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2. 如图，圆锥的母线与高的夹角为$30°$，母线长为4 cm，求这个圆锥的全面积.
答案
2.【解】根据题意,得$∠ ADC=90°,AC=4,∠ DAC=30°$.
$\therefore CD=\frac{1}{2}AC=2$.
$\because π×2×(2+4)=12π$,
$\therefore$圆锥的全面积为 $12π \mathrm{ cm}^2$.
$\therefore CD=\frac{1}{2}AC=2$.
$\because π×2×(2+4)=12π$,
$\therefore$圆锥的全面积为 $12π \mathrm{ cm}^2$.
解析
【分析】
要计算圆锥的全面积，需先明确圆锥全面积=侧面积+底面积，公式为$S_{\mathrm{全}}=π rl+π r^2=π r(r+l)$（其中$r$为底面半径，$l$为母线长）。已知母线长$l=4\mathrm{cm}$，缺少底面半径$r$，可通过圆锥轴截面的直角三角形求解：母线与高的夹角为30°，母线为直角三角形的斜边，底面半径是30°角对应的直角边，利用“直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半”即可求出$r$，再代入公式计算全面积。
【解析】
由题意可知，圆锥轴截面的$△ ADC$为直角三角形，$∠ ADC=90°$，母线$AC=l=4\mathrm{cm}$，$∠ DAC=30°$。
根据直角三角形中30°角的性质：30°角所对直角边等于斜边的一半，可得底面半径$r=CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2\mathrm{cm}$。
将$r=2\mathrm{cm}$，$l=4\mathrm{cm}$代入圆锥全面积公式：
$S_{\mathrm{全}}=π r(r+l)=π×2×(2+4)=12π(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$12π \mathrm{ cm}^2$
【知识点】
1. 圆锥全面积计算 2. 含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题属于圆锥面积计算的基础题型，解题的关键是结合圆锥的结构特征，利用特殊直角三角形的性质求出底面半径，再代入对应面积公式求解，考查对圆锥各部分量对应关系的理解与基础公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
要计算圆锥的全面积，需先明确圆锥全面积=侧面积+底面积，公式为$S_{\mathrm{全}}=π rl+π r^2=π r(r+l)$（其中$r$为底面半径，$l$为母线长）。已知母线长$l=4\mathrm{cm}$，缺少底面半径$r$，可通过圆锥轴截面的直角三角形求解：母线与高的夹角为30°，母线为直角三角形的斜边，底面半径是30°角对应的直角边，利用“直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半”即可求出$r$，再代入公式计算全面积。
【解析】
由题意可知，圆锥轴截面的$△ ADC$为直角三角形，$∠ ADC=90°$，母线$AC=l=4\mathrm{cm}$，$∠ DAC=30°$。
根据直角三角形中30°角的性质：30°角所对直角边等于斜边的一半，可得底面半径$r=CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2\mathrm{cm}$。
将$r=2\mathrm{cm}$，$l=4\mathrm{cm}$代入圆锥全面积公式：
$S_{\mathrm{全}}=π r(r+l)=π×2×(2+4)=12π(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$12π \mathrm{ cm}^2$
【知识点】
1. 圆锥全面积计算 2. 含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题属于圆锥面积计算的基础题型，解题的关键是结合圆锥的结构特征，利用特殊直角三角形的性质求出底面半径，再代入对应面积公式求解，考查对圆锥各部分量对应关系的理解与基础公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
【典型例题2】如图,圆锥的底面圆的半径是4 cm,母线长为12 cm,C为母线PB的中点.现有一只蚂蚁从点A出发,沿圆锥侧面爬行到点C,则蚂蚁在圆锥侧面爬行的最短路程为cm.
【解析】如图,作圆锥的侧面展开图,连接AC,AB,则AC的长即为蚂蚁爬行的最短路程.
设圆锥的侧面展开图的圆心角为$n°$.
根据题意,得$\frac{nπ×12}{180}=2π×4$.
