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7. 如图，在$△ ABC$中，$AC=BC$，以$AB$为直径作$\odot O$，与$AC$相交于点$D$。连接$OC$，与$\odot O$相交于点$E$。若$D$为$AC$的中点，且$AC=6$，求$\overset{\frown}{DE}$的长。
答案
7.【解】如图,连接OD.
∵AB是$\odot O$的直径，
∴OA=OB.
又AC=BC，
∴OC⊥AB.
∴∠AOC=90°.
又D为AC的中点，
∴OD=AD=$\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$.
∴OA=OD=AD=3.
∴△ADO为等边三角形.
∴∠AOD=60°.
∴∠DOE=90°−60°=30°.
∴$\overset{\frown}{DE}$的长为$\frac{30π×3}{180}=\frac{π}{2}$.
解析
【分析】
要求$\overset{\frown}{DE}$的长，需使用弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，因此要先求出$\overset{\frown}{DE}$所对的圆心角的度数和$\odot O$的半径。首先作辅助线连接OD，先利用等腰三角形“三线合一”的性质得到$OC⊥ AB$，推出$∠ AOC=90°$；再结合D是AC中点的条件，推导出$△ ADO$为等边三角形，得到$∠ AOD=60°$，进而求出$∠ DOE$的度数；最后确定$\odot O$的半径，代入弧长公式计算即可得到结果。
【解析】
如图，连接OD.
∵AB是$\odot O$的直径，
∴OA=OB.
又
∵AC=BC，
∴OC⊥AB（等腰三角形三线合一），
∴$∠ AOC=90°$.
∵D为AC的中点，
∴OD=AD=$\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$.
又
∵OA、OD都是$\odot O$的半径，
∴OA=OD=3，即OA=OD=AD=3，
∴$△ ADO$为等边三角形，
∴$∠ AOD=60°$，
∴$∠ DOE=∠ AOC-∠ AOD=90°-60°=30°$.
将圆心角度数、半径代入弧长公式，得$\overset{\frown}{DE}$的长为$\frac{30π×3}{180}=\frac{π}{2}$.
【答案】
如图,连接OD.
$\overset{\frown}{DE}$的长为$\boldsymbol{\frac{π}{2}}$
【知识点】
弧长计算公式；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础计算类题目，解题核心是明确弧长计算的两个必要条件，通过作辅助线将已知条件和待求量关联起来，需要学生熟练掌握特殊三角形的性质以及弧长公式，能够锻炼几何综合分析能力。
【难度系数】
0.7
要求$\overset{\frown}{DE}$的长，需使用弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，因此要先求出$\overset{\frown}{DE}$所对的圆心角的度数和$\odot O$的半径。首先作辅助线连接OD，先利用等腰三角形“三线合一”的性质得到$OC⊥ AB$，推出$∠ AOC=90°$；再结合D是AC中点的条件，推导出$△ ADO$为等边三角形，得到$∠ AOD=60°$，进而求出$∠ DOE$的度数；最后确定$\odot O$的半径，代入弧长公式计算即可得到结果。
【解析】
如图，连接OD.
∵AB是$\odot O$的直径，
∴OA=OB.
又
∵AC=BC，
∴OC⊥AB（等腰三角形三线合一），
∴$∠ AOC=90°$.
∵D为AC的中点，
∴OD=AD=$\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$.
又
∵OA、OD都是$\odot O$的半径，
∴OA=OD=3，即OA=OD=AD=3，
∴$△ ADO$为等边三角形，
∴$∠ AOD=60°$，
∴$∠ DOE=∠ AOC-∠ AOD=90°-60°=30°$.
将圆心角度数、半径代入弧长公式，得$\overset{\frown}{DE}$的长为$\frac{30π×3}{180}=\frac{π}{2}$.
【答案】
如图,连接OD.
