5.如图,在正方形ABCD中,M是边AB的中点,E是边AD上的一点,且EM⊥CM.
求证:
(1)$△ AEM ∽ △ BMC$;
(2)$\frac{EM}{CM}=\frac{1}{2}$;
(3)CM平分∠BCE.

5. 证明:(1)$\because$ 四边形ABCD是正方形,
$\therefore ∠A=∠B=90°.\therefore ∠BMC+∠BCM=90°$.
$\because EM⊥CM,\therefore ∠EMC=90°$.
$\therefore ∠BMC+∠AME=90°.\therefore ∠AME=∠BCM$.
又$\because ∠A=∠B,\therefore △AEM∽△BMC$.
(2)$\because △AEM∽△BMC,\therefore \frac{EM}{CM}=\frac{AM}{BC}$.
$\because M$是边AB的中点,$\therefore AM=BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}BC$.
$\therefore \frac{EM}{CM}=\frac{AM}{BC}=\frac{1}{2}$.
(3) 由(2)知$\frac{EM}{CM}=\frac{1}{2}$.
$\because BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}BC,\therefore \frac{BM}{BC}=\frac{1}{2}$,
$\therefore \frac{BM}{BC}=\frac{EM}{CM},即\frac{BM}{EM}=\frac{BC}{CM}$.
又$\because ∠B=∠EMC=90°,\therefore △BMC∽△MEC$,
$\therefore ∠BCM=∠MCE,即CM$平分$∠BCE$.

【分析】
(1)要证明△AEM∽△BMC，首先由正方形的性质可得∠A=∠B=90°，再结合EM⊥CM的条件，利用同角的余角相等推出一组对应角相等，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”完成证明；
(2)要证$\frac{EM}{CM}=\frac{1}{2}$，可利用(1)中相似三角形的对应边成比例得到$\frac{EM}{CM}=\frac{AM}{BC}$，再结合M是AB中点的条件，将AM与BC的数量关系代入即可得证；
(3)要证明CM平分∠BCE，即证∠BCM=∠ECM，可通过证明△BMC∽△MEC得到对应角相等：结合(2)的结论推导两组对应边成比例，再加∠B=∠EMC=90°的条件，即可证明两三角形相似，进而得到角相等的结论。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠A=∠B=90°，
∴ ∠BMC+∠BCM=90°。
∵ EM⊥CM，
∴ ∠EMC=90°，
∴ ∠BMC+∠AME=90°，
∴ ∠AME=∠BCM。
又
∵ ∠A=∠B，
∴ △AEM∽△BMC。
(2)
∵ △AEM∽△BMC，
∴ $\frac{EM}{CM}=\frac{AM}{BC}$。
∵ M是边AB的中点，
∴ AM=BM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$BC，
∴ $\frac{EM}{CM}=\frac{AM}{BC}=\frac{1}{2}$。
(3)由(2)知$\frac{EM}{CM}=\frac{1}{2}$，
∵ BM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$BC，
∴ $\frac{BM}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴ $\frac{BM}{BC}=\frac{EM}{CM}$，即$\frac{BM}{EM}=\frac{BC}{CM}$。
又
∵ ∠B=∠EMC=90°，
∴ △BMC∽△MEC，
∴ ∠BCM=∠MCE，即CM平分∠BCE。
【答案】
(1)已证△AEM∽△BMC；
(2)已证$\frac{EM}{CM}=\frac{1}{2}$；
(3)已证CM平分∠BCE。
【知识点】
正方形的性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题各小问层层递进，解题的核心是灵活利用直角的性质推导角的等量关系，结合边的比例关系证明三角形相似，再利用相似的性质得到边、角的对应结论，能很好地锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

三、以函数为背景的综合应用
6. (2025株洲期中)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴的负半轴上，将正方形ABCD沿着x轴向右平移5个单位长度，得到正方形A'B'C'D'，且点A'与原点O重合，直线AC'交y轴于点E(0,2)。
(1)求直线AC'的函数表达式；
(2)求点C的坐标。