解得$n=120$,即圆锥的侧面展开图的圆心角是$120°$,进而$∠ APB=60°$.
$\because PA=PB$,
$\therefore △ PAB$为等边三角形.
$\because C$为母线$PB$的中点,
$\therefore PC=\frac{1}{2}PB=6,AC⊥ PB$.
$\therefore ∠ ACP=90°$.
$\therefore AC=\sqrt{AP^{2}-PC^{2}}=6\sqrt{3}$,即蚂蚁在圆锥侧面爬行的最短路程是$6\sqrt{3}$ cm.
【答案】$6\sqrt{3}$
规律方法 解决圆锥表面最短路径问题的一般步骤:
(1)画出圆锥的侧面展开图.
(2)找到原图中起点和终点在侧面展开图中的对应点,并在侧面展开图中标出来.
(3)根据“两点之间,线段最短”,在侧面展开图中连接起点和终点的对应点,这条线段即为最短路径.
【解析】如图,作圆锥的侧面展开图,连接AC,AB,则AC的长即为蚂蚁爬行的最短路程.
设圆锥的侧面展开图的圆心角为$n°$.
根据题意,得$\frac{nπ×12}{180}=2π×4$.
解得$n=120$,即圆锥的侧面展开图的圆心角是$120°$,进而$∠ APB=60°$.
$\because PA=PB$,
$\therefore △ PAB$为等边三角形.
$\because C$为母线$PB$的中点,
$\therefore PC=\frac{1}{2}PB=6,AC⊥ PB$.
$\therefore ∠ ACP=90°$.
$\therefore AC=\sqrt{AP^{2}-PC^{2}}=6\sqrt{3}$,即蚂蚁在圆锥侧面爬行的最短路程是$6\sqrt{3}$ cm.
【答案】$6\sqrt{3}$
规律方法 解决圆锥表面最短路径问题的一般步骤:
(1)画出圆锥的侧面展开图.
(2)找到原图中起点和终点在侧面展开图中的对应点,并在侧面展开图中标出来.
(3)根据“两点之间,线段最短”,在侧面展开图中连接起点和终点的对应点,这条线段即为最短路径.
答案
$\boldsymbol{6\sqrt{3}}$
解析
【分析】
要解决圆锥侧面的最短爬行路径问题，核心是将曲面转化为平面，利用“两点之间线段最短”求解。首先需要计算圆锥侧面展开图的圆心角：圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，据此可求出圆心角的度数，得到展开图中∠APB的大小；再结合PA=PB判断△PAB的形状，利用C是PB中点的条件，在直角三角形中通过勾股定理即可求出最短路径AC的长度。
【解析】
将圆锥侧面展开，连接AC，则AC的长就是蚂蚁爬行的最短路程。
设圆锥侧面展开图的圆心角为$n°$，
∵圆锥底面周长等于侧面展开图的弧长，
∴$\frac{nπ × 12}{180}=2π × 4$，
解得$n=120$，即侧面展开图的圆心角为$120°$，
∴$∠ APB=60°$。
又
∵$PA=PB=12\mathrm{cm}$，
∴$△ PAB$是等边三角形。
∵C是PB的中点，
∴$PC=\frac{1}{2}PB=6\mathrm{cm}$，且$AC⊥ PB$，即$∠ ACP=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACP$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AP^2-PC^2}=\sqrt{12^2-6^2}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}(\mathrm{cm})$。
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
圆锥侧面展开图性质；弧长公式；勾股定理
【点评】
本题是圆锥表面最短路径问题的典型考题，侧重考察转化思想的应用，解题关键是明确圆锥底面周长和侧面展开图弧长的对应关系，结合三角形性质进行计算。
【难度系数】
0.6
要解决圆锥侧面的最短爬行路径问题，核心是将曲面转化为平面，利用“两点之间线段最短”求解。首先需要计算圆锥侧面展开图的圆心角：圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，据此可求出圆心角的度数，得到展开图中∠APB的大小；再结合PA=PB判断△PAB的形状，利用C是PB中点的条件，在直角三角形中通过勾股定理即可求出最短路径AC的长度。
【解析】
将圆锥侧面展开，连接AC，则AC的长就是蚂蚁爬行的最短路程。
设圆锥侧面展开图的圆心角为$n°$，
∵圆锥底面周长等于侧面展开图的弧长，
