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1. 有两条边相等的三角形是
等腰
三角形。答案
1. 等腰
解析
【分析】
解题时先回忆三角形按边分类的相关定义，明确不同类型三角形的边的特征：等腰三角形的核心判定特征就是存在两条相等的边，题目明确给出“有两条边相等”的条件，直接对应等腰三角形的定义即可得出答案。
【解析】
根据等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，因此本题应填入“等腰”。
【答案】
等腰
【知识点】
等腰三角形的定义、三角形按边分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对核心定义的识记，熟练掌握相关基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆三角形按边分类的相关定义，明确不同类型三角形的边的特征：等腰三角形的核心判定特征就是存在两条相等的边，题目明确给出“有两条边相等”的条件，直接对应等腰三角形的定义即可得出答案。
【解析】
根据等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，因此本题应填入“等腰”。
【答案】
等腰
【知识点】
等腰三角形的定义、三角形按边分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对核心定义的识记，熟练掌握相关基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 等腰三角形的两个底角
相等
（简写成“等边对等角”）。答案
2. 相等
解析
【分析】
这道题考查等腰三角形的基础性质，解题时首先回忆等腰三角形的相关概念：等腰三角形是有两条边相等的三角形，相等的边为腰，剩余的边为底边，腰与底边的夹角叫做底角。题干已经提示该性质简写成“等边对等角”，意思是相等的边所对的角相等，等腰三角形的两条腰相等，对应的两个底角自然相等，据此即可得出答案。
【解析】
根据等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，该性质可简记为“等边对等角”，因此空缺处应填写“相等”。
【答案】
相等
【知识点】
等腰三角形的性质；等边对等角
【点评】
本题是对基础概念的直接考查，属于识记类题型，侧重检验对课本基础知识点的掌握情况，难度很低，熟练掌握教材中的基础定义与性质即可快速得分。
【难度系数】
0.95
这道题考查等腰三角形的基础性质，解题时首先回忆等腰三角形的相关概念：等腰三角形是有两条边相等的三角形，相等的边为腰，剩余的边为底边，腰与底边的夹角叫做底角。题干已经提示该性质简写成“等边对等角”，意思是相等的边所对的角相等，等腰三角形的两条腰相等，对应的两个底角自然相等，据此即可得出答案。
【解析】
根据等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，该性质可简记为“等边对等角”，因此空缺处应填写“相等”。
【答案】
相等
【知识点】
等腰三角形的性质；等边对等角
【点评】
本题是对基础概念的直接考查，属于识记类题型，侧重检验对课本基础知识点的掌握情况，难度很低，熟练掌握教材中的基础定义与性质即可快速得分。
【难度系数】
0.95
3. 等腰三角形
底边上的中线
、高
及顶角平分线
重合（简写成“三线合一”）。答案
3. 底边上的中线、高、顶角平分线
解析
【分析】
本题考查等腰三角形“三线合一”的基础概念，解题时首先回忆等腰三角形特有的“三线合一”性质的具体内容即可，需注意三条重合的线是针对底边和顶角的，不要和腰上的中线、高以及底角平分线混淆，直接对应概念补全内容即可。
【解析】
根据等腰三角形“三线合一”的性质：等腰三角形的底边上的中线、底边上的高、顶角平分线互相重合，按照要求填写对应内容即可。
【答案】
底边上的中线、高、顶角平分线
【知识点】
等腰三角形性质；三线合一
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，核心考查对等腰三角形“三线合一”性质的记忆，只要准确掌握该性质的具体内容就能快速得分，注意区分重合的三条线对应的是底边和顶角，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.9
本题考查等腰三角形“三线合一”的基础概念，解题时首先回忆等腰三角形特有的“三线合一”性质的具体内容即可，需注意三条重合的线是针对底边和顶角的，不要和腰上的中线、高以及底角平分线混淆，直接对应概念补全内容即可。
【解析】
根据等腰三角形“三线合一”的性质：等腰三角形的底边上的中线、底边上的高、顶角平分线互相重合，按照要求填写对应内容即可。
【答案】
底边上的中线、高、顶角平分线
【知识点】
等腰三角形性质；三线合一
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，核心考查对等腰三角形“三线合一”性质的记忆，只要准确掌握该性质的具体内容就能快速得分，注意区分重合的三条线对应的是底边和顶角，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.9
1. 若一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则第三边的长为（
A.2
B.3
C.4
D.2或4
C
）.A.2
B.3
C.4
D.2或4
答案
1. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确等腰三角形的两条腰长度相等，已知两边长为2和4，未明确哪条是腰哪条是底，因此需要分两种情况讨论第三边的可能取值，再根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证每种情况能否构成三角形，舍去不符合要求的情况，最终得到正确答案。
【解析】
已知该三角形是等腰三角形，两边长分别为2和4，分两种情况讨论：
1. 若第三边的长为2：此时三角形三边长为2、2、4，因为2+2=4，不满足“三角形任意两边之和大于第三边”的要求，无法构成三角形，故该情况舍去；
2. 若第三边的长为4：此时三角形三边长为2、4、4，因为2+4＞4，4+4＞2，满足三角形三边关系，且符合等腰三角形的特征，该情况成立。
综上，第三边的长为4，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的特征；三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形的基础常考题，易错点是忽略三角形三边的限制条件，直接根据等腰边相等的特征误选D，解题时要牢记分类讨论后必须验证三边能否构成三角形。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确等腰三角形的两条腰长度相等，已知两边长为2和4，未明确哪条是腰哪条是底，因此需要分两种情况讨论第三边的可能取值，再根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证每种情况能否构成三角形，舍去不符合要求的情况，最终得到正确答案。
【解析】
已知该三角形是等腰三角形，两边长分别为2和4，分两种情况讨论：
1. 若第三边的长为2：此时三角形三边长为2、2、4，因为2+2=4，不满足“三角形任意两边之和大于第三边”的要求，无法构成三角形，故该情况舍去；
2. 若第三边的长为4：此时三角形三边长为2、4、4，因为2+4＞4，4+4＞2，满足三角形三边关系，且符合等腰三角形的特征，该情况成立。
综上，第三边的长为4，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的特征；三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形的基础常考题，易错点是忽略三角形三边的限制条件，直接根据等腰边相等的特征误选D，解题时要牢记分类讨论后必须验证三边能否构成三角形。
【难度系数】
0.7
2. 如图15.3-3，AD是等腰$△ ABC$的顶角平分线，$BD=5$，则$CD=$（
A.10
B.5
C.4
D.3
B
）.A.10
B.5
C.4
D.3
答案
2. B
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：已知△ABC是等腰三角形，AD是它的顶角平分线，BD=5，要求CD的长度。首先回忆等腰三角形的核心性质“三线合一”：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。由此可推出AD同时是底边BC的中线，即点D是BC的中点，因此BD和CD长度相等，代入已知BD的数值即可直接得到CD的长度。
【解析】
解：
∵AD是等腰△ABC的顶角平分线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，
∴AD是底边BC上的中线，即D为BC的中点，
∴CD=BD，
又
∵BD=5，
∴CD=5。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于基础题，直接考查等腰三角形的核心性质，只要熟记“三线合一”的内容，无需复杂计算就能快速得到答案。
【难度系数】
0.9
解题时先梳理已知条件：已知△ABC是等腰三角形，AD是它的顶角平分线，BD=5，要求CD的长度。首先回忆等腰三角形的核心性质“三线合一”：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。由此可推出AD同时是底边BC的中线，即点D是BC的中点，因此BD和CD长度相等，代入已知BD的数值即可直接得到CD的长度。
【解析】
解：
∵AD是等腰△ABC的顶角平分线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，
∴AD是底边BC上的中线，即D为BC的中点，
∴CD=BD，
又
∵BD=5，
∴CD=5。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于基础题，直接考查等腰三角形的核心性质，只要熟记“三线合一”的内容，无需复杂计算就能快速得到答案。
【难度系数】
0.9
3. 如图15.3-4，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AB$的垂直平分线$MN$交$AC$于点$D$。若$∠ C=65°$，则$∠ DBC$的度数是（
A.$15°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
A
）。A.$15°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
答案
3. A
解析
【分析】
解题时首先从已知条件AB=AC入手，识别出△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质，结合已知∠C的度数可求出∠ABC和顶角∠A的度数；再看到MN是AB的垂直平分线，联想到垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，得到AD=BD，进而推出∠ABD=∠A；最后用∠ABC减去∠ABD即可求出∠DBC的度数。
