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【典型例题2】如图,点A,B,C在$\odot O$上,$∠ ABC=40°$,连接$OA,OC$.若$\odot O$的半径为3,则扇形$OAC$(阴影部分)的面积为 ()
A. $\frac{2}{3}π$ B. $π$ C. $\frac{4}{3}π$ D. $2π$
【解析】$\because ∠ ABC=40°$,
$\therefore ∠ AOC=2∠ ABC=80°$.
又$\odot O$的半径为3,
$\therefore S_{扇形OAC}=\frac{80π × 3^2}{360}=2π$. 故选D.
【答案】D
A. $\frac{2}{3}π$ B. $π$ C. $\frac{4}{3}π$ D. $2π$
【解析】$\because ∠ ABC=40°$,
$\therefore ∠ AOC=2∠ ABC=80°$.
又$\odot O$的半径为3,
$\therefore S_{扇形OAC}=\frac{80π × 3^2}{360}=2π$. 故选D.
【答案】D
答案
解：
∵ 点A，B，C在$\odot O$上，$∠ ABC=40°$，
∴ $∠ AOC=2∠ ABC=80°$。
又$\odot O$的半径为3，由扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$得：
$S_{扇形OAC}=\frac{80π × 3^2}{360}=2π$。
故选D。
∵ 点A，B，C在$\odot O$上，$∠ ABC=40°$，
∴ $∠ AOC=2∠ ABC=80°$。
又$\odot O$的半径为3，由扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$得：
$S_{扇形OAC}=\frac{80π × 3^2}{360}=2π$。
故选D。
解析
【分析】
要求扇形OAC的面积，已知圆的半径为3，只需先求出扇形对应的圆心角∠AOC的度数即可。根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知圆周角∠ABC=40°，可先求出∠AOC的度数，再代入扇形面积公式就能计算出阴影部分的面积。
【解析】
∵ 点A，B，C在$\odot O$上，$∠ ABC=40°$，
根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ AOC=2∠ ABC=2×40°=80°$。
已知$\odot O$的半径$r=3$，代入扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数）：
$S_{扇形OAC}=\frac{80π × 3^2}{360}=\frac{720π}{360}=2π$。
故选D。
【答案】D
【知识点】
圆周角定理，扇形面积计算
【点评】
本题属于基础常考题，解题关键是掌握同弧所对圆周角和圆心角的数量关系，牢记扇形面积公式，代入数值计算即可得到结果。
【难度系数】
0.8
要求扇形OAC的面积，已知圆的半径为3，只需先求出扇形对应的圆心角∠AOC的度数即可。根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知圆周角∠ABC=40°，可先求出∠AOC的度数，再代入扇形面积公式就能计算出阴影部分的面积。
【解析】
∵ 点A，B，C在$\odot O$上，$∠ ABC=40°$，
根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ AOC=2∠ ABC=2×40°=80°$。
已知$\odot O$的半径$r=3$，代入扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数）：
$S_{扇形OAC}=\frac{80π × 3^2}{360}=\frac{720π}{360}=2π$。
故选D。
【答案】D
【知识点】
圆周角定理，扇形面积计算
【点评】
本题属于基础常考题，解题关键是掌握同弧所对圆周角和圆心角的数量关系，牢记扇形面积公式，代入数值计算即可得到结果。
【难度系数】
0.8
3.半径为4，圆心角为$90°$的扇形的面积为
4π
。答案
3.4π
解析
【分析】
拿到题目首先明确考查扇形面积的计算，先回忆扇形面积的对应公式：已知圆心角和半径时，选用公式$S=\frac{nπ R^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$R$为半径）。再提取题干已知条件：圆心角$n=90°$，半径$R=4$，将数值代入公式化简计算即可得到结果。
【解析】
解：扇形面积公式为$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ R^2}{360}$（其中$n$是扇形圆心角度数，$R$是扇形半径）。
将$n=90°$，$R=4$代入公式得：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{扇形}}&=\frac{90×π×4^2}{360}\\&=\frac{90×π×16}{360}\\&=4π\end{aligned}$
