18.（本小题满分10分）
如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，以AD为一边向右作等边三角形ADE，DE与AC相交于点F.
(1)请判断DF与EF的数量关系，并给出证明.
(2)若CF＝2 cm，求等边三角形ABC的边长.

18. (1)$DF=EF$.
证明：
∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴∠BAC=∠DEA=60°，∠C=60°.
∵AD⊥BC，
∴BD=DC，∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}×60°=30°$.
∴∠CAE=60°-30°=30°.
∴∠DAC=∠CAE.
∴AC垂直平分DE.
∴$DF=EF$.
(2)由(1)可知AC垂直平分DE，
∴△DFC是直角三角形.
在Rt△DFC中，
∵∠C=60°，∠CFD=90°，
∴∠CDF=90°-60°=30°.
∵CF=2 cm，
∴CD=4 cm.
∴BC=2CD=2×4=8(cm).
即等边三角形ABC的边长为8 cm.

【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 要判断DF和EF的数量关系，先结合等边三角形的性质分析角度关系：等边三角形的高同时是角平分线和中线，由等边△ABC中AD⊥BC，可得AD平分∠BAC，算出∠DAC=30°；再结合等边△ADE的内角为60°，可推出∠CAE=∠DAC=30°，即AC是∠DAE的角平分线，根据等边三角形三线合一的性质，可得AC垂直平分DE，因此DF=EF。
(2) 求等边△ABC的边长，已知CF=2cm，由(1)的结论可知∠DFC=90°，在Rt△DFC中，∠C=60°，可推出∠CDF=30°，利用含30°角的直角三角形的性质可算出CD的长度，再结合AD是等边△ABC的中线，BC=2CD，即可求出边长。
【解析】
(1) $DF=EF$，证明如下：
∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，∠C=60°，
∵AD⊥BC，
∴BD=DC，∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}×60°=30°$，
∴∠CAE=∠DAE-∠DAC=60°-30°=30°，
∴∠DAC=∠CAE，即AC平分∠DAE，
又
∵△ADE是等边三角形，
∴AC垂直平分DE，
∴$DF=EF$。
(2) 由(1)可知AC垂直平分DE，
∴∠CFD=90°，即△DFC是直角三角形，
在Rt△DFC中，
∵∠C=60°，∠CFD=90°，
∴∠CDF=90°-∠C=90°-60°=30°，
∵CF=2 cm，
∴CD=2CF=4 cm，
∵AD⊥BC，△ABC是等边三角形，
∴BC=2CD=2×4=8(cm)，
即等边三角形ABC的边长为8 cm。
【答案】
(1) $DF=EF$；(2) 8 cm
【知识点】
等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，垂直平分线的性质
【点评】
本题属于等边三角形性质的综合应用类题目，解题的核心是熟练运用等边三角形三线合一的性质推导角度和线段的关系，再结合直角三角形的特殊性质计算线段长度，是特殊三角形章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7