登录
4.一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为$72°$的扇形.若这个圆锥的底面圆的半径为1,则该圆锥的高为
$2\sqrt{6}$
.答案
4.$2\sqrt{6}$
解析
【分析】
要求圆锥的高，已知圆锥底面半径，只需先求出圆锥的母线长即可：圆锥的高、底面半径、母线长构成直角三角形，满足勾股定理。圆锥侧面展开图为扇形，存在两个核心等量关系：①扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长；②扇形的半径等于圆锥的母线长。我们可以先计算底面圆周长，再结合弧长公式列方程求出母线长，最后用勾股定理计算圆锥的高。
【解析】
设该圆锥的母线长为$ l $。
1. 计算圆锥底面圆的周长：
已知底面半径$ r=1 $，则底面周长$ C=2π r=2π×1=2π $。
2. 根据扇形弧长等于底面周长列方程求母线长：
侧面展开扇形的圆心角为$ 72° $，弧长公式为$ \frac{nπ l}{180} $（$ n $为圆心角度数），因此：
$\frac{72π l}{180}=2π$
两边同时约去$ π $，化简得：$ \frac{72l}{180}=2 $，解得$ l=5 $。
3. 利用勾股定理求圆锥的高：
圆锥的高$ h $、底面半径$ r $、母线长$ l $满足$ h=\sqrt{l^2 - r^2} $，代入数值：
$h=\sqrt{5^2 - 1^2}=\sqrt{25-1}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$
【答案】
$ 2\sqrt{6} $
【知识点】
圆锥侧面展开图性质；弧长计算；勾股定理
【点评】
本题是圆锥相关计算的基础题型，解题关键是明确圆锥侧面展开图与圆锥各参数的对应关系，牢记弧长和底面周长相等、扇形半径等于母线长这两个核心等量关系，结合勾股定理即可求解。
【难度系数】
0.7
要求圆锥的高，已知圆锥底面半径，只需先求出圆锥的母线长即可：圆锥的高、底面半径、母线长构成直角三角形，满足勾股定理。圆锥侧面展开图为扇形，存在两个核心等量关系：①扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长；②扇形的半径等于圆锥的母线长。我们可以先计算底面圆周长，再结合弧长公式列方程求出母线长，最后用勾股定理计算圆锥的高。
【解析】
设该圆锥的母线长为$ l $。
1. 计算圆锥底面圆的周长：
已知底面半径$ r=1 $，则底面周长$ C=2π r=2π×1=2π $。
2. 根据扇形弧长等于底面周长列方程求母线长：
侧面展开扇形的圆心角为$ 72° $，弧长公式为$ \frac{nπ l}{180} $（$ n $为圆心角度数），因此：
$\frac{72π l}{180}=2π$
两边同时约去$ π $，化简得：$ \frac{72l}{180}=2 $，解得$ l=5 $。
3. 利用勾股定理求圆锥的高：
圆锥的高$ h $、底面半径$ r $、母线长$ l $满足$ h=\sqrt{l^2 - r^2} $，代入数值：
$h=\sqrt{5^2 - 1^2}=\sqrt{25-1}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$
【答案】
$ 2\sqrt{6} $
【知识点】
圆锥侧面展开图性质；弧长计算；勾股定理
【点评】
本题是圆锥相关计算的基础题型，解题关键是明确圆锥侧面展开图与圆锥各参数的对应关系，牢记弧长和底面周长相等、扇形半径等于母线长这两个核心等量关系，结合勾股定理即可求解。
【难度系数】
0.7
5.若圆锥的底面圆的半径为3，侧面积为36π，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是
$90$
°。答案
5.90
解析
【分析】
解决本题需要先明确圆锥和其侧面展开图（扇形）的对应关系：①圆锥的母线长等于扇形的半径；②圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长；③圆锥侧面积等于扇形的面积。解题可分两步：第一步利用圆锥侧面积公式求出母线长，第二步结合底面周长与扇形弧长相等的关系，计算侧面展开图的圆心角度数。
【解析】
设圆锥的母线长为$ l $，侧面展开图的圆心角为$ n° $。
1. 求母线长：
圆锥侧面积公式为$ S_{\mathrm{侧}}=π r l $，已知底面半径$ r=3 $，侧面积$ S_{\mathrm{侧}}=36π $，代入得：
$ π × 3 × l = 36π $
两边同时除以$ π $，解得$ l=12 $。
2. 求圆心角度数：
