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5. 如图15.3-6，在△ABC中，AB = AC，点D是边BC上的一点，满足AD = CD。若∠BAD=α，则∠B的度数为
$\frac{180°-α}{3}$
°。（请用含α的代数式表示）答案
5. $\frac{180°-α}{3}$
解析
【分析】
解题时首先从已知的等腰三角形条件出发，利用“等边对等角”得到相等的角：由AB=AC可得∠B=∠C，由AD=CD可得∠C=∠CAD，进而推出∠CAD=∠B；再结合角的和差关系可知△ABC的顶角∠BAC=∠BAD+∠CAD=α+∠B；最后利用三角形内角和为180°，将所有角用∠B和α表示，列等式即可求出∠B的表达式。
【解析】
解：
∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠C（等腰三角形等边对等角）
∵ AD=CD，
∴ ∠C=∠CAD（等腰三角形等边对等角）
∴ ∠CAD=∠C=∠B
又
∵ ∠BAC=∠BAD + ∠CAD，∠BAD=α
∴ ∠BAC=α + ∠B
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得：
∠B + ∠C + ∠BAC = 180°
将∠C=∠B、∠BAC=α+∠B代入上式，得：
∠B + ∠B + α + ∠B = 180°
即3∠B = 180° - α
解得$∠ B=\frac{180°-α}{3}$
【答案】
$\frac{180°-α}{3}$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；角的和差计算
【点评】
本题是等腰三角形的基础应用题型，核心是利用等边对等角转化角的相等关系，再结合三角形内角和建立方程求解，解题时要注意理清各个角之间的数量关系，避免角的代换出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知的等腰三角形条件出发，利用“等边对等角”得到相等的角：由AB=AC可得∠B=∠C，由AD=CD可得∠C=∠CAD，进而推出∠CAD=∠B；再结合角的和差关系可知△ABC的顶角∠BAC=∠BAD+∠CAD=α+∠B；最后利用三角形内角和为180°，将所有角用∠B和α表示，列等式即可求出∠B的表达式。
【解析】
解：
∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠C（等腰三角形等边对等角）
∵ AD=CD，
∴ ∠C=∠CAD（等腰三角形等边对等角）
∴ ∠CAD=∠C=∠B
又
∵ ∠BAC=∠BAD + ∠CAD，∠BAD=α
∴ ∠BAC=α + ∠B
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得：
∠B + ∠C + ∠BAC = 180°
将∠C=∠B、∠BAC=α+∠B代入上式，得：
∠B + ∠B + α + ∠B = 180°
即3∠B = 180° - α
解得$∠ B=\frac{180°-α}{3}$
【答案】
$\frac{180°-α}{3}$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；角的和差计算
【点评】
本题是等腰三角形的基础应用题型，核心是利用等边对等角转化角的相等关系，再结合三角形内角和建立方程求解，解题时要注意理清各个角之间的数量关系，避免角的代换出错。
【难度系数】
0.7
6. 如图15.3-7，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E. 求证：∠CBE=∠BAD. 
图15.3-7
图15.3-7答案
证明：$\because AB=AC$，AD 是BC 边上的中线，$\therefore AD ⊥ BC$，$∠ BAD=∠ CAD$。$\because BE ⊥ AC$，$\therefore ∠ BEC = ∠ ADC = 90°$，$\therefore ∠ CBE = 90° - ∠ C$，$∠ CAD = 90° - ∠ C$。$\therefore ∠ CBE = ∠ CAD$，$\therefore ∠ CBE = ∠ BAD$
解析
【分析】
要证明∠CBE=∠BAD，可结合已知条件逐步推导角的等量关系：首先由△ABC是等腰三角形，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD⊥BC且AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD；再由BE⊥AC可知△BEC和△ADC均为直角三角形，两个三角形中都含有锐角∠C，根据直角三角形两锐角互余，可得∠CBE和∠CAD都与∠C互余，由同角的余角相等可推出∠CBE=∠CAD，最后通过等量代换即可得到待证结论。
【解析】
证明：
