{array}{l}BD=CD \\∠BDF=∠CDE \\DF=DE\end{array} $
∴△BDF≌△CDE（SAS）。
（注：也可添加∠F=∠DEC，依据AAS；或∠DBF=∠DCE，依据ASA等，答案不唯一）
【答案】
(5) $125°$；(6) $DE=DF$，SAS（答案不唯一）
【知识点】
长方形的性质；折叠的性质；全等三角形的判定
【点评】
第(5)题侧重考察折叠变换中角度的计算，需要灵活运用长方形和平行线的角度性质，抓住折叠前后对应角相等的核心特点求解；第(6)题为全等判定的开放性题目，熟练掌握全等三角形的判定定理，结合已知条件推导缺少的全等要素即可快速解题。
【难度系数】
0.7
第(5)题：首先根据长方形的性质得到∠A为直角、AD平行BC，先在Rt△ABE中求出∠AEB的度数，再根据平角定义算出∠BED的度数，结合折叠前后对应角相等得到∠DEF的度数，最后利用平行线同旁内角互补的性质计算∠EFC的度数。
第(6)题：先根据D是BC中点得到BD=CD，再结合对顶角相等得到一组角相等，对照全等三角形的判定定理，添加一组对应边相等或者一组对应角相等即可证明两个三角形全等，常见的添加方式为DE=DF，用SAS判定。
【解析】
(5) 解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=90°，AD//BC，
在Rt△ABE中，∠ABE=20°，
∴∠AEB=90°-∠ABE=90°-20°=70°，
由平角的定义得：∠BED=180°-∠AEB=180°-70°=110°，
由折叠的性质可得：∠BEF=∠DEF=½∠BED=55°，
∵AD//BC，
∴∠DEF+∠EFC=180°，
∴∠EFC=180°-55°=125°。
(6) 解：已知D是BC的中点，
∴BD=CD，
又
∵∠BDF和∠CDE是对顶角，
∴∠BDF=∠CDE，
若添加条件DE=DF，
在△BDF和△CDE中：
$\{\begin{array}{l}BD=CD \\∠BDF=∠CDE \\DF=DE\end{array} $
∴△BDF≌△CDE（SAS）。
（注：也可添加∠F=∠DEC，依据AAS；或∠DBF=∠DCE，依据ASA等，答案不唯一）
【答案】
(5) $125°$；(6) $DE=DF$，SAS（答案不唯一）
【知识点】
长方形的性质；折叠的性质；全等三角形的判定
【点评】
第(5)题侧重考察折叠变换中角度的计算，需要灵活运用长方形和平行线的角度性质，抓住折叠前后对应角相等的核心特点求解；第(6)题为全等判定的开放性题目，熟练掌握全等三角形的判定定理，结合已知条件推导缺少的全等要素即可快速解题。
【难度系数】
0.7
