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问题1 圆锥的侧面展开图是什么图形？如何计算其面积？
问题2 如何计算圆锥的全面积？
问题1 圆锥的侧面展开图是什么图形？如何计算其面积？
问题2 如何计算圆锥的全面积？
答案
解：
问题1：圆锥的侧面展开图是扇形。
设圆锥的母线长为$l$，底面圆的半径为$r$，该扇形的半径等于圆锥的母线长$l$，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长$2π r$，因此圆锥侧面积计算公式为：
$S_{\mathrm{侧}}=π r l$
问题2：圆锥的全面积是圆锥的侧面积与底面圆的面积之和，计算公式为：
$S_{\mathrm{全}}=S_{\mathrm{侧}}+S_{\mathrm{底}}=π r l + π r^2 = π r(l + r)$
问题1：圆锥的侧面展开图是扇形。
设圆锥的母线长为$l$，底面圆的半径为$r$，该扇形的半径等于圆锥的母线长$l$，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长$2π r$，因此圆锥侧面积计算公式为：
$S_{\mathrm{侧}}=π r l$
问题2：圆锥的全面积是圆锥的侧面积与底面圆的面积之和，计算公式为：
$S_{\mathrm{全}}=S_{\mathrm{侧}}+S_{\mathrm{底}}=π r l + π r^2 = π r(l + r)$
解析
【分析】
解决本题需结合圆锥的结构特征梳理展开图与原圆锥的参数对应关系，进而推导面积公式。针对问题1，先明确圆锥侧面沿母线剪开后的展开形状，再将扇形的半径、弧长分别对应圆锥的母线长、底面周长，代入扇形面积公式即可推导出侧面积公式；针对问题2，圆锥包含侧面和底面两个面，全面积为两个面的面积之和，将侧面积与底面积相加即可得到全面积公式。
【解析】
问题1：圆锥的侧面展开图是扇形。
设圆锥的母线长为$l$，底面圆的半径为$r$，展开后扇形的半径等于圆锥的母线长$l$，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长$2π r$，根据扇形面积公式$S=\frac{1}{2}×\mathrm{弧长}×\mathrm{半径}$，代入可得：
$S_{\mathrm{侧}}=\frac{1}{2}×2π r× l=π r l$
问题2：圆锥的全面积是侧面积与底面圆面积的和，底面圆面积$S_{\mathrm{底}}=π r^2$，因此：
$S_{\mathrm{全}}=S_{\mathrm{侧}}+S_{\mathrm{底}}=π r l+π r^2=π r(l+r)$
【答案】
问题1：圆锥的侧面展开图是扇形，侧面积计算公式为$S_{\mathrm{侧}}=π r l$（$r$为底面圆半径，$l$为母线长）；
问题2：圆锥的全面积为侧面积与底面圆面积之和，计算公式为$S_{\mathrm{全}}=π r(l + r)$（$r$为底面圆半径，$l$为母线长）。
【知识点】
圆锥侧面展开特征、圆锥侧面积计算、圆锥全面积计算
【点评】
本题是圆锥面积相关的基础概念题，掌握侧面展开图和原圆锥的参数对应关系是解题核心，是后续解决圆锥实际应用类面积问题的基础。
【难度系数】
0.9
解决本题需结合圆锥的结构特征梳理展开图与原圆锥的参数对应关系，进而推导面积公式。针对问题1，先明确圆锥侧面沿母线剪开后的展开形状，再将扇形的半径、弧长分别对应圆锥的母线长、底面周长，代入扇形面积公式即可推导出侧面积公式；针对问题2，圆锥包含侧面和底面两个面，全面积为两个面的面积之和，将侧面积与底面积相加即可得到全面积公式。
【解析】
问题1：圆锥的侧面展开图是扇形。
设圆锥的母线长为$l$，底面圆的半径为$r$，展开后扇形的半径等于圆锥的母线长$l$，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长$2π r$，根据扇形面积公式$S=\frac{1}{2}×\mathrm{弧长}×\mathrm{半径}$，代入可得：
$S_{\mathrm{侧}}=\frac{1}{2}×2π r× l=π r l$
问题2：圆锥的全面积是侧面积与底面圆面积的和，底面圆面积$S_{\mathrm{底}}=π r^2$，因此：
$S_{\mathrm{全}}=S_{\mathrm{侧}}+S_{\mathrm{底}}=π r l+π r^2=π r(l+r)$
【答案】
问题1：圆锥的侧面展开图是扇形，侧面积计算公式为$S_{\mathrm{侧}}=π r l$（$r$为底面圆半径，$l$为母线长）；
问题2：圆锥的全面积为侧面积与底面圆面积之和，计算公式为$S_{\mathrm{全}}=π r(l + r)$（$r$为底面圆半径，$l$为母线长）。
【知识点】
圆锥侧面展开特征、圆锥侧面积计算、圆锥全面积计算
【点评】
本题是圆锥面积相关的基础概念题，掌握侧面展开图和原圆锥的参数对应关系是解题核心，是后续解决圆锥实际应用类面积问题的基础。
【难度系数】
0.9
【典型例题1】沿一条母线将圆锥的侧面剪开并展平，得到的扇形的半径为6，圆心角为$120°$.