【答案】
4π
【知识点】
扇形面积计算
【点评】
本题是基础题型，主要考查扇形面积公式的直接应用，解题时只需准确匹配已知条件代入公式，认真化简计算即可得分，属于对扇形基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.9
拿到题目首先明确考查扇形面积的计算，先回忆扇形面积的对应公式：已知圆心角和半径时，选用公式$S=\frac{nπ R^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$R$为半径）。再提取题干已知条件：圆心角$n=90°$，半径$R=4$，将数值代入公式化简计算即可得到结果。
【解析】
解：扇形面积公式为$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ R^2}{360}$（其中$n$是扇形圆心角度数，$R$是扇形半径）。
将$n=90°$，$R=4$代入公式得：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{扇形}}&=\frac{90×π×4^2}{360}\\&=\frac{90×π×16}{360}\\&=4π\end{aligned}$
【答案】
4π
【知识点】
扇形面积计算
【点评】
本题是基础题型，主要考查扇形面积公式的直接应用，解题时只需准确匹配已知条件代入公式，认真化简计算即可得分，属于对扇形基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.9
1.在$\odot O$中，如果$75°$的圆心角所对的弧长是$\frac{10}{3}π$ cm，那么$\odot O$的半径长是（
A.6 cm
B.8 cm
C.10 cm
D.12 cm
B
）A.6 cm
B.8 cm
C.10 cm
D.12 cm
答案
1.B
解析
【分析】
本题已知圆心角的度数和对应弧长，要求圆的半径，解题的核心是运用弧长计算公式。首先回忆弧长公式：$l=\frac{nπr}{180}$（其中$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径），我们可以将已知的$l$和$n$代入公式，通过解方程求出半径$r$的值。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$ cm，根据弧长公式$l=\frac{nπr}{180}$，已知$n=75°$，$l=\frac{10}{3}π$ cm，代入得：
$\frac{10}{3}π = \frac{75πr}{180}$
两边同时约去$π$，化简得：
$\frac{10}{3} = \frac{5r}{12}$
交叉相乘解得：
$5r = \frac{10}{3} × 12 = 40$
$r=8$
所以$\odot O$的半径长是8 cm，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
弧长计算公式
【点评】
本题是弧长公式的基础应用题型，解题的关键是熟记弧长公式，代入数值计算时注意化简，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
本题已知圆心角的度数和对应弧长，要求圆的半径，解题的核心是运用弧长计算公式。首先回忆弧长公式：$l=\frac{nπr}{180}$（其中$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径），我们可以将已知的$l$和$n$代入公式，通过解方程求出半径$r$的值。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$ cm，根据弧长公式$l=\frac{nπr}{180}$，已知$n=75°$，$l=\frac{10}{3}π$ cm，代入得：
$\frac{10}{3}π = \frac{75πr}{180}$
两边同时约去$π$，化简得：
$\frac{10}{3} = \frac{5r}{12}$
交叉相乘解得：
$5r = \frac{10}{3} × 12 = 40$
$r=8$
所以$\odot O$的半径长是8 cm，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
弧长计算公式
【点评】
本题是弧长公式的基础应用题型，解题的关键是熟记弧长公式，代入数值计算时注意化简，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
2.如图,在矩形ABCD中,分别以点A和点C为圆心,AD的长为半径作弧,两弧有且仅有一个公共点.若$AD=4$,则图中两块阴影部分的面积和为 (
A.$32 - 8π$
B.$16\sqrt{3} - 4π$
C.$32 - 4π$
D.$16\sqrt{3} - 8π$
(第2题图)
(第3题图)
D
)A.$32 - 8π$