∵ AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴ AD⊥BC，∠BAD=∠CAD。
∵ BE⊥AC，
∴ ∠BEC = ∠ADC = 90°，
∴ ∠CBE = 90° - ∠C，∠CAD = 90° - ∠C。
∴ ∠CBE = ∠CAD，
∴ ∠CBE = ∠BAD。
【答案】
证明：$\because AB=AC$，AD 是BC 边上的中线，$\therefore AD ⊥ BC$，$∠ BAD=∠ CAD$。$\because BE ⊥ AC$，$\therefore ∠ BEC = ∠ ADC = 90°$，$\therefore ∠ CBE = 90° - ∠ C$，$∠ CAD = 90° - ∠ C$。$\therefore ∠ CBE = ∠ CAD$，$\therefore ∠ CBE = ∠ BAD$
【知识点】
等腰三角形三线合一；直角三角形两锐角互余；等量代换
【点评】
本题属于几何基础证明题，核心考查等腰三角形的性质应用，解题时需先从已知条件出发提取对应性质，再利用直角三角形的角的关系搭建等量桥梁，即可完成推导，整体思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
要证明∠CBE=∠BAD，可结合已知条件逐步推导角的等量关系：首先由△ABC是等腰三角形，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD⊥BC且AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD；再由BE⊥AC可知△BEC和△ADC均为直角三角形，两个三角形中都含有锐角∠C，根据直角三角形两锐角互余，可得∠CBE和∠CAD都与∠C互余，由同角的余角相等可推出∠CBE=∠CAD，最后通过等量代换即可得到待证结论。
【解析】
证明：
∵ AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴ AD⊥BC，∠BAD=∠CAD。
∵ BE⊥AC，
∴ ∠BEC = ∠ADC = 90°，
∴ ∠CBE = 90° - ∠C，∠CAD = 90° - ∠C。
∴ ∠CBE = ∠CAD，
∴ ∠CBE = ∠BAD。
【答案】
证明：$\because AB=AC$，AD 是BC 边上的中线，$\therefore AD ⊥ BC$，$∠ BAD=∠ CAD$。$\because BE ⊥ AC$，$\therefore ∠ BEC = ∠ ADC = 90°$，$\therefore ∠ CBE = 90° - ∠ C$，$∠ CAD = 90° - ∠ C$。$\therefore ∠ CBE = ∠ CAD$，$\therefore ∠ CBE = ∠ BAD$
【知识点】
等腰三角形三线合一；直角三角形两锐角互余；等量代换
【点评】
本题属于几何基础证明题，核心考查等腰三角形的性质应用，解题时需先从已知条件出发提取对应性质，再利用直角三角形的角的关系搭建等量桥梁，即可完成推导，整体思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
7. 经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”。
（1）如图15.3-8，$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ A=36°$，$CD$平分$∠ ACB$，请说明$△ ABC$是“钻石三角形”。
（2）如图15.3-9，已知$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，$∠ C=60°$，则$\mathrm{Rt}△ ABC$
（3）如图15.3-10，在$△ ABC$中，$∠ BAC=20°$，若存在过点$C$的“钻石分割线”，使$△ ABC$是“钻石三角形”，请直接写出满足条件的$∠ B$的度数。
（1）如图15.3-8，$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ A=36°$，$CD$平分$∠ ACB$，请说明$△ ABC$是“钻石三角形”。
（2）如图15.3-9，已知$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，$∠ C=60°$，则$\mathrm{Rt}△ ABC$
是
（填“是”或者“不是”）“钻石三角形”。若是，其“钻石分割线”必过顶点B
（填“A”“B”或“C”）。若不是，请说明理由。（3）如图15.3-10，在$△ ABC$中，$∠ BAC=20°$，若存在过点$C$的“钻石分割线”，使$△ ABC$是“钻石三角形”，请直接写出满足条件的$∠ B$的度数。
答案
