7. 如图15.2-17，在平面直角坐标系中，直线$ l $为第一、三象限角平分线.点$ P(-1,2) $关于$ y $轴的对称点称为$ P $的一次反射点$ P_1(1,2) $，$ P_1 $关于直线$ l $的对称点称为点$ P $的二次反射点$ P_2(2,1) $.根据定义，回答下列问题：
(1) 点$ (3,-4) $的一次反射点为，二次反射点为.
(2) 若$ P(m+1,2n-1) $的一次反射点和$ Q(-3,4) $的二次反射点重合，求$ m+n $的值.

7. (1) (-3, -4) (-4, -3)
(2) 由题意，$\because P$ 为 $(m+1, 2n-1)$，$\therefore P$ 的一次反射点为 $(-m-1, 2n-1)$. 又$\because Q$ 为 $(-3, 4)$，$\therefore Q$ 的一次反射点为 $(3, 4)$. $\therefore Q$ 的二次反射点为$(4, 3)$. 又$\because P (m+1, 2n-1)$ 的一次反射点和$Q (-3, 4)$ 的二次反射点重合，$\therefore -m-1=4$，$2n-1=3$. $\therefore m=-5$，$n=2$. $\therefore m+n=-5+2=-3$

【分析】
解题前先明确两次反射的规则：①一次反射：点关于y轴对称，对称点横坐标为原横坐标的相反数，纵坐标不变；②二次反射：一次反射后的点再关于第一、三象限角平分线（即直线$y=x$）对称，对称点横、纵坐标与原一次反射点的横、纵坐标互换。
对于(1)，直接按照两次反射的坐标变换规则逐步计算即可；对于(2)，先分别求出P的一次反射点坐标、Q的二次反射点坐标，再根据两个点重合即对应横、纵坐标分别相等，列方程求出m、n的值，最后计算$m+n$即可。
【解析】
(1) 点$(3,-4)$的一次反射为关于y轴对称：横坐标变为原横坐标的相反数，纵坐标不变，因此一次反射点为$(-3,-4)$；
再将$(-3,-4)$关于直线$l$（直线$y=x$）对称，横、纵坐标互换，因此二次反射点为$(-4,-3)$。
(2) 先求$P(m+1,2n-1)$的一次反射点：关于y轴对称时，横坐标为$-(m+1)=-m-1$，纵坐标不变，可得一次反射点坐标为$(-m-1,2n-1)$；
再求$Q(-3,4)$的二次反射点：先求Q的一次反射点，关于y轴对称得$(3,4)$，再将$(3,4)$关于直线$y=x$对称，横纵坐标互换得二次反射点为$(4,3)$；
由两个点重合可得对应坐标相等，列方程组：
$\begin{cases}-m-1=4 \\2n-1=3\end{cases}$
解得$m=-5$，$n=2$，因此$m+n=-5+2=-3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-3,-4)}$，$\boldsymbol{(-4,-3)}$
(2) $\boldsymbol{-3}$
【知识点】
1. y轴对称坐标变换
2. 直线$y=x$对称坐标变换
3. 坐标相等的应用
【点评】
本题结合新定义的反射规则，考查轴对称变换下的坐标变化规律，解题核心是准确理解两次反射对应的对称方式，熟练掌握常见对称下的坐标变换方法，第二问利用点重合即坐标对应相等列方程求解即可，考查学生对新定义的理解能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7

8.【观察思考】在平面直角坐标系中，若直线$l$上的所有点的横坐标均为$a$，则直线$l$记为直线$x=a$. 如图15.2-18，直线$l$上的横坐标均为3，记为直线$x=3$. 探索关于直线$x=3$对称的点的坐标规律如下：

（1）【特例感知】根据上表和图15.2-18，可知$D(-2,-1)$关于直线$x=3$对称的点$D'$的坐标为.
（2）【规律应用】结合以上规律回答下列问题：
①点$E(1,-2)$关于直线$x=2$对称的点$E'$的坐标为.
②若点$F(1,3)$关于直线$x=b$对称的点$F'$的坐标为$(7,3)$，则$b$的值为.
（3）【深入拓展】若点$P(m,n)$与点$Q$关于直线$x=c$对称，求点$Q$的坐标.（用含有$m,n,c$的代数式表示）