圆锥底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长，底面周长为$ C=2π r=2π × 3=6π $，扇形弧长公式为$ \frac{nπ l}{180} $，因此列等式：
$ \frac{nπ × 12}{180}=6π $
两边同时除以$ π $，化简得：
$ \frac{12n}{180}=6 $
解得$ n=90 $。
【答案】
90
【知识点】
圆锥侧面积计算；圆锥与侧面展开图的关系；扇形弧长计算
【点评】
本题是圆锥相关的基础计算题，解题关键是理清圆锥和侧面展开扇形各量的对应关系，熟记相关公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解决本题需要先明确圆锥和其侧面展开图（扇形）的对应关系：①圆锥的母线长等于扇形的半径；②圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长；③圆锥侧面积等于扇形的面积。解题可分两步：第一步利用圆锥侧面积公式求出母线长，第二步结合底面周长与扇形弧长相等的关系，计算侧面展开图的圆心角度数。
【解析】
设圆锥的母线长为$ l $，侧面展开图的圆心角为$ n° $。
1. 求母线长：
圆锥侧面积公式为$ S_{\mathrm{侧}}=π r l $，已知底面半径$ r=3 $，侧面积$ S_{\mathrm{侧}}=36π $，代入得：
$ π × 3 × l = 36π $
两边同时除以$ π $，解得$ l=12 $。
2. 求圆心角度数：
圆锥底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长，底面周长为$ C=2π r=2π × 3=6π $，扇形弧长公式为$ \frac{nπ l}{180} $，因此列等式：
$ \frac{nπ × 12}{180}=6π $
两边同时除以$ π $，化简得：
$ \frac{12n}{180}=6 $
解得$ n=90 $。
【答案】
90
【知识点】
圆锥侧面积计算；圆锥与侧面展开图的关系；扇形弧长计算
【点评】
本题是圆锥相关的基础计算题，解题关键是理清圆锥和侧面展开扇形各量的对应关系，熟记相关公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
6. 如图,在$△ ABC$中,$AC=3,AB=4,BC$边上的高$AD=2$,将$△ ABC$绕$BC$所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为
（第6题图）
（第7题图）
$14π$
。（第6题图）
（第7题图）
答案
6.$14π$
解析
【分析】
解题首先要明确△ABC绕BC旋转一周得到的几何体形状：因为AD⊥BC，所以旋转后得到的是两个底面半径均为AD、底面互相重合的圆锥的组合体，且重合的底面位于几何体内部，不计入表面积，因此几何体的表面积等于两个圆锥的侧面积之和。接下来回忆圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$（r为底面半径，l为母线长），确定两个圆锥的母线长分别为AC、AB，底面半径为AD，代入公式分别计算两个侧面积再求和即可。
【解析】
解：将△ABC绕BC所在直线旋转一周，得到的是两个共底面的圆锥组合体，
该组合体的底面半径$r=AD=2$，两个圆锥的母线长分别为$l_1=AC=3$，$l_2=AB=4$。
∵圆锥侧面积公式为$ S_{\mathrm{侧}}=π r l $，且两个圆锥重合的底面在几何体内部，不计入表面积，
∴该几何体的表面积$ S = S_{\mathrm{侧1}} + S_{\mathrm{侧2}} = π × 2 × 3 + π × 2 × 4 = 6π + 8π = 14π $。
【答案】
$14π$
【知识点】
圆锥侧面积计算，旋转体的认识，组合体表面积计算
【点评】
本题核心是先判断旋转后得到的组合体结构，注意内部重合的面不计入表面积，再结合圆锥侧面积公式计算即可，易错点是误将内部重合的底面计入表面积导致结果错误。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确△ABC绕BC旋转一周得到的几何体形状：因为AD⊥BC，所以旋转后得到的是两个底面半径均为AD、底面互相重合的圆锥的组合体，且重合的底面位于几何体内部，不计入表面积，因此几何体的表面积等于两个圆锥的侧面积之和。接下来回忆圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$（r为底面半径，l为母线长），确定两个圆锥的母线长分别为AC、AB，底面半径为AD，代入公式分别计算两个侧面积再求和即可。
【解析】
解：将△ABC绕BC所在直线旋转一周，得到的是两个共底面的圆锥组合体，
