6. 在$△ ABC$中，已知$a$，$b$，$c$分别是$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边，则下列条件中，不能判定$△ ABC$是等腰三角形的是（）.

A.$a=3$，$b=3$，$c=4$
B.$a:b:c=2:3:4$
C.$∠ B=50°$，$∠ C=80°$
D.$∠ A:∠ B:∠ C=1:1:2$

6. B

【分析】
要判断三角形是否为等腰三角形，核心依据是等腰三角形的判定规则：有两条边相等的三角形是等腰三角形，或有两个角相等的三角形是等腰三角形。解题时逐个分析每个选项，验证是否存在相等的边或相等的角即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
选项A：已知$a=3$，$b=3$，即$a=b$，三角形有两条相等的边，可判定$△ ABC$是等腰三角形；
选项B：$a:b:c=2:3:4$，说明三条边长度均不相等，不存在相等的边，也推导不出相等的角，不能判定$△ ABC$是等腰三角形；
选项C：根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ A=180°-∠ B-∠ C=180°-50°-80°=50°$，即$∠ A=∠ B$，有两个相等的角，可判定$△ ABC$是等腰三角形；
选项D：设$∠ A=x$，$∠ B=x$，$∠ C=2x$，根据内角和定理列方程：$x+x+2x=180°$，解得$x=45°$，即$∠ A=∠ B=45°$，有两个相等的角，可判定$△ ABC$是等腰三角形。
综上，只有B选项不能判定$△ ABC$是等腰三角形。
【答案】
B
【知识点】
1. 等腰三角形的判定
2. 三角形内角和定理
【点评】
本题属于等腰三角形判定的基础题，解题关键是熟练掌握等腰三角形的两种判定方法，结合三角形内角和定理计算角度、分析边长关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8

7. 如图15.3-16，在$△ ABC$中，$AB=20\ \mathrm{cm}$，$AC=12\ \mathrm{cm}$，点$P$从点$B$出发以$3\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$A$运动，点$Q$从点$A$同时出发以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$C$运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动。当$△ APQ$是以$PQ$为底的等腰三角形时，运动的时间是（）。

A.$2.5\ \mathrm{s}$
B.$3\ \mathrm{s}$
C.$3.5\ \mathrm{s}$
D.$4\ \mathrm{s}$

7. D

【分析】
首先明确等腰三角形的性质：以PQ为底的等腰三角形，两腰为AP和AQ，因此满足AP=AQ，这是解题的核心等量关系。接下来分别用运动时间t表示出AP、AQ的长度：点P速度为3cm/s，t秒后BP=3t，因此AP=AB-BP=20-3t；点Q速度为2cm/s，t秒后AQ=2t。最后根据AP=AQ列一元一次方程求解，再验证解是否符合动点运动的停止条件即可。
【解析】
设运动的时间为$ t\ \mathrm{s} $。
根据题意可得：
$ BP=3t\ \mathrm{cm} $，$ AQ=2t\ \mathrm{cm} $，
则 $ AP = AB - BP = (20 - 3t)\ \mathrm{cm} $。
∵ △APQ是以PQ为底的等腰三角形，
∴ $ AP = AQ $，
代入线段长度列方程：$ 20 - 3t = 2t $，
移项合并同类项得：$ 5t = 20 $，
解得：$ t = 4 $。
验证：点Q到达C点的时间为$ 12÷2=6\ \mathrm{s} $，点P到达A点的时间为$ 20÷3\approx6.67\ \mathrm{s} $，$ 4＜6 $，符合运动停止规则，取值有效。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形性质；一元一次方程应用；动点问题处理
【点评】
本题属于动点结合等腰三角形的基础题型，解题的关键是抓住等腰三角形“两腰相等”的性质找到等量关系，将动态问题转化为静态的方程问题求解，最后注意要验证解是否符合实际运动的取值范围。
【难度系数】
0.7

8. 如图15.3-17，在$△ ABC$中，$∠ B = ∠ C$，AD是底边BC上的高，$DE // AB$交AC于点E。求证：$△ ADE$是等腰三角形。

图15.3-17

证明：在$△ ABC$中，$∠ B=∠ C$，$\therefore AB=AC$，$\therefore △ ABC$是等腰三角形。$\because AD ⊥ BC$，$\therefore ∠ BAD=∠ DAC$。$\because DE // AB$，$\therefore ∠ ADE=∠ BAD$，$\therefore ∠ ADE=∠ DAC$，$\therefore AE=ED$，$\therefore △ ADE$是等腰三角形