6. 解:(1)由平移可知,$A(-5,0)$,
设直线$AC'$的函数表达式为$y=kx+b$,则$\begin{cases}-5k+b=0,\\b=2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\frac{2}{5},\\b=2,\end{cases}$
$\therefore$ 直线$AC'$的函数表达式为$y=\frac{2}{5}x+2$.
(2)$\because OE// B'C',\therefore △AEO∽△AC'B',\therefore \frac{AO}{AB'}=\frac{OE}{B'C'}$.
设正方形边长为$a$,则$B'C'=BC=a,AB'=AO+OB'=5+a$,
$\therefore \frac{5}{5+a}=\frac{2}{a},解得a=\frac{10}{3}$,
$\therefore BO=AO-AB=5-\frac{10}{3}=\frac{5}{3},B'C'=BC=\frac{10}{3}$,
$\therefore$ 点C的坐标为$(-\frac{5}{3},\frac{10}{3})$.

【分析】
(1) 求一次函数表达式通常用待定系数法，需要找到直线上两个已知点的坐标：根据平移性质，正方形向右平移5个单位后A'与原点重合，可推出点A坐标为$(-5,0)$，又已知直线$AC'$与y轴交于$E(0,2)$，将两点坐标代入一次函数一般式解方程组即可求出解析式。
(2) 求点C坐标需先求正方形边长：观察图形可得$OE// B'C'$，可证$△ AEO ∽ △ AC'B'$，利用相似三角形对应边成比例的性质，设正方形边长为$a$列方程求解，再结合点A的坐标即可推出点C的坐标。
【解析】
(1) 由平移的性质可知，正方形向右平移5个单位后$A'$与原点重合，因此点A的坐标为$(-5,0)$。
设直线$AC'$的函数表达式为$y=kx+b$，将$A(-5,0)$、$E(0,2)$代入得：
$\begin{cases}-5k + b = 0 \\ b = 2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\frac{2}{5} \\ b=2\end{cases}$
因此直线$AC'$的函数表达式为$y=\frac{2}{5}x + 2$。
(2) 由题意得$OE⊥ x$轴，$B'C'⊥ x$轴，故$OE// B'C'$，则$△ AEO ∽ △ AC'B'$，根据相似三角形性质有$\frac{AO}{AB'} = \frac{OE}{B'C'}$。
设正方形边长为$a$，则$B'C'=a$，$AB'=AO+OB'=5+a$，代入比例式得：
$\frac{5}{5+a}=\frac{2}{a}$
交叉相乘得$5a=2(5+a)$，解得$a=\frac{10}{3}$。
点B的横坐标为$-(5-\frac{10}{3})=-\frac{5}{3}$，点C纵坐标等于正方形边长$\frac{10}{3}$，因此点C坐标为$(-\frac{5}{3},\frac{10}{3})$。
【答案】
(1) $y=\frac{2}{5}x + 2$
(2) $(-\frac{5}{3},\frac{10}{3})$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，平移的性质
【点评】
本题是一次函数与几何的综合基础题，融合了平移、正方形、相似三角形的核心知识点，解题逻辑清晰，侧重考查基础知识点的综合应用能力，掌握相似三角形的性质是解决第二问的关键。
【难度系数】
0.7

7. 如图,在平面直角坐标系中,直线 $y=x+3$ 与 $x$ 轴交于点 $B$,与直线 $CD$ 交于点 $A(-\dfrac{12}{11},a)$,点 $D$ 的坐标为 $(0,\dfrac{3}{2})$,点 $C$ 在 $x$ 轴上.
(1)求 $a$ 的值;
(2)求直线 $CD$ 的函数表达式;
(3)若 $E$ 是直线 $CD$ 上一动点(不与点 $C$ 重合),当 $△ CBE ∽ △ COD$ 时,求点 $E$ 的坐标.

