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【例】(2025台州期末)如图，小虎自制了一个小孔成像装置，其中$AB// CD$，纸筒的长度$FH$为12 cm，他准备了一支长为30 cm的蜡烛$AB$，想要得到高度为5 cm的像$CD$，求此时蜡烛与纸筒的距离$EF$的长度.
答案
解:$\because AB// CD,\therefore ∠ BAF=∠ FDC,∠ ABF=∠ FCH$，
$\therefore △ ABF∽ △ DCF$，
$\therefore \frac{EF}{HF}=\frac{AB}{CD},\therefore \frac{EF}{12}=\frac{30}{5},\therefore EF=72\ \mathrm{cm}$，
$\therefore$此时蜡烛与纸筒的距离$EF$的长度为72 cm.
$\therefore △ ABF∽ △ DCF$，
$\therefore \frac{EF}{HF}=\frac{AB}{CD},\therefore \frac{EF}{12}=\frac{30}{5},\therefore EF=72\ \mathrm{cm}$，
$\therefore$此时蜡烛与纸筒的距离$EF$的长度为72 cm.
解析
【分析】
解题时首先结合图形和已知AB//CD的条件，可通过平行线的性质推导对应角相等，证明△ABF与△DCF相似；再根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比，可知蜡烛高度AB与像的高度CD的比，等于蜡烛到小孔的距离EF与像到小孔的距离FH的比，最后代入已知数值列比例式即可求出EF的长度。
【解析】
解：$\because AB// CD$，
$\therefore ∠BAF=∠DCF,∠ABF=∠CDF$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore △ABF∽ △DCF$（两角分别相等的两个三角形相似）。
∵EF是△ABF中AB边上的高，FH是△DCF中CD边上的高，
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{EF}{FH}=\frac{AB}{CD}$，
将$FH=12\ \mathrm{cm}$，$AB=30\ \mathrm{cm}$，$CD=5\ \mathrm{cm}$代入得：
$\frac{EF}{12}=\frac{30}{5}$，
解得$EF=72\ \mathrm{cm}$。
【答案】
72 cm
【知识点】
相似三角形判定，相似三角形性质，相似三角形应用
【点评】
本题以小孔成像的生活场景为背景，考查相似三角形的实际应用，解题核心是将实际问题转化为相似三角形的数学模型，利用相似三角形的性质建立比例式求解，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合图形和已知AB//CD的条件，可通过平行线的性质推导对应角相等，证明△ABF与△DCF相似；再根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比，可知蜡烛高度AB与像的高度CD的比，等于蜡烛到小孔的距离EF与像到小孔的距离FH的比，最后代入已知数值列比例式即可求出EF的长度。
【解析】
解：$\because AB// CD$，
$\therefore ∠BAF=∠DCF,∠ABF=∠CDF$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore △ABF∽ △DCF$（两角分别相等的两个三角形相似）。
∵EF是△ABF中AB边上的高，FH是△DCF中CD边上的高，
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{EF}{FH}=\frac{AB}{CD}$，
将$FH=12\ \mathrm{cm}$，$AB=30\ \mathrm{cm}$，$CD=5\ \mathrm{cm}$代入得：
$\frac{EF}{12}=\frac{30}{5}$，
解得$EF=72\ \mathrm{cm}$。
【答案】
72 cm
【知识点】
相似三角形判定，相似三角形性质，相似三角形应用
【点评】
本题以小孔成像的生活场景为背景，考查相似三角形的实际应用，解题核心是将实际问题转化为相似三角形的数学模型，利用相似三角形的性质建立比例式求解，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.8
【变式1】某数学兴趣小组想用所学的知识测量小河的宽.测量时,他们选择了河对岸的一棵大树,将其底部作为点A,在他们所在的岸边选择了点B,使得AB与河岸垂直,并在B点竖起标杆BC,再在AB的延长线上选择点D,竖起标杆DE,使得点E,C,A三点共线.已知:$CB⊥AD,ED⊥AD$,测得$BC=1\ \mathrm{m},DE=1.5\ \mathrm{m},BD=7\ \mathrm{m}$(测量示意图如图所示).请根据相关测量信息,求河宽AB的长.
答案
解:$\because CB⊥ AD,ED⊥ AD$，
$\therefore CB// ED,\therefore △ ABC∽ △ ADE,\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{CB}{ED}$，
即$\frac{AB}{AB+7}=\frac{1}{1.5},\therefore AB=14\ \mathrm{m}$。
答:河宽AB的长是14 m.
$\therefore CB// ED,\therefore △ ABC∽ △ ADE,\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{CB}{ED}$，
即$\frac{AB}{AB+7}=\frac{1}{1.5},\therefore AB=14\ \mathrm{m}$。
答:河宽AB的长是14 m.