∴$\frac{nπ × 12}{180}=2π × 4$，
解得$n=120$，即侧面展开图的圆心角为$120°$，
∴$∠ APB=60°$。
又
∵$PA=PB=12\mathrm{cm}$，
∴$△ PAB$是等边三角形。
∵C是PB的中点，
∴$PC=\frac{1}{2}PB=6\mathrm{cm}$，且$AC⊥ PB$，即$∠ ACP=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACP$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AP^2-PC^2}=\sqrt{12^2-6^2}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}(\mathrm{cm})$。
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
圆锥侧面展开图性质；弧长公式；勾股定理
【点评】
本题是圆锥表面最短路径问题的典型考题，侧重考察转化思想的应用，解题关键是明确圆锥底面周长和侧面展开图弧长的对应关系，结合三角形性质进行计算。
【难度系数】
0.6
3. 如图，圆锥的底面圆的半径为2，母线长为8.现有一只小虫从点A出发，沿圆锥侧面绕行到母线SA的中点B处，则它爬行的最短路程是
$4\sqrt{5}$
。答案
3.$4\sqrt{5}$
解析
【分析】
要求圆锥侧面上小虫爬行的最短路程，需利用“立体图形平面化”的转化思路：将圆锥侧面展开为平面扇形，根据“两点之间，线段最短”，最短路程就是展开图中对应两点的线段长度。解题步骤为：首先利用圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，求出扇形的圆心角；再确定两点在展开图中的位置，构造直角三角形后用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
1. 计算圆锥底面周长：已知底面半径$r=2$，则底面周长$C=2π r=2π×2=4π$。
2. 求侧面展开图的圆心角：圆锥母线长为8，即侧面展开扇形的半径$R=8$，设圆心角为$n°$，根据扇形弧长公式$L=\frac{nπ R}{180}$，且弧长等于底面周长，可得：
$\frac{nπ×8}{180}=4π$，约去$π$后解得$n=90$，即展开图圆心角为$90°$。
3. 计算最短路径：将圆锥侧面沿$SA$剪开得到扇形$SAA'$，其中$A$和$A'$是圆锥上的同一点，$B$是$SA$中点，故$SB=\frac{1}{2}×8=4$，$SA'=8$，$∠ A'SB=90°$。
在$Rt△ A'SB$中，由勾股定理得：
$A'B=\sqrt{SA'^2+SB^2}=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$。
【答案】
$4\sqrt{5}$
【知识点】
圆锥侧面展开图；弧长公式；勾股定理
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型问题，核心是将立体转化为平面求解，需要熟练掌握圆锥侧面展开和底面的对应关系，结合勾股定理计算即可，解题过程体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
要求圆锥侧面上小虫爬行的最短路程，需利用“立体图形平面化”的转化思路：将圆锥侧面展开为平面扇形，根据“两点之间，线段最短”，最短路程就是展开图中对应两点的线段长度。解题步骤为：首先利用圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，求出扇形的圆心角；再确定两点在展开图中的位置，构造直角三角形后用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
1. 计算圆锥底面周长：已知底面半径$r=2$，则底面周长$C=2π r=2π×2=4π$。
2. 求侧面展开图的圆心角：圆锥母线长为8，即侧面展开扇形的半径$R=8$，设圆心角为$n°$，根据扇形弧长公式$L=\frac{nπ R}{180}$，且弧长等于底面周长，可得：
$\frac{nπ×8}{180}=4π$，约去$π$后解得$n=90$，即展开图圆心角为$90°$。
3. 计算最短路径：将圆锥侧面沿$SA$剪开得到扇形$SAA'$，其中$A$和$A'$是圆锥上的同一点，$B$是$SA$中点，故$SB=\frac{1}{2}×8=4$，$SA'=8$，$∠ A'SB=90°$。