【解析】
∵ $AB=AC$，$∠ C=65°$，
∴ $∠ ABC=∠ C=65°$（等腰三角形两底角相等），
∴ $∠ A=180°-∠ ABC-∠ C=180°-65°×2=50°$，
∵ $MN$是$AB$的垂直平分线，点$D$在$MN$上，
∴ $AD=BD$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴ $∠ ABD=∠ A=50°$，
∴ $∠ DBC=∠ ABC-∠ ABD=65°-50°=15°$。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础计算题，将等腰三角形性质和线段垂直平分线性质结合考查，解题核心是通过性质实现角的等量转化，计算过程简单，是等腰三角形章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件AB=AC入手，识别出△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质，结合已知∠C的度数可求出∠ABC和顶角∠A的度数；再看到MN是AB的垂直平分线，联想到垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，得到AD=BD，进而推出∠ABD=∠A；最后用∠ABC减去∠ABD即可求出∠DBC的度数。
【解析】
∵ $AB=AC$，$∠ C=65°$，
∴ $∠ ABC=∠ C=65°$（等腰三角形两底角相等），
∴ $∠ A=180°-∠ ABC-∠ C=180°-65°×2=50°$，
∵ $MN$是$AB$的垂直平分线，点$D$在$MN$上，
∴ $AD=BD$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴ $∠ ABD=∠ A=50°$，
∴ $∠ DBC=∠ ABC-∠ ABD=65°-50°=15°$。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础计算题，将等腰三角形性质和线段垂直平分线性质结合考查，解题核心是通过性质实现角的等量转化，计算过程简单，是等腰三角形章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
4. 如图15.3 - 5，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AF = EF。若∠CFE = 72°，则∠B=
图15.3 - 5
54
°图15.3 - 5
答案
4. 54
解析
【分析】
解题思路可分三步推导：首先，观察到∠CFE与∠AFE是邻补角，可先求出∠AFE的度数；其次，由AF=EF可知△AEF是等腰三角形，根据等边对等角的性质结合三角形内角和，即可求出∠A的度数；最后，在Rt△ABC中利用直角三角形两锐角互余的性质，就能算出∠B的度数。
【解析】
解：
∵∠AFE + ∠CFE = 180°，∠CFE=72°
∴∠AFE = 180° - 72° = 108°
∵AF = EF，
∴△AEF是等腰三角形，∠A = ∠AEF
在△AEF中，根据三角形内角和为180°：
∠A = (180° - ∠AFE)÷2 = (180° - 108°)÷2 = 36°
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠A + ∠B = 90°
∴∠B = 90° - 36° = 54°
【答案】
54
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形两锐角互余；邻补角的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，核心是通过等腰三角形的性质过渡求出∠A的度数，再结合直角三角形的性质求解，解题时需理清角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
解题思路可分三步推导：首先，观察到∠CFE与∠AFE是邻补角，可先求出∠AFE的度数；其次，由AF=EF可知△AEF是等腰三角形，根据等边对等角的性质结合三角形内角和，即可求出∠A的度数；最后，在Rt△ABC中利用直角三角形两锐角互余的性质，就能算出∠B的度数。
【解析】
解：
∵∠AFE + ∠CFE = 180°，∠CFE=72°
∴∠AFE = 180° - 72° = 108°
∵AF = EF，
∴△AEF是等腰三角形，∠A = ∠AEF
在△AEF中，根据三角形内角和为180°：
∠A = (180° - ∠AFE)÷2 = (180° - 108°)÷2 = 36°
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠A + ∠B = 90°
∴∠B = 90° - 36° = 54°
【答案】
54
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形两锐角互余；邻补角的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，核心是通过等腰三角形的性质过渡求出∠A的度数，再结合直角三角形的性质求解，解题时需理清角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
