1.化简后，与$\sqrt{2}$的被开方数相同的二次根式是（）

A.$\sqrt{12}$
B.$\sqrt{18}$
C.$\sqrt{\frac{1}{4}}$
D.$\sqrt{\frac{2}{3}}$

1.B

【分析】
要找出化简后与$\sqrt{2}$被开方数相同的二次根式，核心思路是先将每个选项的二次根式化为最简二次根式（最简二次根式需满足：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式），再对比化简后的被开方数是否为2即可。
【解析】
我们逐个化简选项中的二次根式：
A. $\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，化简后被开方数是3，不符合要求；
B. $\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，化简后被开方数是2，符合要求；
C. $\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$，结果是有理数，不符合要求；
D. $\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{2×3}{3×3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，化简后被开方数是6，不符合要求。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式化简，最简二次根式，同类二次根式
【点评】
本题考查同类二次根式的判断，解题的关键是牢记要先将二次根式化为最简形式后再对比被开方数，不可直接观察原式的被开方数误选答案。
【难度系数】
0.8

2.若$\sqrt{3a}$是最简二次根式，则a的值可以是（）

A.6
B.$\frac{1}{6}$
C.2
D.0.5

2.C

【分析】
首先明确最简二次根式的两个判定条件：1.被开方数的因数是整数，因式是整式（即被开方数不含分母）；2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时只需将每个选项的a值代入3a中，验证得到的被开方数是否满足上述两个条件即可。
【解析】
解：最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。
对各选项逐一分析：
A. 当a=6时，3a=18，$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，不是最简二次根式，不符合要求；
B. 当$a=\frac{1}{6}$时，$3a=3×\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合要求；
C. 当a=2时，3a=6，$\sqrt{6}$的被开方数是整数，且不含能开得尽方的因数，是最简二次根式，符合要求；
D. 当a=0.5时，$0.5=\frac{1}{2}$，$3a=\frac{3}{2}$，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
最简二次根式的判定；二次根式的化简
【点评】
本题考查最简二次根式的相关知识，属于基础题型，解题的关键是牢记最简二次根式的两个判定条件，代入选项逐一验证即可得出正确结果，注意遇到小数形式的数值时可先转化为分数再判断是否含分母。
【难度系数】
0.8

3.有下列二次根式：① $\sqrt{24}$；② $2\sqrt{7}$；③ $\sqrt{14}$；④ $\sqrt{\frac{1}{3}}$。其中是最简二次根式的有 （填序号）。

3.②③

【分析】
要判断给出的二次根式是否为最简二次根式，首先要明确最简二次根式的两个判定条件：一是被开方数不含分母；二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们只需对照这两个条件逐一验证每个式子，就能筛选出符合要求的最简二次根式。
【解析】
我们逐个分析给出的二次根式：
① $\sqrt{24}$：被开方数24可分解为$4×6$，其中4是能开得尽方的因数，化简可得$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，因此不是最简二次根式；
② $2\sqrt{7}$：被开方数7是质数，没有能开得尽方的因数，且被开方数不含分母，满足最简二次根式的条件，属于最简二次根式；
③ $\sqrt{14}$：被开方数14可分解为$2×7$，两个因数都不能开得尽方，且被开方数不含分母，满足最简二次根式的条件，属于最简二次根式；
④ $\sqrt{\frac{1}{3}}$：被开方数含有分母，化简可得$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，因此不是最简二次根式。
综上，最简二次根式为②③。
【答案】
②③
【知识点】
最简二次根式的判定、二次根式的化简
【点评】
本题是基础类题目，核心考查最简二次根式的判定规则，只要熟练掌握最简二次根式的两个判定条件，逐一排查即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8

4.如果两个最简二次根式$\sqrt{3a-1}$与$\sqrt{2a+3}$能合并，那么$a=$。

4.4

【分析】
解题时首先明确：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，就是可以合并的同类二次根式。本题已经给出两个都是最简二次根式且能合并，因此它们的被开方数相等，据此可列一元一次方程求解，最后要验证解出的a是否满足二次根式有意义（被开方数≥0）的条件。
【解析】
∵ 两个最简二次根式$\sqrt{3a-1}$与$\sqrt{2a+3}$能合并
∴ 二者是同类二次根式，被开方数相等，可得方程：
$3a - 1 = 2a + 3$
移项得：$3a - 2a = 3 + 1$
解得：$a = 4$
检验：当$a=4$时，$3a-1=3×4-1=11＞0$，$2a+3=2×4+3=11＞0$，两个根式都有意义，且均为最简二次根式，符合题意。
【答案】
4
【知识点】
同类二次根式，最简二次根式，二次根式有意义的条件
【点评】
本题是二次根式部分的基础题型，解题核心是理解最简二次根式可合并的本质是被开方数相同，求解后注意验证二次根式的被开方数非负，避免出现增根。
【难度系数】
0.8