(1)求圆锥的侧面积.
(2)求圆锥的全面积.
思路导引 (1)求圆锥的侧面积就是求扇形的面积.(2)要求圆锥的全面积，不仅要知道侧面展开扇形的面积，还需求出圆锥的底面圆的面积，这就需要求出底面圆的半径，而扇形的弧长是圆锥底面圆的周长，所以可以先求出扇形的弧长，进而求解.
【解】(1)圆锥的侧面积是$\frac{120π × 6^2}{360}=12π$.
(2)扇形的弧长是$\frac{120π × 6}{180}=4π$,
$\therefore$圆锥的底面圆的半径是$\frac{4π}{2π}=2$.
$\therefore$圆锥的全面积是$12π + π × 2^2=16π$.
规律方法 沿一条母线将圆锥的侧面剪开并展平，得到的圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，这个扇形的面积等于圆锥的侧面积，侧面积和底面积的和就是圆锥的全面积.
(1)求圆锥的侧面积.
(2)求圆锥的全面积.
思路导引 (1)求圆锥的侧面积就是求扇形的面积.(2)要求圆锥的全面积，不仅要知道侧面展开扇形的面积，还需求出圆锥的底面圆的面积，这就需要求出底面圆的半径，而扇形的弧长是圆锥底面圆的周长，所以可以先求出扇形的弧长，进而求解.
【解】(1)圆锥的侧面积是$\frac{120π × 6^2}{360}=12π$.
(2)扇形的弧长是$\frac{120π × 6}{180}=4π$,
$\therefore$圆锥的底面圆的半径是$\frac{4π}{2π}=2$.
$\therefore$圆锥的全面积是$12π + π × 2^2=16π$.
规律方法 沿一条母线将圆锥的侧面剪开并展平，得到的圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，这个扇形的面积等于圆锥的侧面积，侧面积和底面积的和就是圆锥的全面积.
答案
解：
(1) 由题意可知，圆锥侧面展开得到的扇形半径为6，圆心角为$120°$，圆锥的侧面积即为该扇形的面积：
$S_{侧}=\frac{120π × 6^2}{360}=12π$。
(2) 侧面展开扇形的弧长为：
$l=\frac{120π × 6}{180}=4π$，
该弧长等于圆锥底面圆的周长，设圆锥底面圆半径为$r$，
则$2π r=4π$，解得$r=2$。
圆锥的底面圆面积为$S_{底}=π r^2=π × 2^2=4π$，
因此圆锥的全面积为：
$S_{全}=S_{侧}+S_{底}=12π +4π=16π$。
(1) 由题意可知，圆锥侧面展开得到的扇形半径为6，圆心角为$120°$，圆锥的侧面积即为该扇形的面积：
$S_{侧}=\frac{120π × 6^2}{360}=12π$。
(2) 侧面展开扇形的弧长为：
$l=\frac{120π × 6}{180}=4π$，
该弧长等于圆锥底面圆的周长，设圆锥底面圆半径为$r$，
则$2π r=4π$，解得$r=2$。
圆锥的底面圆面积为$S_{底}=π r^2=π × 2^2=4π$，
因此圆锥的全面积为：
$S_{全}=S_{侧}+S_{底}=12π +4π=16π$。
解析
【分析】
(1) 圆锥的侧面积等于其侧面展开后扇形的面积，已知扇形的半径（即圆锥母线长）为6，圆心角为120°，直接代入扇形面积公式即可求解。
(2) 圆锥的全面积为侧面积加底面积，侧面积已求出，只需算出底面圆的面积即可；而侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，因此先通过弧长公式算出扇形弧长，再利用圆的周长公式求出底面圆半径，进而算出底面积，最后和侧面积相加得到全面积。
【解析】
(1) 由题意可知，圆锥侧面展开得到的扇形半径为6，圆心角为$120°$，圆锥的侧面积即为该扇形的面积，根据扇形面积公式$S=\frac{nπ R^2}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径）：
$S_{侧}=\frac{120π × 6^2}{360}=12π$。
(2) 先根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$计算侧面展开扇形的弧长：
$l=\frac{120π × 6}{180}=4π$，
该弧长等于圆锥底面圆的周长，设圆锥底面圆半径为$r$，根据圆的周长公式$C=2π r$可得：
$2π r=4π$，解得$r=2$。
圆锥的底面圆面积为$S_{底}=π r^2=π × 2^2=4π$，