8. (1) (8, −1)
(2) ① (3, −2)
② 4
(3) $\because$关于直线$x=c$对称的点纵坐标一样，横坐标和为$2c$，$\therefore$若点$P$（$m$，$n$）与点$Q$关于直线$x=c$对称，则点$Q$的坐标为 $(2c-m, n)$

【分析】
解决本题的核心是掌握关于竖直直线$x=a$对称的点的坐标规律：根据轴对称的性质，对称点的连线被对称轴垂直平分，竖直直线的垂线为水平线，因此两个对称点的纵坐标相等，且横坐标的平均值等于$a$，即横坐标之和为$2a$。解题时按照这个规律分别计算各小问即可：
（1）求$D$关于$x=3$的对称点，纵坐标不变，用$2×3$减去$D$的横坐标得到对称点横坐标；
（2）①同理，用$2×2$减去$E$的横坐标得对称点横坐标，纵坐标不变；②已知两个对称点的横坐标，直接求二者的平均值就是$b$的值；
（3）将规律推广到一般情况，用含$m、c$的式子表示对称点横坐标，纵坐标保持$n$不变即可。
【解析】
（1）关于直线$x=3$对称的点，纵坐标不变，横坐标之和为$2×3=6$。已知$D(-2,-1)$，则$D'$的横坐标为$6 - (-2)=8$，纵坐标为$-1$，故$D'(8,-1)$。
（2）①关于直线$x=2$对称的点，纵坐标不变，横坐标之和为$2×2=4$。已知$E(1,-2)$，则$E'$的横坐标为$4 - 1=3$，纵坐标为$-2$，故$E'(3,-2)$。
②点$F(1,3)$和$F'(7,3)$关于直线$x=b$对称，故$b$为两点横坐标的平均值，即$b=(1+7)÷2=4$。
（3）点$P(m,n)$与点$Q$关于直线$x=c$对称，根据对称规律：两点纵坐标相等，横坐标之和为$2c$。因此$Q$点纵坐标为$n$，横坐标为$2c - m$，即$Q$点坐标为$(2c - m, n)$。
【答案】
(1) $(8, -1)$
(2) ① $(3, -2)$
② $4$
(3) $(2c-m, n)$
【知识点】
轴对称的坐标规律、轴对称的性质、平面直角坐标系
【点评】
本题从特殊实例出发，探究关于竖直直线对称的点的坐标规律，再推广到一般情况，侧重考查规律总结与应用能力，掌握对称点的横、纵坐标的变化特征是解题关键。
【难度系数】
0.8

9. 如图15.2-19所示，在平面直角坐标系中，蝴蝶图案关于y轴对称，点M与点N是对应点，则下列选项中的点，到M，N两点的距离相等的是（）。

A.点P（2，2）
B.点Q（1，－2）
C.点R（0，－1）
D.点S（－1，－2）

9. C

【分析】
解题时首先回忆两个核心性质：①平面内到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；②关于y轴对称的两个点纵坐标相等、横坐标互为相反数。结合题意，M、N是关于y轴对称的对应点，因此线段MN平行于x轴，它的垂直平分线就是y轴，即只要在y轴上的点到M、N的距离都相等，最后判断各选项中点是否在y轴上（y轴上的点横坐标为0）即可得出答案。
【解析】
解：
∵蝴蝶图案关于y轴对称，点M与点N是对应点
∴点M和点N关于y轴对称，两点纵坐标相同，横坐标互为相反数
由此可得线段MN平行于x轴，线段MN的垂直平分线为y轴
根据线段垂直平分线的性质，到M、N两点距离相等的点都在y轴上，而y轴上的点横坐标为0。
观察选项：
A. 点P（2，2）横坐标为2，不在y轴上；
B. 点Q（1，－2）横坐标为1，不在y轴上；
C. 点R（0，－1）横坐标为0，在y轴上；
D. 点S（－1，－2）横坐标为-1，不在y轴上。
因此符合条件的是点R，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，坐标轴上点的坐标特征
【点评】
本题将轴对称的性质与线段垂直平分线的性质结合考查，不需要复杂计算，只需通过性质推导得出符合条件的点在y轴上，就能快速筛选答案，是对基础几何性质应用能力的考查。
【难度系数】
0.8