该组合体的底面半径$r=AD=2$，两个圆锥的母线长分别为$l_1=AC=3$，$l_2=AB=4$。
∵圆锥侧面积公式为$ S_{\mathrm{侧}}=π r l $，且两个圆锥重合的底面在几何体内部，不计入表面积，
∴该几何体的表面积$ S = S_{\mathrm{侧1}} + S_{\mathrm{侧2}} = π × 2 × 3 + π × 2 × 4 = 6π + 8π = 14π $。
【答案】
$14π$
【知识点】
圆锥侧面积计算，旋转体的认识，组合体表面积计算
【点评】
本题核心是先判断旋转后得到的组合体结构，注意内部重合的面不计入表面积，再结合圆锥侧面积公式计算即可，易错点是误将内部重合的底面计入表面积导致结果错误。
【难度系数】
0.7
7. 如图,在正方形铁皮上剪下的一个圆形和一个扇形恰好能围成一个圆锥.若圆的半径是$r$,扇形的半径是$R$,则$\frac{r}{R}$的值为
$\frac{1}{4}$
.答案
7.$\frac{1}{4}$
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确扇形和圆围成圆锥时的核心等量关系：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。观察图形可知，扇形的圆心角为正方形的内角即90°，我们只需分别表示出扇形的弧长和小圆的周长，根据二者相等建立等式，即可推导出r与R的比值。
【解析】
∵ 扇形在正方形内部，
∴ 扇形的圆心角为90°，
根据弧长公式，扇形的弧长为：$l_{弧}=\frac{90π R}{180}=\frac{π R}{2}$，
小圆的周长即圆锥底面周长为：$C_{圆}=2π r$，
∵ 剪下的扇形和圆恰好围成圆锥，
∴ 扇形弧长等于底面圆周长，
即$\frac{π R}{2}=2π r$，
等式两边同时除以π得：$\frac{R}{2}=2r$，整理得$R=4r$，
∴ $\frac{r}{R}=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
圆锥展开图性质、弧长计算、圆的周长计算
【点评】
本题的解题关键是抓住圆锥展开图的对应等量关系，结合图形特征判断扇形的圆心角度数，建立等式即可求解，属于基础应用类题型，需要熟练掌握圆锥展开前后各部分的对应关系。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需明确扇形和圆围成圆锥时的核心等量关系：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。观察图形可知，扇形的圆心角为正方形的内角即90°，我们只需分别表示出扇形的弧长和小圆的周长，根据二者相等建立等式，即可推导出r与R的比值。
【解析】
∵ 扇形在正方形内部，
∴ 扇形的圆心角为90°，
根据弧长公式，扇形的弧长为：$l_{弧}=\frac{90π R}{180}=\frac{π R}{2}$，
小圆的周长即圆锥底面周长为：$C_{圆}=2π r$，
∵ 剪下的扇形和圆恰好围成圆锥，
∴ 扇形弧长等于底面圆周长，
即$\frac{π R}{2}=2π r$，
等式两边同时除以π得：$\frac{R}{2}=2r$，整理得$R=4r$，
∴ $\frac{r}{R}=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
圆锥展开图性质、弧长计算、圆的周长计算
【点评】
本题的解题关键是抓住圆锥展开图的对应等量关系，结合图形特征判断扇形的圆心角度数，建立等式即可求解，属于基础应用类题型，需要熟练掌握圆锥展开前后各部分的对应关系。
【难度系数】
0.7
8. 一种冰激凌的外包装可视为图1所示的圆锥，制作一个这种外包装需要用图2所示的材料，其中∠BAC=90°, AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合。已知圆锥底面圆的直径DE为5 cm.
(1)求图1中圆锥的母线AE的长.
(2)求加工材料的剩余部分(图2中阴影部分)的面积.
(1)求图1中圆锥的母线AE的长.
(2)求加工材料的剩余部分(图2中阴影部分)的面积.
答案
8.【解】(1)设圆锥的母线 $AE$ 的长为 $x$ cm.
根据题意,得 $π×5=\frac{90π · x}{180}$.
解得 $x=10$.
因此,圆锥的母线 $AE$ 的长为 10 cm.
(2)$\because ∠ BAC=90°,AB=AC$,
$\therefore △ ABC$ 是等腰直角三角形.
又 $AD⊥ BC$,
$\therefore BD=CD=AD$.
$\because AD=AE$,由(1)知 $AE=10$,
$\therefore AD=AE=10$.
$\therefore BC=BD+CD=2AD=20$.
