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有两个角
相等
的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）。答案
相等
解析
【分析】
本题考查等腰三角形判定定理的内容识记，解题时首先回忆等腰三角形“等角对等边”判定定理的完整表述，对应题干空缺处直接匹配对应的表述内容即可。
【解析】
根据等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形，该判定定理简写成“等角对等边”，因此空缺处应填写“相等”。
【答案】
相等
【知识点】
等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对教材中基础定理内容的准确记忆，只要熟练掌握课本相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查等腰三角形判定定理的内容识记，解题时首先回忆等腰三角形“等角对等边”判定定理的完整表述，对应题干空缺处直接匹配对应的表述内容即可。
【解析】
根据等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形，该判定定理简写成“等角对等边”，因此空缺处应填写“相等”。
【答案】
相等
【知识点】
等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对教材中基础定理内容的准确记忆，只要熟练掌握课本相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
1. 在$△ ABC$中，$∠ A$和$∠ B$的度数如下，能判定$△ ABC$是等腰三角形的是（
A.$∠ A=50°$，$∠ B=70°$
B.$∠ A=70°$，$∠ B=40°$
C.$∠ A=30°$，$∠ B=90°$
D.$∠ A=80°$，$∠ B=60°$
B
）.A.$∠ A=50°$，$∠ B=70°$
B.$∠ A=70°$，$∠ B=40°$
C.$∠ A=30°$，$∠ B=90°$
D.$∠ A=80°$，$∠ B=60°$
答案
1. B
解析
【分析】
要判定△ABC是等腰三角形，需先明确等腰三角形的判定依据：有两个内角相等的三角形是等腰三角形。解题时可结合三角形内角和为180°，依次计算每个选项中第三个角的度数，检查三个角中是否存在两个角度相等的情况，即可得出正确答案。
【解析】
根据三角形内角和为180°，逐一计算各选项中∠C的度数，再判断是否存在两个相等的内角：
A选项：∠C=180°-∠A-∠B=180°-50°-70°=60°，三个内角度数为50°、70°、60°，无相等内角，不是等腰三角形，排除；
B选项：∠C=180°-∠A-∠B=180°-70°-40°=70°，此时∠A=∠C=70°，有两个相等的内角，是等腰三角形，符合要求；
C选项：∠C=180°-∠A-∠B=180°-30°-90°=60°，三个内角度数为30°、90°、60°，无相等内角，不是等腰三角形，排除；
D选项：∠C=180°-∠A-∠B=180°-80°-60°=40°，三个内角度数为80°、60°、40°，无相等内角，不是等腰三角形，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查等腰三角形的判定方法，解题的关键是熟练运用三角形内角和定理计算未知角的度数，掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判定△ABC是等腰三角形，需先明确等腰三角形的判定依据：有两个内角相等的三角形是等腰三角形。解题时可结合三角形内角和为180°，依次计算每个选项中第三个角的度数，检查三个角中是否存在两个角度相等的情况，即可得出正确答案。
【解析】
根据三角形内角和为180°，逐一计算各选项中∠C的度数，再判断是否存在两个相等的内角：
A选项：∠C=180°-∠A-∠B=180°-50°-70°=60°，三个内角度数为50°、70°、60°，无相等内角，不是等腰三角形，排除；
B选项：∠C=180°-∠A-∠B=180°-70°-40°=70°，此时∠A=∠C=70°，有两个相等的内角，是等腰三角形，符合要求；
C选项：∠C=180°-∠A-∠B=180°-30°-90°=60°，三个内角度数为30°、90°、60°，无相等内角，不是等腰三角形，排除；
D选项：∠C=180°-∠A-∠B=180°-80°-60°=40°，三个内角度数为80°、60°、40°，无相等内角，不是等腰三角形，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查等腰三角形的判定方法，解题的关键是熟练运用三角形内角和定理计算未知角的度数，掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 如果一个三角形一内角平分线垂直于对边，那么这个三角形一定是（
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.等腰三角形
D.钝角三角形
C
）.A.直角三角形
B.锐角三角形
C.等腰三角形
D.钝角三角形
答案
2. C
解析
【分析】
遇到这类几何条件判断题，我们可以先将文字条件转化为几何符号条件：已知三角形一个内角的平分线同时是对边的高，我们可以通过证明角平分线分割出的两个小三角形全等，推导得到原三角形的两条边相等，即可判断三角形的形状。解题思路为：1. 梳理已知条件：角平分线可得两个等角，垂直可得两个直角，角平分线所在线段为两个小三角形的公共边；2. 用全等三角形判定定理证明两个小三角形全等；3. 根据全等三角形对应边相等得到原三角形两边相等，对应等腰三角形的定义即可得出结论。