7. 解:(1)$\because$ 点$A(-\frac{12}{11},a)$在直线$y=x+3$上,
$\therefore a=-\frac{12}{11}+3=\frac{21}{11}$.
(2)$\because D(0,\frac{3}{2})$,
$\therefore$ 设直线$CD$的函数表达式为$y=kx+\frac{3}{2}(k≠0)$.
由(1)知$a=\frac{21}{11},\therefore A(-\frac{12}{11},\frac{21}{11})$.
$\because$ 点A在直线CD上,
$\therefore -\frac{12}{11}k+\frac{3}{2}=\frac{21}{11},\therefore k=-\frac{3}{8}$,
$\therefore$ 直线$CD$的函数表达式为$y=-\frac{3}{8}x+\frac{3}{2}$.
(3)$\because$ 点B是直线$y=x+3$与x轴的交点,
$\therefore B(-3,0)$.
$\because △CBE∽△COD,\therefore ∠CBE=∠COD=90°$,
$\therefore$ 点E的横坐标为$-3$.
在$y=-\frac{3}{8}x+\frac{3}{2}$中,令$x=-3$,则$y=\frac{21}{8}$,
$\therefore$ 点E的坐标为$(-3,\frac{21}{8})$.

【分析】
(1) 求a的值时，已知点A在直线$y=x+3$上，直接将点A的横坐标代入该直线解析式计算即可；
(2) 求直线CD的函数表达式时，已知D点是直线CD与y轴的交点，可先设出含参数k的一次函数解析式，再把第一问求出的A点坐标代入解析式，解出k即可得到直线CD的表达式；
(3) 先求出直线$y=x+3$与x轴交点B的坐标，再根据相似三角形对应角相等的性质，结合$△ COD$是直角三角形的特征，确定$△ CBE$的直角顶点为B，即可得到点E的横坐标和B点相同，最后代入直线CD解析式求出E点纵坐标即可。
【解析】
(1) $\because$ 点$A(-\frac{12}{11},a)$在直线$y=x+3$上，
$\therefore$ 将$x=-\frac{12}{11}$代入$y=x+3$，得$a=-\frac{12}{11}+3=\frac{21}{11}$。
(2) $\because$ 点$D(0,\frac{3}{2})$在直线CD上，
$\therefore$ 设直线CD的函数表达式为$y=kx+\frac{3}{2}(k≠0)$。
由(1)知$a=\frac{21}{11}$，即$A(-\frac{12}{11},\frac{21}{11})$，
将点A代入直线CD解析式，得$-\frac{12}{11}k+\frac{3}{2}=\frac{21}{11}$，
解得$k=-\frac{3}{8}$，
$\therefore$ 直线CD的函数表达式为$y=-\frac{3}{8}x+\frac{3}{2}$。
(3) 对于直线$y=x+3$，令$y=0$，解得$x=-3$，即$B(-3,0)$。
$\because △ CBE ∽ △ COD$，$△ COD$中$∠COD=90°$，
$\therefore$ 由相似三角形对应角相等得$∠CBE=∠COD=90°$，即$BE⊥x$轴，
$\therefore$ 点E的横坐标为$-3$，
将$x=-3$代入$y=-\frac{3}{8}x+\frac{3}{2}$，得$y=-\frac{3}{8}×(-3)+\frac{3}{2}=\frac{21}{8}$，
$\therefore$ 点E的坐标为$(-3,\frac{21}{8})$。
【答案】
(1) $a=\frac{21}{11}$；
(2) $y=-\frac{3}{8}x+\frac{3}{2}$；
(3) $E(-3,\frac{21}{8})$
【知识点】
一次函数解析式求解，相似三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数与几何结合的常规综合题，考查了基础的一次函数相关计算，也考查了相似三角形性质的应用，解题核心是根据相似的对应关系快速确定点E的位置，属于代数几何结合的典型考法。
【难度系数】
0.7