$\therefore S_{\mathrm{阴影部分}}=S_{△ ABC}-S_{\mathrm{扇形}AEF}=\frac{1}{2}×10×20-\frac{90×π×10^2}{360}=100-25π$.
因此,加工材料的剩余部分的面积为 $(100-25π)\mathrm{cm}^2$.
根据题意,得 $π×5=\frac{90π · x}{180}$.
解得 $x=10$.
因此,圆锥的母线 $AE$ 的长为 10 cm.
(2)$\because ∠ BAC=90°,AB=AC$,
$\therefore △ ABC$ 是等腰直角三角形.
又 $AD⊥ BC$,
$\therefore BD=CD=AD$.
$\because AD=AE$,由(1)知 $AE=10$,
$\therefore AD=AE=10$.
$\therefore BC=BD+CD=2AD=20$.
$\therefore S_{\mathrm{阴影部分}}=S_{△ ABC}-S_{\mathrm{扇形}AEF}=\frac{1}{2}×10×20-\frac{90×π×10^2}{360}=100-25π$.
因此,加工材料的剩余部分的面积为 $(100-25π)\mathrm{cm}^2$.
解析
【分析】
(1) 第一问利用圆锥侧面展开图的核心性质求解：圆锥侧面展开为扇形时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。已知底面圆直径可求周长，结合扇形圆心角为90°，设母线长为未知量，代入弧长公式列方程即可得解。
(2) 第二问阴影面积采用“割补法”，即阴影面积=等腰直角三角形ABC的面积-扇形AEF的面积。先根据等腰直角三角形的性质，结合母线长求出三角形的底和高，计算三角形面积；再代入扇形面积公式求出扇形面积，两者作差即可得到阴影部分面积。
【解析】
(1) 设圆锥的母线$AE$的长为$x$ cm。
根据圆锥底面圆周长等于侧面展开扇形的弧长，可得：
$π × 5=\frac{90π · x}{180}$
解得$x=10$。
(2) $\because ∠ BAC=90°, AB=AC$，$\therefore △ ABC$为等腰直角三角形。
$\because AD⊥ BC$，$\therefore AD=BD=CD$，即$BC=2AD$。
由(1)可知$AE=10\ \mathrm{cm}$，且$AD=AE$，$\therefore AD=10\ \mathrm{cm}$，$BC=2×10=20\ \mathrm{cm}$。
阴影部分面积为：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ ABC}-S_{\mathrm{扇形}AEF}=\frac{1}{2}×20×10-\frac{90π×10^2}{360}=100-25π$
【答案】
(1) $10\ \mathrm{cm}$
(2) $(100-25π)\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆锥侧展特征、弧长计算、扇形面积计算
【点评】
本题结合生活应用场景，考察圆锥与平面展开图的对应关系，以及等腰直角三角形、扇形的面积公式运用，解题关键是牢记圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，侧重对基础公式的综合应用能力考察。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问利用圆锥侧面展开图的核心性质求解：圆锥侧面展开为扇形时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。已知底面圆直径可求周长，结合扇形圆心角为90°，设母线长为未知量，代入弧长公式列方程即可得解。
(2) 第二问阴影面积采用“割补法”，即阴影面积=等腰直角三角形ABC的面积-扇形AEF的面积。先根据等腰直角三角形的性质，结合母线长求出三角形的底和高，计算三角形面积；再代入扇形面积公式求出扇形面积，两者作差即可得到阴影部分面积。
【解析】
(1) 设圆锥的母线$AE$的长为$x$ cm。
根据圆锥底面圆周长等于侧面展开扇形的弧长，可得：
$π × 5=\frac{90π · x}{180}$
解得$x=10$。
(2) $\because ∠ BAC=90°, AB=AC$，$\therefore △ ABC$为等腰直角三角形。
$\because AD⊥ BC$，$\therefore AD=BD=CD$，即$BC=2AD$。
由(1)可知$AE=10\ \mathrm{cm}$，且$AD=AE$，$\therefore AD=10\ \mathrm{cm}$，$BC=2×10=20\ \mathrm{cm}$。
阴影部分面积为：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ ABC}-S_{\mathrm{扇形}AEF}=\frac{1}{2}×20×10-\frac{90π×10^2}{360}=100-25π$
【答案】
(1) $10\ \mathrm{cm}$
(2) $(100-25π)\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆锥侧展特征、弧长计算、扇形面积计算
【点评】
