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19.（本小题满分10分）
如图，在铁路CD的同侧有两个村庄A，B，它们到铁路CD的距离分别是15 km和10 km，作AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D，测得CD＝25 km. 已知铁路旁有一个农副产品收购站E，且AE＝BE. 求CE的长.
如图，在铁路CD的同侧有两个村庄A，B，它们到铁路CD的距离分别是15 km和10 km，作AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D，测得CD＝25 km. 已知铁路旁有一个农副产品收购站E，且AE＝BE. 求CE的长.
答案
19. 解：在Rt△ACE中，根据勾股定理，得
$AC^2+CE^2=AE^2$.
在Rt△BDE中，根据勾股定理，得
$BD^2+DE^2=BE^2$.
∵$AE=BE$，
∴$AE^2=BE^2$，
即$AC^2+CE^2=BD^2+DE^2$.
设$CE=x$ km，
则$15^2+x^2=10^2+(25-x)^2$.
解得$x=10$.
∴$CE=10$ km.
$AC^2+CE^2=AE^2$.
在Rt△BDE中，根据勾股定理，得
$BD^2+DE^2=BE^2$.
∵$AE=BE$，
∴$AE^2=BE^2$，
即$AC^2+CE^2=BD^2+DE^2$.
设$CE=x$ km，
则$15^2+x^2=10^2+(25-x)^2$.
解得$x=10$.
∴$CE=10$ km.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们利用勾股定理结合AE=BE的条件建立方程。首先，△ACE和△BDE都是直角三角形，分别用勾股定理表示出AE²和BE²，再根据AE=BE得到等式，设CE的长度为未知数，结合CD的长度表示出DE，代入等式求解即可得到CE的长。
【解析】
解：
∵ AC⊥CD，BD⊥CD，
∴ ∠ACE=∠BDE=90°，即△ACE和△BDE均为直角三角形。
在Rt△ACE中，根据勾股定理：
$AE^2 = AC^2 + CE^2$
在Rt△BDE中，根据勾股定理：
$BE^2 = BD^2 + DE^2$
∵ AE=BE，
∴ $AE^2 = BE^2$，即 $AC^2 + CE^2 = BD^2 + DE^2$。
设CE = x km，则DE = (25 - x) km，已知AC=15 km，BD=10 km，代入得：
$15^2 + x^2 = 10^2 + (25 - x)^2$
展开并化简：
$225 + x^2 = 100 + 625 - 50x + x^2$
消去$x^2$后：
$225 = 725 - 50x$
移项计算：
$50x = 725 - 225 = 500$
解得：$x = 10$
∴ CE的长为10 km。
【答案】
10 km
【知识点】
勾股定理，一元一次方程应用
【点评】
本题是勾股定理结合方程思想的基础几何计算题，通过设未知数列方程求解，考查学生对勾股定理的掌握和方程思想的运用，题目难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们利用勾股定理结合AE=BE的条件建立方程。首先，△ACE和△BDE都是直角三角形，分别用勾股定理表示出AE²和BE²，再根据AE=BE得到等式，设CE的长度为未知数，结合CD的长度表示出DE，代入等式求解即可得到CE的长。
【解析】
解：
∵ AC⊥CD，BD⊥CD，
∴ ∠ACE=∠BDE=90°，即△ACE和△BDE均为直角三角形。
在Rt△ACE中，根据勾股定理：
$AE^2 = AC^2 + CE^2$
在Rt△BDE中，根据勾股定理：
$BE^2 = BD^2 + DE^2$
∵ AE=BE，
∴ $AE^2 = BE^2$，即 $AC^2 + CE^2 = BD^2 + DE^2$。
设CE = x km，则DE = (25 - x) km，已知AC=15 km，BD=10 km，代入得：
$15^2 + x^2 = 10^2 + (25 - x)^2$
展开并化简：
$225 + x^2 = 100 + 625 - 50x + x^2$
消去$x^2$后：
$225 = 725 - 50x$
移项计算：
$50x = 725 - 225 = 500$
解得：$x = 10$
∴ CE的长为10 km。
【答案】
10 km
【知识点】
勾股定理，一元一次方程应用
【点评】
本题是勾股定理结合方程思想的基础几何计算题，通过设未知数列方程求解，考查学生对勾股定理的掌握和方程思想的运用，题目难度适中。
【难度系数】
0.6