在$Rt△ A'SB$中，由勾股定理得：
$A'B=\sqrt{SA'^2+SB^2}=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$。
【答案】
$4\sqrt{5}$
【知识点】
圆锥侧面展开图；弧长公式；勾股定理
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型问题，核心是将立体转化为平面求解，需要熟练掌握圆锥侧面展开和底面的对应关系，结合勾股定理计算即可，解题过程体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
1.若一个圆锥的底面圆的直径是6，母线长是8，则它的全面积是（
A.$24π$
B.$33$
C.$24$
D.$33π$
D
）A.$24π$
B.$33$
C.$24$
D.$33π$
答案
1.D
解析
【分析】
要计算圆锥的全面积，首先要明确圆锥全面积的构成：全面积=侧面积+底面积。解题步骤可分为三步：第一步根据底面直径求出底面半径；第二步分别代入公式计算圆锥的侧面积和底面积；第三步将两个面积相加得到全面积，再匹配选项即可。
【解析】
解：已知圆锥底面圆的直径为6，因此底面半径$r = 6÷2 = 3$，母线长$l=8$。
1. 计算底面积：圆的面积公式为$S_{底}=π r^2$，代入$r=3$得：
$S_{底}=π×3^2=9π$
2. 计算侧面积：圆锥侧面积公式为$S_{侧}=π rl$（$l$为母线长），代入数值得：
$S_{侧}=π×3×8=24π$
3. 计算全面积：
$S_{全}=S_{侧}+S_{底}=24π +9π=33π$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
圆锥侧面积计算；圆的面积计算；圆锥全面积计算
【点评】
本题是圆锥面积计算的基础题型，核心是牢记圆锥侧面积、底面积的计算公式，计算时注意不要遗漏底面积，区分侧面积和全面积的概念即可正确作答。
【难度系数】
0.8
要计算圆锥的全面积，首先要明确圆锥全面积的构成：全面积=侧面积+底面积。解题步骤可分为三步：第一步根据底面直径求出底面半径；第二步分别代入公式计算圆锥的侧面积和底面积；第三步将两个面积相加得到全面积，再匹配选项即可。
【解析】
解：已知圆锥底面圆的直径为6，因此底面半径$r = 6÷2 = 3$，母线长$l=8$。
1. 计算底面积：圆的面积公式为$S_{底}=π r^2$，代入$r=3$得：
$S_{底}=π×3^2=9π$
2. 计算侧面积：圆锥侧面积公式为$S_{侧}=π rl$（$l$为母线长），代入数值得：
$S_{侧}=π×3×8=24π$
3. 计算全面积：
$S_{全}=S_{侧}+S_{底}=24π +9π=33π$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
圆锥侧面积计算；圆的面积计算；圆锥全面积计算
【点评】
本题是圆锥面积计算的基础题型，核心是牢记圆锥侧面积、底面积的计算公式，计算时注意不要遗漏底面积，区分侧面积和全面积的概念即可正确作答。
【难度系数】
0.8
2.若一个圆锥的侧面展开图的圆心角为$90°$，母线长为40 cm，则该圆锥的底面圆的半径长为 （
A.9 cm
B.10 cm
C.11 cm
D.12 cm
B
）A.9 cm
B.10 cm
C.11 cm
D.12 cm
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先要明确圆锥与其侧面展开图（扇形）的各量对应关系：圆锥的母线长等于侧面展开扇形的半径，圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长。我们可以先利用扇形弧长公式算出侧面展开图的弧长，再结合圆的周长公式即可求出圆锥底面圆的半径。
【解析】
设该圆锥的底面圆的半径为$ r\ \mathrm{cm} $。
1. 计算侧面展开扇形的弧长：
扇形弧长公式为$ l=\frac{nπ R}{180} $，其中圆心角$ n=90° $，扇形半径（即母线长）$ R=40\ \mathrm{cm} $，代入得：
$ l=\frac{90π×40}{180}=20π\ \mathrm{cm} $
2. 利用弧长与底面周长的等量关系列方程：
圆锥底面圆的周长等于侧面展开图的弧长，即$ 2π r = l $，代入$ l=20π $得：
$ 2π r=20π $
两边同时除以$ 2π $，解得$ r=10 $