$\overset{\frown}{DE}$的长为$\boldsymbol{\frac{π}{2}}$
【知识点】
弧长计算公式；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础计算类题目，解题核心是明确弧长计算的两个必要条件，通过作辅助线将已知条件和待求量关联起来，需要学生熟练掌握特殊三角形的性质以及弧长公式，能够锻炼几何综合分析能力。
【难度系数】
0.7
8. 如图,将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG,点B的对应点E落在边CD上,且$DE=EF$.若$AD=1$,则弧CF的长为（
A.$\frac{\sqrt{3}π}{6}$
B.$\frac{\sqrt{3}π}{4}$
C.$\frac{3π}{4}$
D.$\frac{π}{2}$
B
）A.$\frac{\sqrt{3}π}{6}$
B.$\frac{\sqrt{3}π}{4}$
C.$\frac{3π}{4}$
D.$\frac{π}{2}$
答案
8.B
解析
【分析】
解题时先回忆旋转的性质、矩形的性质和弧长计算公式：首先利用矩形对边相等、旋转前后对应边相等，推导得到DE与AD的长度关系，判断△ADE的形状，求出AE长度和∠DAE的度数，进而得到旋转角的度数；再求出矩形对角线AC的长度，即弧CF所在圆的半径；最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，AD=1，
∴BC=AD=1，∠D=∠DAB=90°，
∵矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG，
∴EF=BC=1，AE=AB，旋转角∠BAE=∠CAF，
又
∵DE=EF，
∴DE=AD=1，
在Rt△ADE中，AD=DE=1，∠D=90°，
∴∠DAE=45°，$AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
∴AB=AE=$\sqrt{2}$，$∠ BAE=90°-∠ DAE=90°-45°=45°$，即旋转角为45°，
∴∠CAF=∠BAE=45°，
在Rt△ABC中，$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}=\sqrt{3}$，即弧CF所在圆的半径为$\sqrt{3}$，
根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，代入n=45，R=$\sqrt{3}$得：
弧CF的长$=\frac{45×π×\sqrt{3}}{180}=\frac{\sqrt{3}π}{4}$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，矩形的性质，弧长计算
【点评】
本题属于几何综合基础题，需要结合图形性质找到弧对应的圆心角和半径，再代入公式计算，解题核心是准确推导旋转角的度数。
【难度系数】
0.6
解题时先回忆旋转的性质、矩形的性质和弧长计算公式：首先利用矩形对边相等、旋转前后对应边相等，推导得到DE与AD的长度关系，判断△ADE的形状，求出AE长度和∠DAE的度数，进而得到旋转角的度数；再求出矩形对角线AC的长度，即弧CF所在圆的半径；最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，AD=1，
∴BC=AD=1，∠D=∠DAB=90°，
∵矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG，
∴EF=BC=1，AE=AB，旋转角∠BAE=∠CAF，
又
∵DE=EF，
∴DE=AD=1，
在Rt△ADE中，AD=DE=1，∠D=90°，
∴∠DAE=45°，$AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
∴AB=AE=$\sqrt{2}$，$∠ BAE=90°-∠ DAE=90°-45°=45°$，即旋转角为45°，
∴∠CAF=∠BAE=45°，
在Rt△ABC中，$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}=\sqrt{3}$，即弧CF所在圆的半径为$\sqrt{3}$，
根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，代入n=45，R=$\sqrt{3}$得：
弧CF的长$=\frac{45×π×\sqrt{3}}{180}=\frac{\sqrt{3}π}{4}$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，矩形的性质，弧长计算
【点评】
本题属于几何综合基础题，需要结合图形性质找到弧对应的圆心角和半径，再代入公式计算，解题核心是准确推导旋转角的度数。
【难度系数】
0.6
9. 如图，$\odot O$的半径为1，A，B，C是$\odot O$上的三个点.若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为
（第9题图）
（第10题图）
$\frac{π}{6}$
.（第9题图）
（第10题图）
答案
9.$\frac{π}{6}$
解析
【分析】
解题时先结合圆的半径相等和平行四边形的性质，判断四边形OABC的形状：①因为OA、OC都是⊙O的半径，故OA=OC，结合平行四边形对边相等的性质，可推出OABC是菱形，进而得到△OAB为等边三角形，求出∠AOB=60°；②再观察阴影部分的构成，利用平行四边形对边平行的性质，可得△ABC和△OAB同底等高、面积相等，因此可将不规则的阴影面积转化为规则的扇形OAB的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵四边形OABC是平行四边形，且OA、OC均为⊙O的半径，
∴OA=OC=AB=BC=1，
又
∵OB是⊙O的半径，
∴OA=AB=OB=1，即△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°。
∵平行四边形OABC中OC//AB，
∴点C和点O到AB的距离相等，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}$。
则阴影部分面积：
$S_{阴影}=S_{弓形AB}+S_{△ ABC}=S_{弓形AB}+S_{△ OAB}=S_{扇形OAB}$
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（其中n为圆心角度数，r为半径），代入n=60，r=1：