因此圆锥的全面积为侧面积与底面积之和：
$S_{全}=S_{侧}+S_{底}=12π +4π=16π$。
【答案】
(1) $12π$；(2) $16π$
【知识点】
圆锥侧面展开图性质；扇形弧长与面积公式；圆锥全面积计算
【点评】
本题考查圆锥与展开扇形的对应关系及相关公式的应用，解题核心是掌握“展开扇形的弧长等于圆锥底面周长、扇形半径等于圆锥母线长”这两个核心对应关系，熟记公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
(1) 圆锥的侧面积等于其侧面展开后扇形的面积，已知扇形的半径（即圆锥母线长）为6，圆心角为120°，直接代入扇形面积公式即可求解。
(2) 圆锥的全面积为侧面积加底面积，侧面积已求出，只需算出底面圆的面积即可；而侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，因此先通过弧长公式算出扇形弧长，再利用圆的周长公式求出底面圆半径，进而算出底面积，最后和侧面积相加得到全面积。
【解析】
(1) 由题意可知，圆锥侧面展开得到的扇形半径为6，圆心角为$120°$，圆锥的侧面积即为该扇形的面积，根据扇形面积公式$S=\frac{nπ R^2}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径）：
$S_{侧}=\frac{120π × 6^2}{360}=12π$。
(2) 先根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$计算侧面展开扇形的弧长：
$l=\frac{120π × 6}{180}=4π$，
该弧长等于圆锥底面圆的周长，设圆锥底面圆半径为$r$，根据圆的周长公式$C=2π r$可得：
$2π r=4π$，解得$r=2$。
圆锥的底面圆面积为$S_{底}=π r^2=π × 2^2=4π$，
因此圆锥的全面积为侧面积与底面积之和：
$S_{全}=S_{侧}+S_{底}=12π +4π=16π$。
【答案】
(1) $12π$；(2) $16π$
【知识点】
圆锥侧面展开图性质；扇形弧长与面积公式；圆锥全面积计算
【点评】
本题考查圆锥与展开扇形的对应关系及相关公式的应用，解题核心是掌握“展开扇形的弧长等于圆锥底面周长、扇形半径等于圆锥母线长”这两个核心对应关系，熟记公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
1.若圆锥的底面圆的半径为3，母线长为4，
则圆锥的侧面积为 （
A.$6π$
B.$12π$
C.$15π$
D.$24π$
则圆锥的侧面积为 （
B
）A.$6π$
B.$12π$
C.$15π$
D.$24π$
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需回忆圆锥侧面积的计算公式，圆锥侧面积和底面圆半径、母线长直接相关。首先从题干提取已知量：底面圆半径r=3，母线长l=4，将已知量直接代入对应公式计算就能得到结果。
【解析】
圆锥的侧面积计算公式为：$S_{\mathrm{侧}}=π r l$，其中$r$为底面圆半径，$l$为圆锥的母线长。
已知$r=3$，$l=4$，代入公式可得：
$S_{\mathrm{侧}}=π×3×4=12π$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面积计算公式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查圆锥侧面积公式的直接应用，熟记公式即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需回忆圆锥侧面积的计算公式，圆锥侧面积和底面圆半径、母线长直接相关。首先从题干提取已知量：底面圆半径r=3，母线长l=4，将已知量直接代入对应公式计算就能得到结果。
【解析】
圆锥的侧面积计算公式为：$S_{\mathrm{侧}}=π r l$，其中$r$为底面圆半径，$l$为圆锥的母线长。
已知$r=3$，$l=4$，代入公式可得：
$S_{\mathrm{侧}}=π×3×4=12π$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面积计算公式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查圆锥侧面积公式的直接应用，熟记公式即可快速解题。
【难度系数】
0.9