本题结合生活应用场景，考察圆锥与平面展开图的对应关系，以及等腰直角三角形、扇形的面积公式运用，解题关键是牢记圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，侧重对基础公式的综合应用能力考察。
【难度系数】
0.7
9. 如图，已知圆锥的底面圆的半径是2 cm，母线长是6 cm. 若从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，则这根绳子最短是
$6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
. 答案
9.$6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
要解决绕圆锥侧面一圈的最短绳长问题，需利用“两点之间线段最短”的原理，将立体的圆锥侧面转化为平面的展开图求解。第一步先计算圆锥侧面展开扇形的圆心角，第二步在展开图中找到原A点对应的两个端点，两点间的线段长度即为最短绳长。
【解析】
1. 计算圆锥底面周长：已知底面半径$r=2\mathrm{cm}$，底面周长$C=2π r=2π×2=4π\ \mathrm{cm}$，该长度等于圆锥侧面展开扇形的弧长。
2. 求侧面展开扇形的圆心角：设圆心角为$n°$，扇形半径等于圆锥母线长$R=6\mathrm{cm}$，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，代入$l=4π$、$R=6$得：
$4π=\frac{nπ×6}{180}$
约去$π$后解得$n=120$，即展开扇形的圆心角为$120°$。
3. 计算最短绳长：圆锥侧面展开后，原点A对应扇形的两个端点，两点间的线段即为最短路径。两线段与扇形顶点构成顶角为$120°$、腰长为6cm的等腰三角形，过顶点作底边的高，将其分为两个全等的直角三角形，其中一个锐角为$120°÷2=60°$。
由勾股定理，直角三角形中较短直角边（高）长为$6×\cos60°=3\mathrm{cm}$，则底边一半的长度为$\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}\mathrm{cm}$，因此最短绳长为$2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}\mathrm{cm}$。
【答案】
$6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
圆锥侧面展开图，弧长计算，最短路径求解
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型题型，解题核心是将立体侧面展开转化为平面图形，利用两点间线段最短求解，其中展开扇形圆心角的计算是解题的关键步骤。
【难度系数】
0.6
要解决绕圆锥侧面一圈的最短绳长问题，需利用“两点之间线段最短”的原理，将立体的圆锥侧面转化为平面的展开图求解。第一步先计算圆锥侧面展开扇形的圆心角，第二步在展开图中找到原A点对应的两个端点，两点间的线段长度即为最短绳长。
【解析】
1. 计算圆锥底面周长：已知底面半径$r=2\mathrm{cm}$，底面周长$C=2π r=2π×2=4π\ \mathrm{cm}$，该长度等于圆锥侧面展开扇形的弧长。
2. 求侧面展开扇形的圆心角：设圆心角为$n°$，扇形半径等于圆锥母线长$R=6\mathrm{cm}$，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，代入$l=4π$、$R=6$得：
$4π=\frac{nπ×6}{180}$
约去$π$后解得$n=120$，即展开扇形的圆心角为$120°$。
3. 计算最短绳长：圆锥侧面展开后，原点A对应扇形的两个端点，两点间的线段即为最短路径。两线段与扇形顶点构成顶角为$120°$、腰长为6cm的等腰三角形，过顶点作底边的高，将其分为两个全等的直角三角形，其中一个锐角为$120°÷2=60°$。
由勾股定理，直角三角形中较短直角边（高）长为$6×\cos60°=3\mathrm{cm}$，则底边一半的长度为$\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}\mathrm{cm}$，因此最短绳长为$2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}\mathrm{cm}$。
【答案】
$6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
圆锥侧面展开图，弧长计算，最短路径求解
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型题型，解题核心是将立体侧面展开转化为平面图形，利用两点间线段最短求解，其中展开扇形圆心角的计算是解题的关键步骤。
【难度系数】
0.6
10.如图,从一块直径为2 m 的圆形铁皮上剪下一个圆心角为$90°$的扇形.
(1)求剩余部分的面积.
(2)如果将剪下来的扇形围成一个圆锥,求围成的圆锥的底面圆的半径长.
(1)求剩余部分的面积.
(2)如果将剪下来的扇形围成一个圆锥,求围成的圆锥的底面圆的半径长.
答案
10.【解】(1)如图,连接 $AC,BO$.
$\because ∠ ABC=90°$,
$\therefore AC$ 是 $\odot O$ 的直径.
$\because AB=BC$,
$\therefore △ ABC$ 是等腰直角三角形.
$\therefore ∠ OAB=45°$.