B.$16\sqrt{3} - 4π$
C.$32 - 4π$
D.$16\sqrt{3} - 8π$
(第2题图)
(第3题图)
答案
2.D
解析
【分析】
首先根据两弧有且仅有一个公共点，判断两弧外切，可得矩形对角线AC的长度等于两个半径之和，即AC=AD+AD=8；接下来利用矩形的性质和勾股定理求出矩形的长AB的长度；再观察阴影部分的构成，可知阴影面积等于矩形总面积减去两个扇形的面积和，两个扇形的圆心角均为90°，半径都为4，合起来刚好是一个半圆，最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵以A、C为圆心，AD长为半径的两弧有且仅有一个公共点
∴两弧外切，矩形对角线$AC = AD + AD = 4 + 4 = 8$
∵四边形ABCD是矩形，$AD=4$
∴$BC=AD=4$，$∠ D=∠ B=90°$
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$
∴矩形ABCD的面积$= AB× AD = 4\sqrt{3}×4 = 16\sqrt{3}$
∵两个扇形的圆心角均为$90°$，半径$r=4$
∴两个扇形的面积和$= 2×\frac{90°}{360°}×π r^2 = 2×\frac{1}{4}×π×4^2 = 8π$
∴阴影部分面积和$=$矩形面积$-$两个扇形面积和$=16\sqrt{3} - 8π$
故选D
【答案】
D
【知识点】
扇形面积计算，矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题考查不规则图形面积的计算，解题关键是将不规则的阴影面积转化为规则图形的面积差，结合两圆相切的性质求出矩形的长是本题的突破口。
【难度系数】
0.65
首先根据两弧有且仅有一个公共点，判断两弧外切，可得矩形对角线AC的长度等于两个半径之和，即AC=AD+AD=8；接下来利用矩形的性质和勾股定理求出矩形的长AB的长度；再观察阴影部分的构成，可知阴影面积等于矩形总面积减去两个扇形的面积和，两个扇形的圆心角均为90°，半径都为4，合起来刚好是一个半圆，最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵以A、C为圆心，AD长为半径的两弧有且仅有一个公共点
∴两弧外切，矩形对角线$AC = AD + AD = 4 + 4 = 8$
∵四边形ABCD是矩形，$AD=4$
∴$BC=AD=4$，$∠ D=∠ B=90°$
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$
∴矩形ABCD的面积$= AB× AD = 4\sqrt{3}×4 = 16\sqrt{3}$
∵两个扇形的圆心角均为$90°$，半径$r=4$
∴两个扇形的面积和$= 2×\frac{90°}{360°}×π r^2 = 2×\frac{1}{4}×π×4^2 = 8π$
∴阴影部分面积和$=$矩形面积$-$两个扇形面积和$=16\sqrt{3} - 8π$
故选D
【答案】
D
【知识点】
扇形面积计算，矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题考查不规则图形面积的计算，解题关键是将不规则的阴影面积转化为规则图形的面积差，结合两圆相切的性质求出矩形的长是本题的突破口。
【难度系数】
0.65
3.如图，等边三角形ABC的边长为1，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径作弧，三段圆弧所围成的封闭图形的周长为（
A.$π$
B.$\frac{3π}{2}$
C.$2π$
D.$3π$
A
）A.$π$
B.$\frac{3π}{2}$
C.$2π$
D.$3π$
答案
3.A
解析
【分析】
首先观察图形可知，所求封闭图形的周长由三段长度相等的圆弧组成。首先结合等边三角形的性质，确定每段圆弧的圆心角和半径：等边三角形每个内角为60°，每段圆弧的圆心是等边三角形的顶点，因此圆心角为60°，圆弧半径等于等边三角形的边长1。接下来利用弧长公式计算出单段圆弧的长度，再乘3即可得到总周长。
【解析】
解：
∵△ABC是边长为1的等边三角形
∴△ABC的每个内角均为60°，即每段圆弧的圆心角$n=60°$，圆弧半径$r=1$
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，可得单段圆弧的长度为：
$l_1=\frac{60π×1}{180}=\frac{π}{3}$
封闭图形的周长为3段圆弧的长度和：
$L=3× l_1=3×\frac{π}{3}=π$
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的性质，弧长的计算
【点评】
本题属于基础题，解题关键是准确判断每段弧的圆心角和半径，代入弧长公式计算即可，做题时注意不要混淆弧长公式和扇形面积公式。
【难度系数】
0.7
首先观察图形可知，所求封闭图形的周长由三段长度相等的圆弧组成。首先结合等边三角形的性质，确定每段圆弧的圆心角和半径：等边三角形每个内角为60°，每段圆弧的圆心是等边三角形的顶点，因此圆心角为60°，圆弧半径等于等边三角形的边长1。接下来利用弧长公式计算出单段圆弧的长度，再乘3即可得到总周长。