5.计算。
(1)$3\sqrt{2}-\sqrt{8}+\sqrt{16}$；
(2)$(4\sqrt{2}-\sqrt{3})×\sqrt{2}$。

(1) 原式=$3\sqrt{2}-2\sqrt{2}+4=\sqrt{2}+4$。
(2) 原式=$4×2-\sqrt{6}=8-\sqrt{6}$。

【分析】
本题考查二次根式的混合运算，解题思路如下：
(1) 先将式子中所有非最简的二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式、整理常数项即可得到结果：先把$\sqrt{8}$化简为$2\sqrt{2}$，$\sqrt{16}$开平方得4，再合并含$\sqrt{2}$的项。
(2) 类比整式乘法的分配律，将括号外的$\sqrt{2}$分别与括号内的两项相乘，再根据二次根式的乘法法则计算，最后化简结果即可。
【解析】
(1) 先化简各二次根式：
$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{16}=4$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}+4\\&=(3-2)\sqrt{2}+4\\&=\sqrt{2}+4\end{aligned}$
(2) 根据乘法分配律展开计算：
$\begin{aligned}原式&=4\sqrt{2}×\sqrt{2}-\sqrt{3}×\sqrt{2}\\&=4×(\sqrt{2})^2-\sqrt{3×2}\\&=4×2-\sqrt{6}\\&=8-\sqrt{6}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\sqrt{2}+4$；(2) $8-\sqrt{6}$
【知识点】
二次根式的化简；二次根式的乘法运算；乘法分配律
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心考查二次根式的化简规则和基本运算规律，只要熟练掌握最简二次根式的化简方法、二次根式乘法法则，运算时细心即可得分。
【难度系数】
0.8

6. 提升题▶有一道题:已知 $a=\frac{1}{2+\sqrt{3}}$,求 $2a^2 -8a +1$ 的值。小明的解题过程如下:
因为 $a=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}$,
所以 $a-2=-\sqrt{3}$。
所以 $(a-2)^2=3$,即 $a^2 -4a +4=3$。
所以 $a^2 -4a=-1$。
所以 $2a^2 -8a +1=2(a^2 -4a)+1=2×(-1)+1=-1$。
请你根据小明的解题过程,解答下列问题。
(1)计算: $\frac{1}{\sqrt{2}+1}=$ 。
(2)化简 $\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+…+\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}$。
(3)若 $a=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$,求 $4a^2 -8a +1$ 的值。

(1) $\sqrt{2}-1$
(2) 原式=$(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+…+(\sqrt{100}-\sqrt{99})=\sqrt{100}-1=10-1=9$。
(3) 因为$a=\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1$，
所以$a-1=\sqrt{2}$，
所以$(a-1)^2=2$，即$a^2-2a+1=2$，
所以$a^2-2a=1$。
所以原式=$4(a^2-2a)+1=4×1+1=5$。

【分析】
(1) 对于分母含二次根式的分式化简，首先想到分母有理化，利用平方差公式，给分子分母同乘分母的有理化因式$\sqrt{2}-1$，消去分母的根号即可得到结果。
(2) 观察算式中每一项的结构，都和第(1)问的分式结构一致，因此先对每一项做分母有理化，将每一项拆成两个二次根式的差，再相加时中间互为相反数的项会相互抵消，仅保留首尾两项，即可快速算出结果。
(3) 参考题干中小明的解题思路，先将$a$化简为最简二次根式形式，再通过移项后平方得到$a^2-2a$的值，最后将所求代数式变形为含有$a^2-2a$的形式，整体代入求值即可，避免直接代入计算的繁琐。
【解析】
(1) 对$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$分母有理化：
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}=\sqrt{2}-1$。
(2) 先对每一项分母有理化，再合并：
原式$=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\dots+(\sqrt{100}-\sqrt{99})$
观察发现中间项两两抵消，剩余：$\sqrt{100}-1=10-1=9$。
(3) 先化简$a$，再整体代入：
因为$a=\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\sqrt{2}+1$，
移项得$a-1=\sqrt{2}$，两边平方得$(a-1)^2=2$，即$a^2-2a+1=2$，
整理得$a^2-2a=1$。
将所求代数式变形：$4a^2-8a+1=4(a^2-2a)+1$，代入$a^2-2a=1$得：
$4×1+1=5$。
【答案】
(1) $\sqrt{2}-1$
(2) $9$
(3) $5$
【知识点】
分母有理化，二次根式加减运算，整体代入求值
【点评】
本题主要围绕二次根式的化简运算展开，结合了裂项相消、整体代入的思想，熟练掌握平方差公式和灵活运用简便运算方法是解决这类问题的关键，能有效减少计算量，提高准确率。
【难度系数】
0.7