$\because OA=OB$,
$\therefore ∠ ABO=45°$.
$\therefore △ ABO$ 为等腰直角三角形.
$\because AC=2$,
$\therefore AO=BO=1$.
$\therefore AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$.
$\therefore$ 扇形的面积为 $\frac{90π×(\sqrt{2})^2}{360}=\frac{1}{2}π$,
圆形铁皮的面积为 $π×1^2=π$.
$\because π-\frac{1}{2}π=\frac{π}{2}$,
$\therefore$ 剩余部分的面积为 $\frac{π}{2}\ \mathrm{m}^2$.
(2)由(1)得 $AB=\sqrt{2}$,
$\therefore$ 扇形的弧长为 $\frac{90π×\sqrt{2}}{180}=\frac{\sqrt{2}}{2}π$.
$\because \frac{\sqrt{2}}{2}π÷π÷2=\frac{\sqrt{2}}{4}$,
$\therefore$ 围成的圆锥的底面圆的半径长为 $\frac{\sqrt{2}}{4}\ \mathrm{m}$.
解析
【分析】
(1)求剩余部分面积可采用“整体减部分”的思路：用圆形铁皮的总面积减去剪下的扇形面积。首先根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可确定AC为圆的直径，长度为2m；再结合AB=BC可知△ABC是等腰直角三角形，即可求出扇形的半径AB的长度，分别计算圆面积和扇形面积后作差即可得到结果。
(2)扇形围成圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。先计算出扇形的弧长，再结合圆的周长公式反向推导，即可求出底面圆的半径。
【解析】
(1)如图，连接 $AC,BO$.
$\because ∠ ABC=90°$,
$\therefore AC$ 是 $\odot O$ 的直径.
$\because AB=BC$,
$\therefore △ ABC$ 是等腰直角三角形.
$\therefore ∠ OAB=45°$.
$\because OA=OB$,
$\therefore ∠ ABO=45°$.
$\therefore △ ABO$ 为等腰直角三角形.
$\because AC=2$,
$\therefore AO=BO=1$.
$\therefore AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$.
$\therefore$ 扇形的面积为 $\frac{90π×(\sqrt{2})^2}{360}=\frac{1}{2}π$,
圆形铁皮的面积为 $π×1^2=π$.
剩余部分的面积为 $π-\frac{1}{2}π=\frac{π}{2}\ (\mathrm{m}^2)$.
(2)由(1)得 $AB=\sqrt{2}$,
$\therefore$ 扇形的弧长为 $\frac{90π×\sqrt{2}}{180}=\frac{\sqrt{2}}{2}π$.
设圆锥底面圆的半径为$r$，根据底面圆周长等于扇形弧长，可得$2πr=\frac{\sqrt{2}}{2}π$，
解得$r=\frac{\sqrt{2}}{4}\ \mathrm{m}$.
【答案】
(1)剩余部分的面积为$\frac{π}{2}\ \mathrm{m}^2$；
(2)围成的圆锥的底面圆的半径长为$\frac{\sqrt{2}}{4}\ \mathrm{m}$.
【知识点】
圆周角定理；扇形弧长与面积计算；圆锥侧面展开图性质
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质、扇形的相关运算以及圆锥侧面展开图的对应关系，解题的核心是抓住“90°圆周角对应直径”以及“扇形弧长等于圆锥底面周长”两个关键等量关系，是几何计算类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
(1)求剩余部分面积可采用“整体减部分”的思路：用圆形铁皮的总面积减去剪下的扇形面积。首先根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可确定AC为圆的直径，长度为2m；再结合AB=BC可知△ABC是等腰直角三角形，即可求出扇形的半径AB的长度，分别计算圆面积和扇形面积后作差即可得到结果。
(2)扇形围成圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。先计算出扇形的弧长，再结合圆的周长公式反向推导，即可求出底面圆的半径。
【解析】
(1)如图，连接 $AC,BO$.
$\because ∠ ABC=90°$,
$\therefore AC$ 是 $\odot O$ 的直径.
$\because AB=BC$,
$\therefore △ ABC$ 是等腰直角三角形.
$\therefore ∠ OAB=45°$.
$\because OA=OB$,
$\therefore ∠ ABO=45°$.
$\therefore △ ABO$ 为等腰直角三角形.
$\because AC=2$,
$\therefore AO=BO=1$.
$\therefore AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$.