【解析】
解：
∵△ABC是边长为1的等边三角形
∴△ABC的每个内角均为60°，即每段圆弧的圆心角$n=60°$，圆弧半径$r=1$
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，可得单段圆弧的长度为：
$l_1=\frac{60π×1}{180}=\frac{π}{3}$
封闭图形的周长为3段圆弧的长度和：
$L=3× l_1=3×\frac{π}{3}=π$
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的性质，弧长的计算
【点评】
本题属于基础题，解题关键是准确判断每段弧的圆心角和半径，代入弧长公式计算即可，做题时注意不要混淆弧长公式和扇形面积公式。
【难度系数】
0.7
4.如果一个扇形的面积是它所在圆的面积的$\frac{2}{3}$，那么这个扇形的圆心角的度数是
240°
。答案
4.240°
解析
【分析】
在同一个圆中，扇形的面积占所在圆面积的比例，与该扇形圆心角度数占周角（360°）的比例完全相等。我们可以利用这个对应比例关系，先设扇形的圆心角为未知数，结合题目给出的面积比值列等式，即可求出圆心角的度数。
【解析】
设这个扇形的圆心角的度数为$n°$，设圆的半径为$r$。
圆的面积为$π r^2$，扇形面积公式为$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$。
根据题意，扇形面积是所在圆面积的$\frac{2}{3}$，可列等式：
$\frac{\frac{nπ r^2}{360}}{π r^2}=\frac{2}{3}$
约分化简得：$\frac{n}{360}=\frac{2}{3}$
解得：$n=360×\frac{2}{3}=240$
【答案】
$240°$
【知识点】
1. 扇形面积公式
2. 扇形面积与圆心角的比例关系
【点评】
本题属于基础题，主要考查同圆内扇形面积占比和圆心角占比的对应规律，计算量小，只要理解两者的比例关系就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
在同一个圆中，扇形的面积占所在圆面积的比例，与该扇形圆心角度数占周角（360°）的比例完全相等。我们可以利用这个对应比例关系，先设扇形的圆心角为未知数，结合题目给出的面积比值列等式，即可求出圆心角的度数。
【解析】
设这个扇形的圆心角的度数为$n°$，设圆的半径为$r$。
圆的面积为$π r^2$，扇形面积公式为$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$。
根据题意，扇形面积是所在圆面积的$\frac{2}{3}$，可列等式：
$\frac{\frac{nπ r^2}{360}}{π r^2}=\frac{2}{3}$
约分化简得：$\frac{n}{360}=\frac{2}{3}$
解得：$n=360×\frac{2}{3}=240$
【答案】
$240°$
【知识点】
1. 扇形面积公式
2. 扇形面积与圆心角的比例关系
【点评】
本题属于基础题，主要考查同圆内扇形面积占比和圆心角占比的对应规律，计算量小，只要理解两者的比例关系就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
5. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=45°.若⊙O的半径为2，则$\overset{\frown}{BC}$的长为
（第5题图）（第6题图）
π
.（第5题图）（第6题图）
答案
5.π
解析
【分析】
要求弧$\overset{\frown}{BC}$的长，需先明确弧长计算公式为$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$n$为弧所对圆心角的度数，$R$为圆的半径）。题目已经给出⊙O的半径为2，因此只需要求出$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角度数即可。已知$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角$∠ BAC=45°$，根据圆周角定理即可求出对应的圆心角度数，再代入弧长公式计算即可得到结果。
【解析】
连接$OB$、$OC$。
∵$∠ BAC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，$∠ BOC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，
∴根据圆周角定理可得：$∠ BOC=2∠ BAC=2×45°=90°$。
已知⊙O的半径$R=2$，代入弧长公式：
$l_{\overset{\frown}{BC}}=\frac{nπ R}{180}=\frac{90×π×2}{180}=π$。
【答案】
$π$
【知识点】
圆周角定理；弧长计算公式