解析
【分析】
解题时先从已知的垂直条件入手：CB和DE都垂直于AD，根据“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”可得CB//ED，由此可推出△ABC与△ADE相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，结合AD=AB+BD的数量关系，将已知边长代入比例式建立关于AB的方程，解方程即可求出河宽AB的长度。
【解析】
解：$\because CB⊥AD,ED⊥AD$，
$\therefore CB// ED$，
$\therefore ∠ ABC=∠ ADE，∠ ACB=∠ AED$，
$\therefore △ ABC∽ △ ADE$，
$\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{CB}{ED}$。
设$AB=x\ \mathrm{m}$，则$AD=AB+BD=(x+7)\ \mathrm{m}$，代入$BC=1\ \mathrm{m},DE=1.5\ \mathrm{m}$得：
$\frac{x}{x+7}=\frac{1}{1.5}$，
解得$x=14$。
答：河宽AB的长是14 m。
【答案】
$14\ \mathrm{m}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形解决实际测量问题的基础题型，核心是将实际场景转化为相似三角形数学模型，解题时需注意找准对应边，避免混淆AD和AB的数量关系。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的垂直条件入手：CB和DE都垂直于AD，根据“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”可得CB//ED，由此可推出△ABC与△ADE相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，结合AD=AB+BD的数量关系，将已知边长代入比例式建立关于AB的方程，解方程即可求出河宽AB的长度。
【解析】
解：$\because CB⊥AD,ED⊥AD$，
$\therefore CB// ED$，
$\therefore ∠ ABC=∠ ADE，∠ ACB=∠ AED$，
$\therefore △ ABC∽ △ ADE$，
$\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{CB}{ED}$。
设$AB=x\ \mathrm{m}$，则$AD=AB+BD=(x+7)\ \mathrm{m}$，代入$BC=1\ \mathrm{m},DE=1.5\ \mathrm{m}$得：
$\frac{x}{x+7}=\frac{1}{1.5}$，
解得$x=14$。
答：河宽AB的长是14 m。
【答案】
$14\ \mathrm{m}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形解决实际测量问题的基础题型，核心是将实际场景转化为相似三角形数学模型，解题时需注意找准对应边，避免混淆AD和AB的数量关系。
【难度系数】
0.8
【变式2】小明到操场测量旗杆AB的高度，他手拿一支铅笔MN，边移动边观察（铅笔MN始终与地面垂直）。当小明移动到点D处时，眼睛C与铅笔顶端M、旗杆的顶端A三点共线，此时测得DB=50 m，小明的眼睛C到铅笔的距离为0.6 m，铅笔MN的长为0.16 m，求旗杆AB的高度。
答案
解:$\because$小明的眼睛C到铅笔的距离为0.6 m，
$\therefore △ CMN$的MN边上的高等于0.6 m。
$\because$铅笔MN始终与地面垂直，$\therefore MN$与AB平行，
$\therefore △ CMN∽ △ CAB,\therefore \frac{0.6}{DB}=\frac{MN}{AB},即\frac{0.6}{50}=\frac{0.16}{AB}$，
$\therefore AB=\frac{40}{3}\ \mathrm{m}$，经检验，符合题意。
答:旗杆AB的高度为$\frac{40}{3}\ \mathrm{m}$.
$\therefore △ CMN$的MN边上的高等于0.6 m。
$\because$铅笔MN始终与地面垂直，$\therefore MN$与AB平行，
$\therefore △ CMN∽ △ CAB,\therefore \frac{0.6}{DB}=\frac{MN}{AB},即\frac{0.6}{50}=\frac{0.16}{AB}$，
$\therefore AB=\frac{40}{3}\ \mathrm{m}$，经检验，符合题意。
答:旗杆AB的高度为$\frac{40}{3}\ \mathrm{m}$.
解析
【分析】
要测量旗杆AB的高度，首先观察图形特征：铅笔MN和旗杆AB都垂直于地面，因此MN//AB，可推导出△CMN与△CAB相似。根据相似三角形的性质，相似三角形对应边上的高的比等于对应边的比，已知眼睛C到铅笔MN的距离为0.6m，C到旗杆AB的水平距离为DB=50m，MN的长度为0.16m，将已知量代入对应比例式即可求出AB的高度。
【解析】
解：$\because$小明的眼睛C到铅笔的距离为0.6 m，
$\therefore △ CMN$的MN边上的高等于0.6 m。
$\because$铅笔MN、旗杆AB都与地面垂直，
$\therefore MN// AB$，
$\therefore △ CMN∽ △ CAB$，
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得$\frac{△CMN中MN边上的高}{△CAB中AB边上的高}=\frac{MN}{AB}$，
其中△CAB中AB边上的高等于DB的长度50m，代入数值得：
$\frac{0.6}{50}=\frac{0.16}{AB}$，
解得$AB=\frac{0.16×50}{0.6}=\frac{40}{3}\ \mathrm{m}$，经检验，符合题意。
【答案】
$\frac{40}{3}\ \mathrm{m}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的应用
【点评】
本题是相似三角形解决实际测量问题的典型题型，解题核心是通过平行线判定相似三角形，找准对应高和对应边的数量关系，列比例式求解即可，解题时需注意对应量不要混淆，单位保持统一。
【难度系数】
0.7
要测量旗杆AB的高度，首先观察图形特征：铅笔MN和旗杆AB都垂直于地面，因此MN//AB，可推导出△CMN与△CAB相似。根据相似三角形的性质，相似三角形对应边上的高的比等于对应边的比，已知眼睛C到铅笔MN的距离为0.6m，C到旗杆AB的水平距离为DB=50m，MN的长度为0.16m，将已知量代入对应比例式即可求出AB的高度。
【解析】
解：$\because$小明的眼睛C到铅笔的距离为0.6 m，
$\therefore △ CMN$的MN边上的高等于0.6 m。
$\because$铅笔MN、旗杆AB都与地面垂直，
$\therefore MN// AB$，
$\therefore △ CMN∽ △ CAB$，
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得$\frac{△CMN中MN边上的高}{△CAB中AB边上的高}=\frac{MN}{AB}$，
其中△CAB中AB边上的高等于DB的长度50m，代入数值得：
$\frac{0.6}{50}=\frac{0.16}{AB}$，
解得$AB=\frac{0.16×50}{0.6}=\frac{40}{3}\ \mathrm{m}$，经检验，符合题意。
【答案】
$\frac{40}{3}\ \mathrm{m}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的应用
【点评】
本题是相似三角形解决实际测量问题的典型题型，解题核心是通过平行线判定相似三角形，找准对应高和对应边的数量关系，列比例式求解即可，解题时需注意对应量不要混淆，单位保持统一。
【难度系数】
0.7