【解析】
结合图形推导：假设在$△ ABC$中，$AD$是$∠ BAC$的角平分线，且$AD⊥ BC$，垂足为$D$。
1. 由角平分线的定义可得：$∠ BAD=∠ CAD$；
2. 由垂直的定义可得：$∠ ADB=∠ ADC=90°$；
3. 在$△ ABD$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}∠ BAD=∠ CAD \\AD=AD\quad(\mathrm{公共边}) \\∠ ADB=∠ ADC\end{cases}$
因此$△ ABD≌△ ACD$（ASA）；
4. 由全等三角形对应边相等可得$AB=AC$，因此$△ ABC$为等腰三角形。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何判断题，核心是将题目的文字条件转化为几何证明条件，通过全等三角形推导边的相等关系，熟练掌握全等判定定理和等腰三角形的定义是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.9
遇到这类几何条件判断题，我们可以先将文字条件转化为几何符号条件：已知三角形一个内角的平分线同时是对边的高，我们可以通过证明角平分线分割出的两个小三角形全等，推导得到原三角形的两条边相等，即可判断三角形的形状。解题思路为：1. 梳理已知条件：角平分线可得两个等角，垂直可得两个直角，角平分线所在线段为两个小三角形的公共边；2. 用全等三角形判定定理证明两个小三角形全等；3. 根据全等三角形对应边相等得到原三角形两边相等，对应等腰三角形的定义即可得出结论。
【解析】
结合图形推导：假设在$△ ABC$中，$AD$是$∠ BAC$的角平分线，且$AD⊥ BC$，垂足为$D$。
1. 由角平分线的定义可得：$∠ BAD=∠ CAD$；
2. 由垂直的定义可得：$∠ ADB=∠ ADC=90°$；
3. 在$△ ABD$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}∠ BAD=∠ CAD \\AD=AD\quad(\mathrm{公共边}) \\∠ ADB=∠ ADC\end{cases}$
因此$△ ABD≌△ ACD$（ASA）；
4. 由全等三角形对应边相等可得$AB=AC$，因此$△ ABC$为等腰三角形。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何判断题，核心是将题目的文字条件转化为几何证明条件，通过全等三角形推导边的相等关系，熟练掌握全等判定定理和等腰三角形的定义是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.9
3. 如图15.3-13，已知OC平分∠AOB，CD//OB，若OD=3 cm，则CD等于（
图15.3-13
A.3 cm
B.4 cm
C.1.5 cm
D.2 cm
A
）。图15.3-13
A.3 cm
B.4 cm
C.1.5 cm
D.2 cm
答案
3. A
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件分析：题目给出角平分线和平行线两个条件，我们可以先利用角平分线的定义得到一组相等的角，再利用平行线的性质得到另一组相等的角，通过等量代换得到△ODC中两个内角相等，再根据等腰三角形“等角对等边”的性质即可求出CD的长度。
【解析】
解：
∵OC平分∠AOB，
∴∠DOC=∠BOC，
∵CD//OB，
∴∠DCO=∠BOC（两直线平行，内错角相等），
∴∠DOC=∠DCO，
∴△ODC为等腰三角形，
∴CD=OD，
又
∵OD=3cm，
∴CD=3cm。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是结合角平分线和平行线的性质推导得到等角，进而判定等腰三角形，利用等角对等边得到线段长度，这类“角平分线+平行线”的组合是推导等腰三角形的常见模型，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合已知条件分析：题目给出角平分线和平行线两个条件，我们可以先利用角平分线的定义得到一组相等的角，再利用平行线的性质得到另一组相等的角，通过等量代换得到△ODC中两个内角相等，再根据等腰三角形“等角对等边”的性质即可求出CD的长度。
【解析】
解：
∵OC平分∠AOB，
∴∠DOC=∠BOC，
∵CD//OB，
∴∠DCO=∠BOC（两直线平行，内错角相等），
∴∠DOC=∠DCO，
∴△ODC为等腰三角形，
∴CD=OD，
又
∵OD=3cm，
∴CD=3cm。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是结合角平分线和平行线的性质推导得到等角，进而判定等腰三角形，利用等角对等边得到线段长度，这类“角平分线+平行线”的组合是推导等腰三角形的常见模型，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
4. 如图
，在平面直角坐标系中，O是原点，线段OA与x轴正半轴的夹角为$80°$，P是坐标轴上的动点，且满足$△ OAP$为等腰三角形，点P的可能位置共有（
A.5个
B.6个
C.7个
D.8个
，在平面直角坐标系中，O是原点，线段OA与x轴正半轴的夹角为$80°$，P是坐标轴上的动点，且满足$△ OAP$为等腰三角形，点P的可能位置共有（B