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面展开图性质、扇形弧长计算、圆周长计算
【点评】
本题是圆锥侧面积相关的基础常考题，核心解题突破口是掌握“圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长”这一核心等量关系，牢记对应公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确圆锥与其侧面展开图（扇形）的各量对应关系：圆锥的母线长等于侧面展开扇形的半径，圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长。我们可以先利用扇形弧长公式算出侧面展开图的弧长，再结合圆的周长公式即可求出圆锥底面圆的半径。
【解析】
设该圆锥的底面圆的半径为$ r\ \mathrm{cm} $。
1. 计算侧面展开扇形的弧长：
扇形弧长公式为$ l=\frac{nπ R}{180} $，其中圆心角$ n=90° $，扇形半径（即母线长）$ R=40\ \mathrm{cm} $，代入得：
$ l=\frac{90π×40}{180}=20π\ \mathrm{cm} $
2. 利用弧长与底面周长的等量关系列方程：
圆锥底面圆的周长等于侧面展开图的弧长，即$ 2π r = l $，代入$ l=20π $得：
$ 2π r=20π $
两边同时除以$ 2π $，解得$ r=10 $
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面展开图性质、扇形弧长计算、圆周长计算
【点评】
本题是圆锥侧面积相关的基础常考题，核心解题突破口是掌握“圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长”这一核心等量关系，牢记对应公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3.用半径为24 cm，圆心角为$120°$的扇形纸板做一个圆锥形的生日帽，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆的周长是
$16π\ \mathrm{cm}$
.答案
3.$16π\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
解题的核心是明确：将扇形围成圆锥侧面时，扇形的弧长与圆锥底面圆的周长完全相等。我们只需要利用弧长公式算出给定扇形的弧长，就能直接得到圆锥底面圆的周长。已知扇形的圆心角和半径，直接代入弧长公式计算即可。
【解析】
圆锥侧面展开图（扇形）的弧长 = 圆锥底面圆的周长。
已知扇形圆心角$n=120°$，扇形半径$R=24\ \mathrm{cm}$，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$代入计算：
$l=\frac{120× π × 24}{180}=16π\ \mathrm{cm}$
即圆锥形生日帽的底面圆周长为$16π\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$16π\ \mathrm{cm}$
【知识点】
弧长计算；圆锥侧面展开图性质
【点评】
本题是圆锥相关的基础题，只要掌握圆锥和其侧面展开扇形的对应等量关系，熟练运用弧长公式就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题的核心是明确：将扇形围成圆锥侧面时，扇形的弧长与圆锥底面圆的周长完全相等。我们只需要利用弧长公式算出给定扇形的弧长，就能直接得到圆锥底面圆的周长。已知扇形的圆心角和半径，直接代入弧长公式计算即可。
【解析】
圆锥侧面展开图（扇形）的弧长 = 圆锥底面圆的周长。
已知扇形圆心角$n=120°$，扇形半径$R=24\ \mathrm{cm}$，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$代入计算：
$l=\frac{120× π × 24}{180}=16π\ \mathrm{cm}$
即圆锥形生日帽的底面圆周长为$16π\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$16π\ \mathrm{cm}$
【知识点】
弧长计算；圆锥侧面展开图性质
【点评】
本题是圆锥相关的基础题，只要掌握圆锥和其侧面展开扇形的对应等量关系，熟练运用弧长公式就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