$\therefore$ 扇形的面积为 $\frac{90π×(\sqrt{2})^2}{360}=\frac{1}{2}π$,
圆形铁皮的面积为 $π×1^2=π$.
剩余部分的面积为 $π-\frac{1}{2}π=\frac{π}{2}\ (\mathrm{m}^2)$.
(2)由(1)得 $AB=\sqrt{2}$,
$\therefore$ 扇形的弧长为 $\frac{90π×\sqrt{2}}{180}=\frac{\sqrt{2}}{2}π$.
设圆锥底面圆的半径为$r$，根据底面圆周长等于扇形弧长，可得$2πr=\frac{\sqrt{2}}{2}π$，
解得$r=\frac{\sqrt{2}}{4}\ \mathrm{m}$.
【答案】
(1)剩余部分的面积为$\frac{π}{2}\ \mathrm{m}^2$；
(2)围成的圆锥的底面圆的半径长为$\frac{\sqrt{2}}{4}\ \mathrm{m}$.
【知识点】
圆周角定理；扇形弧长与面积计算；圆锥侧面展开图性质
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质、扇形的相关运算以及圆锥侧面展开图的对应关系，解题的核心是抓住“90°圆周角对应直径”以及“扇形弧长等于圆锥底面周长”两个关键等量关系，是几何计算类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
11.如图，用原纸制作一个纸杯，其形状是一个圆锥的一部分，这个圆锥的侧面展开图是扇形OAB.经测量，纸杯上开口圆的直径是6 cm，下底面圆的直径是4 cm，EF=AC=8 cm.求扇形OAB的圆心角及制作这个纸杯需要多少平方厘米的原纸.（原纸的厚度忽略不计）
答案
11.【解】易求得 $\overset{\frown}{AB}$ 长 $6π$ cm,$\overset{\frown}{CD}$ 长 $4π$ cm.
设 $∠ AOB=n°,AO=R$,则 $CO=R-8$.
根据弧长公式,得$\begin{cases}\frac{nπ R}{180}=6π,\\\frac{nπ(R-8)}{180}=4π.\end{cases}$
解得$\begin{cases}n=45,\\R=24.\end{cases}$
$\therefore$ 扇形 $OAB$ 的圆心角为 $45°$.
由 $R=24$,得 $R-8=16$.
$\therefore S_{\mathrm{扇形}OCD}=\frac{1}{2}×4π×16=32π$,
$S_{\mathrm{扇形}OAB}=\frac{1}{2}×6π×24=72π$.
又 $S_{\mathrm{下底面圆}}=π×(\frac{4}{2})^2=4π$,
$\therefore72π-32π+4π=44π$.
$\therefore$ 制作这个纸杯需要 $44π\ \mathrm{cm}^2$ 的原纸.
设 $∠ AOB=n°,AO=R$,则 $CO=R-8$.
根据弧长公式,得$\begin{cases}\frac{nπ R}{180}=6π,\\\frac{nπ(R-8)}{180}=4π.\end{cases}$
解得$\begin{cases}n=45,\\R=24.\end{cases}$
$\therefore$ 扇形 $OAB$ 的圆心角为 $45°$.
由 $R=24$,得 $R-8=16$.
$\therefore S_{\mathrm{扇形}OCD}=\frac{1}{2}×4π×16=32π$,
$S_{\mathrm{扇形}OAB}=\frac{1}{2}×6π×24=72π$.
又 $S_{\mathrm{下底面圆}}=π×(\frac{4}{2})^2=4π$,
$\therefore72π-32π+4π=44π$.
$\therefore$ 制作这个纸杯需要 $44π\ \mathrm{cm}^2$ 的原纸.