7. （1）在$△ABC$中，$AB=AC$，$∠ A=36°$，$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=72°$。$\because CD$平分$∠ ACB$，$\therefore ∠ BCD=∠ ACD=\frac{1}{2}∠ ACB=36°$。$\because ∠ A=∠ ACD=36°$，$\therefore △ ACD$是等腰三角形。$\therefore ∠ BDC=∠ A+∠ ACD=72°$。$\because ∠ B=72°$，$\therefore ∠ B=∠ BDC$，$\therefore △ BDC$是等腰三角形，$\therefore △ ABC$是“钻石三角形” （2）是 B （3）$∠ B$的度数为$70°$或$40°$或$100°$或$10°$
解析
【分析】
（1）要证明△ABC是“钻石三角形”，只需验证CD分割得到的两个小三角形均为等腰三角形即可。先利用等腰三角形内角和求出△ABC的底角度数，再结合角平分线的性质计算两个小三角形的内角，通过等角对等边判定等腰三角形即可。
（2）先计算出Rt△ABC三个内角的度数，依次尝试从三个顶点出发作分割线，判断能否得到两个等腰三角形，即可得出结论。
（3）设过点C的钻石分割线交AB于点D，先分类讨论△ACD为等腰三角形的不同情况，再结合△BCD也为等腰三角形的要求，利用三角形内角和定理、外角性质计算∠B的可能值，注意分类时不要漏解。
【解析】
（1）在△ABC中，
∵$AB=AC$，$∠ A=36°$，
∴$∠ ABC=∠ ACB=(180°-36°)÷2=72°$，
∵CD平分$∠ ACB$，
∴$∠ BCD=∠ ACD=\frac{1}{2}∠ ACB=36°$，
∴$∠ A=∠ ACD=36°$，可得$AD=CD$，即△ACD是等腰三角形，
∵$∠ BDC$是△ACD的外角，
∴$∠ BDC=∠ A+∠ ACD=36°+36°=72°$，
∴$∠ B=∠ BDC=72°$，可得$BC=CD$，即△BDC是等腰三角形，
∴直线CD将△ABC分割为两个等腰三角形，故△ABC是“钻石三角形”。
（2）在Rt△ABC中，$∠ B=90°$，$∠ C=60°$，
∴$∠A=180°-90°-60°=30°$，
过点B作BD交AC于点D，使$∠ABD=30°$，则$∠A=∠ABD=30°$，可得$AD=BD$，△ABD为等腰三角形，
此时$∠DBC=90°-30°=60°$，又$∠C=60°$，
∴$∠DBC=∠C$，可得$BD=CD$，△BDC为等腰三角形，
因此Rt△ABC是“钻石三角形”，分割线过顶点B。
（3）设过点C的分割线交AB于点D，分情况讨论：
①若$AD=CD$，则$∠ACD=∠A=20°$，$∠CDB=∠A+∠ACD=40°$：
若$CD=BD$，则$∠B=∠BCD=(180°-40°)÷2=70°$；
若$CD=BC$，则$∠B=∠CDB=40°$；
若$BC=BD$，则$∠BCD=∠CDB=40°$，$∠B=180°-40°×2=100°$；
②若$AC=CD$，则$∠ADC=∠A=20°$，$∠CDB=180°-20°=160°$，此时△BCD只能是$BD=CD$，则$∠B=∠BCD=(180°-160°)÷2=10°$。
综上，满足条件的$∠B$的度数为$70°$或$40°$或$100°$或$10°$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）是，B；（3）$∠ B$的度数为$70°$或$40°$或$100°$或$10°$
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题属于新定义类题型，核心考查等腰三角形相关性质的灵活运用，解题时需紧扣“分割为两个等腰三角形”的要求，分类讨论时要全面考虑等腰三角形腰的所有可能情况，避免漏解。
【难度系数】
0.4
（1）要证明△ABC是“钻石三角形”，只需验证CD分割得到的两个小三角形均为等腰三角形即可。先利用等腰三角形内角和求出△ABC的底角度数，再结合角平分线的性质计算两个小三角形的内角，通过等角对等边判定等腰三角形即可。
（2）先计算出Rt△ABC三个内角的度数，依次尝试从三个顶点出发作分割线，判断能否得到两个等腰三角形，即可得出结论。
（3）设过点C的钻石分割线交AB于点D，先分类讨论△ACD为等腰三角形的不同情况，再结合△BCD也为等腰三角形的要求，利用三角形内角和定理、外角性质计算∠B的可能值，注意分类时不要漏解。
【解析】
（1）在△ABC中，
∵$AB=AC$，$∠ A=36°$，
∴$∠ ABC=∠ ACB=(180°-36°)÷2=72°$，
∵CD平分$∠ ACB$，
∴$∠ BCD=∠ ACD=\frac{1}{2}∠ ACB=36°$，
∴$∠ A=∠ ACD=36°$，可得$AD=CD$，即△ACD是等腰三角形，
∵$∠ BDC$是△ACD的外角，
∴$∠ BDC=∠ A+∠ ACD=36°+36°=72°$，
∴$∠ B=∠ BDC=72°$，可得$BC=CD$，即△BDC是等腰三角形，