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是熟练掌握圆周角定理和弧长计算公式，先通过圆周角推导得到对应圆心角的度数，再代入公式计算即可，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
要求弧$\overset{\frown}{BC}$的长，需先明确弧长计算公式为$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$n$为弧所对圆心角的度数，$R$为圆的半径）。题目已经给出⊙O的半径为2，因此只需要求出$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角度数即可。已知$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角$∠ BAC=45°$，根据圆周角定理即可求出对应的圆心角度数，再代入弧长公式计算即可得到结果。
【解析】
连接$OB$、$OC$。
∵$∠ BAC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，$∠ BOC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，
∴根据圆周角定理可得：$∠ BOC=2∠ BAC=2×45°=90°$。
已知⊙O的半径$R=2$，代入弧长公式：
$l_{\overset{\frown}{BC}}=\frac{nπ R}{180}=\frac{90×π×2}{180}=π$。
【答案】
$π$
【知识点】
圆周角定理；弧长计算公式
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是熟练掌握圆周角定理和弧长计算公式，先通过圆周角推导得到对应圆心角的度数，再代入公式计算即可，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
6. 如图,扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O,且∠O=100°.若OA=12 cm,OB=6 cm,则阴影部分的面积是
30π
cm².答案
6.30π
解析
【分析】
阴影部分是圆心角相同的两个扇形重叠形成的扇环，解题思路是用大扇形OAD的面积减去小扇形OBC的面积得到阴影面积。首先回忆扇形面积公式$S_{扇}=\frac{nπ R^2}{360}$（其中n是圆心角度数，R是扇形半径），本题中两个扇形的圆心角n均为100°，大扇形半径OA=12cm，小扇形半径OB=6cm，代入公式分别计算两个扇形面积再作差即可。
【解析】
阴影部分面积 = 大扇形OAD的面积 - 小扇形OBC的面积
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ R^2}{360}$，代入已知条件：
$S_{扇形OAD}=\frac{100π×12^2}{360}$
$S_{扇形OBC}=\frac{100π×6^2}{360}$
则$S_{阴影}=\frac{100π×12^2}{360}-\frac{100π×6^2}{360}$
$=\frac{100π}{360}×(144 - 36)$
$=\frac{5π}{18}×108$
$=30π\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$30π$
【知识点】
扇形面积计算；组合图形面积计算
【点评】
本题属于基础的面积计算题，解题核心是明确阴影部分面积的构成，即两个同圆心角扇形的面积差，熟练掌握扇形面积公式就能快速求解。
【难度系数】
0.7
阴影部分是圆心角相同的两个扇形重叠形成的扇环，解题思路是用大扇形OAD的面积减去小扇形OBC的面积得到阴影面积。首先回忆扇形面积公式$S_{扇}=\frac{nπ R^2}{360}$（其中n是圆心角度数，R是扇形半径），本题中两个扇形的圆心角n均为100°，大扇形半径OA=12cm，小扇形半径OB=6cm，代入公式分别计算两个扇形面积再作差即可。
【解析】
阴影部分面积 = 大扇形OAD的面积 - 小扇形OBC的面积
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ R^2}{360}$，代入已知条件：
$S_{扇形OAD}=\frac{100π×12^2}{360}$
$S_{扇形OBC}=\frac{100π×6^2}{360}$
则$S_{阴影}=\frac{100π×12^2}{360}-\frac{100π×6^2}{360}$
$=\frac{100π}{360}×(144 - 36)$
$=\frac{5π}{18}×108$
$=30π\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$30π$
【知识点】
扇形面积计算；组合图形面积计算
【点评】
本题属于基础的面积计算题，解题核心是明确阴影部分面积的构成，即两个同圆心角扇形的面积差，熟练掌握扇形面积公式就能快速求解。
【难度系数】
0.7