）。A.5个
B.6个
C.7个
D.8个
答案
4. B
解析
【分析】
要找出坐标轴上满足△OAP为等腰三角形的点P，需按等腰三角形的顶角顶点分三类讨论，避免重复或遗漏：
1. 以O为顶角顶点，此时OA=OP，只需以O为圆心、OA长为半径画圆，找圆与坐标轴的交点（O点除外）；
2. 以A为顶角顶点，此时AO=AP，只需以A为圆心、OA长为半径画圆，找圆与坐标轴的交点（O点除外）；
3. 以P为顶角顶点，此时PO=PA，只需作OA的垂直平分线，找垂直平分线与坐标轴的交点。
最后排除重复的交点，统计总数即可。
【解析】
我们分类枚举所有符合条件的点P：
1. 当OA为等腰三角形的腰，O为顶角顶点时：
以O为圆心、OA长度为半径作圆，与x轴正、负半轴各交于1个点，与y轴正、负半轴各交于1个点，共得到4个符合条件的点P；
2. 当OA为等腰三角形的腰，A为顶角顶点时：
以A为圆心、OA长度为半径作圆，与x轴正半轴、y轴正半轴各交于1个不与O重合的点，共得到2个新的符合条件的点P；
3. 当OA为等腰三角形的底边时：
作OA的垂直平分线，与坐标轴的交点均和前两类的点重合，无新增符合条件的点。
综上，符合条件的点P共有4+2=6个。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的判定；分类讨论思想；坐标系动点问题
【点评】
本题是等腰三角形动点问题的典型考法，核心考查分类讨论的逻辑，解题时需注意按顶角顶点的不同拆分情况，同时要排除重复的交点，避免多解或漏解。
【难度系数】
0.6
要找出坐标轴上满足△OAP为等腰三角形的点P，需按等腰三角形的顶角顶点分三类讨论，避免重复或遗漏：
1. 以O为顶角顶点，此时OA=OP，只需以O为圆心、OA长为半径画圆，找圆与坐标轴的交点（O点除外）；
2. 以A为顶角顶点，此时AO=AP，只需以A为圆心、OA长为半径画圆，找圆与坐标轴的交点（O点除外）；
3. 以P为顶角顶点，此时PO=PA，只需作OA的垂直平分线，找垂直平分线与坐标轴的交点。
最后排除重复的交点，统计总数即可。
【解析】
我们分类枚举所有符合条件的点P：
1. 当OA为等腰三角形的腰，O为顶角顶点时：
以O为圆心、OA长度为半径作圆，与x轴正、负半轴各交于1个点，与y轴正、负半轴各交于1个点，共得到4个符合条件的点P；
2. 当OA为等腰三角形的腰，A为顶角顶点时：
以A为圆心、OA长度为半径作圆，与x轴正半轴、y轴正半轴各交于1个不与O重合的点，共得到2个新的符合条件的点P；
3. 当OA为等腰三角形的底边时：
作OA的垂直平分线，与坐标轴的交点均和前两类的点重合，无新增符合条件的点。
综上，符合条件的点P共有4+2=6个。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的判定；分类讨论思想；坐标系动点问题
【点评】
本题是等腰三角形动点问题的典型考法，核心考查分类讨论的逻辑，解题时需注意按顶角顶点的不同拆分情况，同时要排除重复的交点，避免多解或漏解。
【难度系数】
0.6
5. 如图15.3-15，在$△ ABC$中，$ED // BC$，$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线分别交$ED$于点$F$，$G$。若$FG=3$，$DE=7$，则$BD+CE$的值为（
A.3
B.4
C.5
D.9
B
）。A.3
B.4
C.5
D.9
答案
5. B
解析
【分析】
解题时首先结合平行线的性质和角平分线的定义，推导得出图中的△BDF和△CEG均为等腰三角形，得到BD=DF、CE=EG，再结合线段DE的组成，将BD+CE转化为DE与FG的差即可计算出结果。
【解析】
∵ ED//BC，
∴ ∠DFB=∠FBC，∠EGC=∠GCB（两直线平行，内错角相等）。
∵ BF平分∠ABC，CG平分∠ACB，
∴ ∠DBF=∠FBC，∠ECG=∠GCB，
∴ ∠DFB=∠DBF，∠EGC=∠ECG，
∴ BD=DF，CE=EG（等角对等边）。
又
∵ DE=DF+FG+EG，
∴ DE=BD+CE+FG，
代入FG=3，DE=7，可得：
BD+CE=DE-FG=7-3=4。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定
【点评】
本题是等腰三角形判定的典型应用题型，解题的核心是通过平行线和角平分线的组合条件推导出等腰三角形，将分散的所求线段转化为已知线段的差，解题思路清晰，属于基础类几何题。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合平行线的性质和角平分线的定义，推导得出图中的△BDF和△CEG均为等腰三角形，得到BD=DF、CE=EG，再结合线段DE的组成，将BD+CE转化为DE与FG的差即可计算出结果。
【解析】
∵ ED//BC，
∴ ∠DFB=∠FBC，∠EGC=∠GCB（两直线平行，内错角相等）。
∵ BF平分∠ABC，CG平分∠ACB，
∴ ∠DBF=∠FBC，∠ECG=∠GCB，
∴ ∠DFB=∠DBF，∠EGC=∠ECG，
∴ BD=DF，CE=EG（等角对等边）。
又
∵ DE=DF+FG+EG，
∴ DE=BD+CE+FG，
代入FG=3，DE=7，可得：
BD+CE=DE-FG=7-3=4。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定
【点评】
本题是等腰三角形判定的典型应用题型，解题的核心是通过平行线和角平分线的组合条件推导出等腰三角形，将分散的所求线段转化为已知线段的差，解题思路清晰，属于基础类几何题。
【难度系数】
0.7