∴直线CD将△ABC分割为两个等腰三角形，故△ABC是“钻石三角形”。
（2）在Rt△ABC中，$∠ B=90°$，$∠ C=60°$，
∴$∠A=180°-90°-60°=30°$，
过点B作BD交AC于点D，使$∠ABD=30°$，则$∠A=∠ABD=30°$，可得$AD=BD$，△ABD为等腰三角形，
此时$∠DBC=90°-30°=60°$，又$∠C=60°$，
∴$∠DBC=∠C$，可得$BD=CD$，△BDC为等腰三角形，
因此Rt△ABC是“钻石三角形”，分割线过顶点B。
（3）设过点C的分割线交AB于点D，分情况讨论：
①若$AD=CD$，则$∠ACD=∠A=20°$，$∠CDB=∠A+∠ACD=40°$：
若$CD=BD$，则$∠B=∠BCD=(180°-40°)÷2=70°$；
若$CD=BC$，则$∠B=∠CDB=40°$；
若$BC=BD$，则$∠BCD=∠CDB=40°$，$∠B=180°-40°×2=100°$；
②若$AC=CD$，则$∠ADC=∠A=20°$，$∠CDB=180°-20°=160°$，此时△BCD只能是$BD=CD$，则$∠B=∠BCD=(180°-160°)÷2=10°$。
综上，满足条件的$∠B$的度数为$70°$或$40°$或$100°$或$10°$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）是，B；（3）$∠ B$的度数为$70°$或$40°$或$100°$或$10°$
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题属于新定义类题型，核心考查等腰三角形相关性质的灵活运用，解题时需紧扣“分割为两个等腰三角形”的要求，分类讨论时要全面考虑等腰三角形腰的所有可能情况，避免漏解。
【难度系数】
0.4
8. 如图15.3-11，在△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=2∠C.若AB=5，BC=6，则△ABD的周长为（
A.8
B.10
C.11
D.12
C
）.A.8
B.10
C.11
D.12
答案
8. C
解析
【分析】
要计算△ABD的周长，周长公式为AB+BD+AD，已知AB=5，因此只需要求出BD+AD的长度即可。首先利用三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得∠ADB=∠C+∠DAC，结合已知条件∠ADB=2∠C，可推导出∠DAC=∠C，再根据等腰三角形“等角对等边”的性质得到AD=DC，由此可将BD+AD转化为BD+DC=BC，代入数值即可求出周长。
【解析】
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠ADB=∠C+∠DAC（三角形外角的性质），
又
∵∠ADB=2∠C，
∴2∠C=∠C+∠DAC，
解得∠DAC=∠C，
∴AD=DC（等角对等边）。
△ABD的周长 = AB + BD + AD，
将AD=DC代入得：
周长 = AB + BD + DC = AB + BC，
已知AB=5，BC=6，
∴△ABD的周长=5+6=11。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角性质；等腰三角形判定；三角形周长计算
【点评】
本题考查了转化思想在几何解题中的应用，解题的关键是通过角度关系推导得到AD=DC，将待求周长中的未知线段和转化为已知长度的边，无需单独计算各未知线段长度，简化了解题过程。
【难度系数】
0.7
要计算△ABD的周长，周长公式为AB+BD+AD，已知AB=5，因此只需要求出BD+AD的长度即可。首先利用三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得∠ADB=∠C+∠DAC，结合已知条件∠ADB=2∠C，可推导出∠DAC=∠C，再根据等腰三角形“等角对等边”的性质得到AD=DC，由此可将BD+AD转化为BD+DC=BC，代入数值即可求出周长。
【解析】
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠ADB=∠C+∠DAC（三角形外角的性质），
又
∵∠ADB=2∠C，
∴2∠C=∠C+∠DAC，
解得∠DAC=∠C，
∴AD=DC（等角对等边）。
△ABD的周长 = AB + BD + AD，
将AD=DC代入得：
周长 = AB + BD + DC = AB + BC，
已知AB=5，BC=6，
∴△ABD的周长=5+6=11。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角性质；等腰三角形判定；三角形周长计算
【点评】
本题考查了转化思想在几何解题中的应用，解题的关键是通过角度关系推导得到AD=DC，将待求周长中的未知线段和转化为已知长度的边，无需单独计算各未知线段长度，简化了解题过程。
【难度系数】
0.7