$S_{扇形OAB}=\frac{60π×1^2}{360}=\frac{π}{6}$
【答案】
$\frac{π}{6}$
【知识点】
平行四边形的性质；等边三角形的判定；扇形面积计算
【点评】
本题核心是利用等积转化法求解不规则图形的面积，解题的关键是找到面积相等的三角形，将阴影部分面积转化为熟悉的扇形面积计算，较好地考查了转化思想的运用。
【难度系数】
0.6
解题时先结合圆的半径相等和平行四边形的性质，判断四边形OABC的形状：①因为OA、OC都是⊙O的半径，故OA=OC，结合平行四边形对边相等的性质，可推出OABC是菱形，进而得到△OAB为等边三角形，求出∠AOB=60°；②再观察阴影部分的构成，利用平行四边形对边平行的性质，可得△ABC和△OAB同底等高、面积相等，因此可将不规则的阴影面积转化为规则的扇形OAB的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵四边形OABC是平行四边形，且OA、OC均为⊙O的半径，
∴OA=OC=AB=BC=1，
又
∵OB是⊙O的半径，
∴OA=AB=OB=1，即△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°。
∵平行四边形OABC中OC//AB，
∴点C和点O到AB的距离相等，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}$。
则阴影部分面积：
$S_{阴影}=S_{弓形AB}+S_{△ ABC}=S_{弓形AB}+S_{△ OAB}=S_{扇形OAB}$
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（其中n为圆心角度数，r为半径），代入n=60，r=1：
$S_{扇形OAB}=\frac{60π×1^2}{360}=\frac{π}{6}$
【答案】
$\frac{π}{6}$
【知识点】
平行四边形的性质；等边三角形的判定；扇形面积计算
【点评】
本题核心是利用等积转化法求解不规则图形的面积，解题的关键是找到面积相等的三角形，将阴影部分面积转化为熟悉的扇形面积计算，较好地考查了转化思想的运用。
【难度系数】
0.6
10.如图,将扇形OAB沿OB方向平移,使点O移到OB的中点O'处,得到扇形O'A'B'.若∠O=90°,OA=2,则阴影部分的面积为
$\frac{π}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$
.答案
10.$\frac{π}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$
解析
【分析】
本题可利用平移的性质和割补法求解阴影面积：①平移前后图形的面积不变，因此扇形OAB和扇形O'A'B'面积相等，阴影面积可转化为扇形O'A'B'的面积减去两扇形重叠区域外的空白部分面积；②作辅助线连接弧AB与O'A'的交点和点O，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出圆心角的度数和直角边长度；③分别计算相关扇形、三角形的面积，通过面积和差即可求出阴影部分面积。
【解析】
由平移的性质得：$S_{扇形OAB}=S_{扇形O'A'B'}$，$OA=O'A'=OB=O'B'=2$，$∠ O'=∠ O=90°$。
∵$O'$是$OB$的中点，
∴$OO'=\frac{1}{2}OB=1$。
设弧$AB$与$O'A'$交于点$C$，连接$OC$，则$OC=OA=2$。
在$Rt△ OO'C$中，$OC=2$，$OO'=1$，
∴$\cos∠ COO'=\frac{OO'}{OC}=\frac{1}{2}$，即$∠ COO'=60°$，
由勾股定理得$O'C=\sqrt{OC^2-OO'^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
计算各规则图形面积：
$S_{扇形O'A'B'}=\frac{90°}{360°}×π×2^2=π$，
$S_{扇形OCB}=\frac{60°}{360°}×π×2^2=\frac{2π}{3}$，
$S_{△ OO'C}=\frac{1}{2}× OO'× O'C=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
空白部分面积为$S_{扇形OCB}-S_{△ OO'C}=\frac{2π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$，
因此阴影部分面积：
$S_{阴影}=S_{扇形O'A'B'}-(\frac{2π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2})=π-\frac{2π}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{π}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{π}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
平移的性质，扇形面积计算，解直角三角形
【点评】
本题属于不规则图形面积计算问题，解题的核心是利用割补法将阴影面积转化为规则图形面积的和差，通过作辅助线构造直角三角形求出对应圆心角是解题的关键，能很好地考查图形转化思维和基本公式的应用能力。
【难度系数】
0.6
本题可利用平移的性质和割补法求解阴影面积：①平移前后图形的面积不变，因此扇形OAB和扇形O'A'B'面积相等，阴影面积可转化为扇形O'A'B'的面积减去两扇形重叠区域外的空白部分面积；②作辅助线连接弧AB与O'A'的交点和点O，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出圆心角的度数和直角边长度；③分别计算相关扇形、三角形的面积，通过面积和差即可求出阴影部分面积。
【解析】
由平移的性质得：$S_{扇形OAB}=S_{扇形O'A'B'}$，$OA=O'A'=OB=O'B'=2$，$∠ O'=∠ O=90°$。
∵$O'$是$OB$的中点，
∴$OO'=\frac{1}{2}OB=1$。
设弧$AB$与$O'A'$交于点$C$，连接$OC$，则$OC=OA=2$。
在$Rt△ OO'C$中，$OC=2$，$OO'=1$，
∴$\cos∠ COO'=\frac{OO'}{OC}=\frac{1}{2}$，即$∠ COO'=60°$，
由勾股定理得$O'C=\sqrt{OC^2-OO'^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
计算各规则图形面积：
$S_{扇形O'A'B'}=\frac{90°}{360°}×π×2^2=π$，