解析
【分析】
解题首先要明确纸杯结构：纸杯侧面是大扇形OAB减去小扇形OCD的部分，上开口圆的周长对应弧AB的长，下底面圆的周长对应弧CD的长。第一步先计算两段弧的长度；第二步设圆心角为n°、大扇形半径OA=R，可得小扇形半径OC=R-8，结合弧长公式列二元一次方程组，求解即可得到圆心角和R的值；第三步计算所需原纸面积，等于侧面积（大扇形面积减小扇形面积）加下底面圆的面积（纸杯仅需封底，开口无需额外加面积），分别代入公式计算求和即可。
【解析】
1. 计算两段弧的长度：
上开口圆直径为6cm，因此$\overset{\frown}{AB}$的长$=π×6=6π\ \mathrm{cm}$；
下底面圆直径为4cm，因此$\overset{\frown}{CD}$的长$=π×4=4π\ \mathrm{cm}$。
2. 求解圆心角和扇形半径：
设$∠ AOB=n°$，$AO=R\ \mathrm{cm}$，则$CO=R-8\ \mathrm{cm}$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$列方程组：
$\begin{cases}\frac{nπ R}{180}=6π\\\frac{nπ(R-8)}{180}=4π\end{cases}$
消去π后化简得：
$\begin{cases}nR=1080\\n(R-8)=720\end{cases}$
两式相减得$8n=360$，解得$n=45$，代入得$R=24$。
即扇形OAB的圆心角为$45°$。
3. 计算所需原纸面积：
大扇形面积：$S_{\mathrm{扇形}OAB}=\frac{1}{2}× l_{\overset{\frown}{AB}}× R=\frac{1}{2}×6π×24=72π\ \mathrm{cm}^2$
小扇形面积：$S_{\mathrm{扇形}OCD}=\frac{1}{2}× l_{\overset{\frown}{CD}}× (R-8)=\frac{1}{2}×4π×16=32π\ \mathrm{cm}^2$
下底面圆面积：$S_{\mathrm{底}}=π×(\frac{4}{2})^2=4π\ \mathrm{cm}^2$
所需原纸总面积$=72π-32π+4π=44π\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
扇形OAB的圆心角为$\boldsymbol{45°}$，制作这个纸杯需要$\boldsymbol{44π\ \mathrm{cm}^2}$的原纸。
【知识点】
弧长公式应用；扇形面积计算；圆的面积计算
【点评】
本题结合生活场景考查几何公式的综合运用，解题核心是找准圆台底面周长和展开图弧长的对应关系，计算总面积时注意不要遗漏纸杯下底面的面积。
【难度系数】
0.6
解题首先要明确纸杯结构：纸杯侧面是大扇形OAB减去小扇形OCD的部分，上开口圆的周长对应弧AB的长，下底面圆的周长对应弧CD的长。第一步先计算两段弧的长度；第二步设圆心角为n°、大扇形半径OA=R，可得小扇形半径OC=R-8，结合弧长公式列二元一次方程组，求解即可得到圆心角和R的值；第三步计算所需原纸面积，等于侧面积（大扇形面积减小扇形面积）加下底面圆的面积（纸杯仅需封底，开口无需额外加面积），分别代入公式计算求和即可。
【解析】
1. 计算两段弧的长度：
上开口圆直径为6cm，因此$\overset{\frown}{AB}$的长$=π×6=6π\ \mathrm{cm}$；
下底面圆直径为4cm，因此$\overset{\frown}{CD}$的长$=π×4=4π\ \mathrm{cm}$。
2. 求解圆心角和扇形半径：
设$∠ AOB=n°$，$AO=R\ \mathrm{cm}$，则$CO=R-8\ \mathrm{cm}$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$列方程组：
$\begin{cases}\frac{nπ R}{180}=6π\\\frac{nπ(R-8)}{180}=4π\end{cases}$
消去π后化简得：
$\begin{cases}nR=1080\\n(R-8)=720\end{cases}$
两式相减得$8n=360$，解得$n=45$，代入得$R=24$。
即扇形OAB的圆心角为$45°$。
3. 计算所需原纸面积：
大扇形面积：$S_{\mathrm{扇形}OAB}=\frac{1}{2}× l_{\overset{\frown}{AB}}× R=\frac{1}{2}×6π×24=72π\ \mathrm{cm}^2$
小扇形面积：$S_{\mathrm{扇形}OCD}=\frac{1}{2}× l_{\overset{\frown}{CD}}× (R-8)=\frac{1}{2}×4π×16=32π\ \mathrm{cm}^2$
下底面圆面积：$S_{\mathrm{底}}=π×(\frac{4}{2})^2=4π\ \mathrm{cm}^2$
所需原纸总面积$=72π-32π+4π=44π\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
扇形OAB的圆心角为$\boldsymbol{45°}$，制作这个纸杯需要$\boldsymbol{44π\ \mathrm{cm}^2}$的原纸。
【知识点】
弧长公式应用；扇形面积计算；圆的面积计算
【点评】
本题结合生活场景考查几何公式的综合运用，解题核心是找准圆台底面周长和展开图弧长的对应关系，计算总面积时注意不要遗漏纸杯下底面的面积。
【难度系数】
0.6