【分析】
要证明$△ ADE$是等腰三角形，核心是证明该三角形有两个内角相等或者两条边相等。首先结合已知$∠ B=∠ C$，可判定$△ ABC$是等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质，可得$AD$平分$∠ BAC$；之后利用$DE// AB$的平行线性质，推导角的等量关系，通过等量代换得到$△ ADE$中两个内角相等，即可完成证明。
【解析】
证明：在$△ ABC$中，$∠ B= ∠ C$，
$\therefore AB=AC$，即$△ ABC$是等腰三角形。
$\because AD$是底边$BC$上的高，即$AD ⊥ BC$，
根据等腰三角形三线合一的性质，可得$∠ BAD= ∠ DAC$。
$\because DE // AB$，
根据两直线平行，内错角相等，可得$∠ ADE= ∠ BAD$，
通过等量代换得$∠ ADE= ∠ DAC$，
根据等角对等边，可得$AE=ED$，
$\therefore △ ADE$是等腰三角形。
【答案】
在$△ ABC$中，$∠ B= ∠ C$，$\therefore AB=AC$，$\therefore △ ABC$是等腰三角形。$\because AD ⊥ BC$，$\therefore ∠ BAD= ∠ DAC$。$\because DE // AB$，$\therefore ∠ ADE= ∠ BAD$，$\therefore ∠ ADE= ∠ DAC$，$\therefore AE=ED$，$\therefore △ ADE$是等腰三角形
【知识点】
等腰三角形判定；等腰三角形性质；平行线的性质
【点评】
本题是等腰三角形相关的基础证明题，解题关键是结合等腰三角形三线合一的性质和平行线的性质推导角的等量关系，是巩固等腰三角形相关知识的典型习题，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8

9. (1) 如图15.3-18，已知：在$△ ABC$中，$AB = AC = 10$，$BD$ 平分$∠ ABC$，$CD$ 平分$∠ ACB$，过点 $D$ 作$EF // BC$，分别交 $AB$，$AC$ 于 $E$，$F$ 两点，则图中共有个等腰三角形；$EF$ 与 $BE$，$CF$ 之间的数量关系是，$△ AEF$ 的周长是。

(2) 如图15.3-19，若将 (1) 中“在$△ ABC$中，$AB = AC = 10$”改为“若$△ ABC$为不等边三角形，$AB = 8$，$AC = 10$”，其余条件不变，则图中共有个等腰三角形。$EF$ 与 $BE$，$CF$ 之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出$△ AEF$ 的周长。

(3) 已知：如图15.3-20，点 $D$ 在$△ ABC$外，$AB＞AC$，且 $BD$ 平分$∠ ABC$，$CD$ 平分$△ ABC$ 的外角$∠ ACG$，过点 $D$ 作 $DE // BC$，分别交 $AB$，$AC$ 于 $E$，$F$ 两点，则 $EF$ 与 $BE$，$CF$ 之间又有何数量关系呢？不需证明，直接写出结论。

9. （1）5 $BE+CF=EF$ 20 （2）2 $BE+CF=EF$。理由：$\because BD$ 平分 $∠ ABC$，$CD$ 平分 $∠ ACB$，$\therefore ∠ EBD=∠ CBD$，$∠ FCD=∠ BCD$。$\because EF // BC$，$\therefore ∠ EDB=∠ CBD$，$∠ FDC=∠ BCD$，$\therefore ∠ EBD=∠ EDB$，$∠ FDC=∠ FCD$，$\therefore BE=DE$，$CF=DF$。$\therefore$ 等腰三角形有$△ BDE$，$△ CFD$，$\therefore BE+CF=DE+DF=EF$，即$BE+CF=EF$。可得$△ AEF$的周长为18 （3）$BE-CF=EF$。提示：由（1）知$BE=ED$。$\because EF // BC$，$\therefore ∠ EDC=∠ DCG=∠ ACD$，$\therefore CF=DF$。又$\because ED-DF=EF$，$\therefore BE-CF=EF$

【分析】
解题时要用到“角平分线+平行线”的经典几何模型，该模型可推导得出等腰三角形，这是本题的核心突破口：①先根据角平分线定义得到一组等角，再结合平行线的内错角相等，等量代换得到同一个三角形中两个内角相等，依据等角对等边即可判定等腰三角形；②推导线段关系时，将EF拆分为DE+DF（或DE-DF），再替换为相等的BE、CF即可得到结论；③求△AEF周长时，利用线段等量代换将周长转化为AB+AC的和，直接代入边长计算即可。第一问原三角形是等腰三角形，衍生的等腰三角形数量更多，后两问是该模型的变式，核心推导思路不变。
【解析】
(1)
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠DBC=∠DCB，△DBC是等腰三角形；
∵EF//BC，
∴∠AEF=∠ABC=∠ACB=∠AFE，△AEF是等腰三角形；又∠EDB=∠CBD=∠EBD，
∴△EBD是等腰三角形，同理△FCD是等腰三角形，共5个等腰三角形。
由上述推导得BE=DE，CF=DF，
∴EF=DE+DF=BE+CF；
△AEF的周长=AE+EF+AF=AE+DE+DF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC=10+10=20。
(2) 若△ABC为不等边三角形，仅△BDE、△CFD为等腰三角形，共2个。
BE+CF=EF，证明如下：
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD。
∵EF//BC，
∴∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，
∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，
∴BE=DE，CF=DF，
∴BE+CF=DE+DF=EF，即BE+CF=EF。
△AEF的周长=AE+EF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC=8+10=18。
(3) 由BD平分∠ABC，DE//BC得BE=ED；由CD平分外角∠ACG，DE//BC得∠EDC=∠DCG=∠ACD，
∴CF=DF；
∵ED-DF=EF，
∴BE-CF=EF。
【答案】
(1) 5；$BE+CF=EF$；20
(2) 2；$BE+CF=EF$；△AEF的周长为18
(3) $BE-CF=EF$
【知识点】
等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题围绕“角平分线+平行线得等腰”的核心模型设置梯度问题，从基础图形到变式图形，既考查基础性质的应用，又训练线段等量代换的解题方法，有助于掌握同类几何题的推导规律。
【难度系数】
0.6