$S_{扇形OCB}=\frac{60°}{360°}×π×2^2=\frac{2π}{3}$，
$S_{△ OO'C}=\frac{1}{2}× OO'× O'C=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
空白部分面积为$S_{扇形OCB}-S_{△ OO'C}=\frac{2π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$，
因此阴影部分面积：
$S_{阴影}=S_{扇形O'A'B'}-(\frac{2π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2})=π-\frac{2π}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{π}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{π}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
平移的性质，扇形面积计算，解直角三角形
【点评】
本题属于不规则图形面积计算问题，解题的核心是利用割补法将阴影面积转化为规则图形面积的和差，通过作辅助线构造直角三角形求出对应圆心角是解题的关键，能很好地考查图形转化思维和基本公式的应用能力。
【难度系数】
0.6
11.如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠B=120°,O是对角线AC的中点,以点O为圆心,OA的长为半径作圆心角为60°的$\overset{\frown}{EF}$,连接OE,OF得扇形OEF,点D在扇形OEF内,则图中阴影部分的面积为
$\frac{π}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}$
.答案
11.$\frac{π}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}$
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，可转化为扇形OEF的面积减去扇形与菱形重叠部分的四边形面积。首先利用菱形的性质求出对角线AC的长度，得到扇形的半径，先计算出扇形的面积；再通过菱形的角度特征证明重叠部分对应的两个小三角形全等，将不规则的重叠四边形面积转化为可计算的固定图形面积，最后作差即可得到阴影部分的面积。
【解析】
1. 求扇形的半径：
在菱形ABCD中，AB=BC=2，∠ABC=120°，则∠BAC=∠BCA=30°。
过B作BH⊥AC于H，在Rt△ABH中，AH=AB·cos30°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，因此AC=2AH=2$\sqrt{3}$。
因为O是AC中点，所以OA=OC=$\sqrt{3}$，即扇形OEF的半径为$\sqrt{3}$。
2. 计算扇形OEF的面积：
扇形圆心角为60°，根据扇形面积公式$S_{扇}=\frac{nπr^2}{360}$，代入n=60，r=$\sqrt{3}$得：
$S_{扇}=\frac{60π×(\sqrt{3})^2}{360}=\frac{π}{2}$。
3. 计算重叠部分的面积：
设OF交AD于点M，OE交CD于点N。
菱形中∠OAM=∠OCN=30°，OA=OC，结合角度关系可证△OAM≌△OCN（AAS），因此$S_{△OAM}=S_{△OCN}$。
经推导，重叠四边形OMDN的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$。
4. 计算阴影面积：
$S_{阴影}=S_{扇}-S_{重叠}=\frac{π}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}$。
【答案】
$\frac{π}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}$
【知识点】
菱形的性质、扇形面积计算、全等三角形的判定
【点评】
本题考查了几何图形中不规则面积的计算，核心是通过转化思想将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差，解题时要熟练掌握菱形的性质和扇形面积公式，灵活运用全等转换面积。
【难度系数】
0.6
要求阴影部分的面积，可转化为扇形OEF的面积减去扇形与菱形重叠部分的四边形面积。首先利用菱形的性质求出对角线AC的长度，得到扇形的半径，先计算出扇形的面积；再通过菱形的角度特征证明重叠部分对应的两个小三角形全等，将不规则的重叠四边形面积转化为可计算的固定图形面积，最后作差即可得到阴影部分的面积。
【解析】
1. 求扇形的半径：
在菱形ABCD中，AB=BC=2，∠ABC=120°，则∠BAC=∠BCA=30°。
过B作BH⊥AC于H，在Rt△ABH中，AH=AB·cos30°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，因此AC=2AH=2$\sqrt{3}$。
因为O是AC中点，所以OA=OC=$\sqrt{3}$，即扇形OEF的半径为$\sqrt{3}$。
2. 计算扇形OEF的面积：
扇形圆心角为60°，根据扇形面积公式$S_{扇}=\frac{nπr^2}{360}$，代入n=60，r=$\sqrt{3}$得：
$S_{扇}=\frac{60π×(\sqrt{3})^2}{360}=\frac{π}{2}$。
3. 计算重叠部分的面积：
设OF交AD于点M，OE交CD于点N。
菱形中∠OAM=∠OCN=30°，OA=OC，结合角度关系可证△OAM≌△OCN（AAS），因此$S_{△OAM}=S_{△OCN}$。
经推导，重叠四边形OMDN的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$。
4. 计算阴影面积：
$S_{阴影}=S_{扇}-S_{重叠}=\frac{π}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}$。
【答案】
$\frac{π}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}$
【知识点】
菱形的性质、扇形面积计算、全等三角形的判定
【点评】
本题考查了几何图形中不规则面积的计算，核心是通过转化思想将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差，解题时要熟练掌握菱形的性质和扇形面积公式，灵活运用全等转换面积。
【难度系数】
0.6
