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1. 有下列四个命题,其中正确的有 （）
①圆的对称轴是直径;②经过三个点一定可以作圆;③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等;④半径相等的两个半圆是等弧.
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
①圆的对称轴是直径;②经过三个点一定可以作圆;③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等;④半径相等的两个半圆是等弧.
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
C
解析
【分析】
本题考查圆的相关基础概念辨析，解题时需逐一分析每个命题，结合对应知识点判断对错，最后统计正确命题的个数即可得到答案。首先回忆对称轴的定义、确定圆的条件、三角形外心的性质、等弧的定义四个核心知识点，逐个排查命题正误。
【解析】
我们对四个命题逐一判断：
1. 命题①：对称轴是直线，而直径是线段，圆的对称轴是直径所在的直线，不是直径本身，故①错误；
2. 命题②：只有经过不在同一直线上的三个点才能确定一个圆，若三个点共线则无法作圆，故②错误；
3. 命题③：三角形的外心是三角形外接圆的圆心，为三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离都等于外接圆的半径，因此距离都相等，故③正确；
4. 命题④：等弧是指能够完全重合的弧，半径相等的两个半圆长度相同、弯曲程度一致，可以完全重合，属于等弧，故④正确。
综上，正确的命题有③和④，共2个。
【答案】
C
【知识点】
圆的基础概念；确定圆的条件；三角形外心的性质
【点评】
本题属于基础概念类考题，侧重考查对概念细节的掌握，易错点在于忽略对称轴为直线、三点作圆要求三点不共线的前提条件，学习时要注意准确记忆概念的限定条件。
【难度系数】
0.7
本题考查圆的相关基础概念辨析，解题时需逐一分析每个命题，结合对应知识点判断对错，最后统计正确命题的个数即可得到答案。首先回忆对称轴的定义、确定圆的条件、三角形外心的性质、等弧的定义四个核心知识点，逐个排查命题正误。
【解析】
我们对四个命题逐一判断：
1. 命题①：对称轴是直线，而直径是线段，圆的对称轴是直径所在的直线，不是直径本身，故①错误；
2. 命题②：只有经过不在同一直线上的三个点才能确定一个圆，若三个点共线则无法作圆，故②错误；
3. 命题③：三角形的外心是三角形外接圆的圆心，为三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离都等于外接圆的半径，因此距离都相等，故③正确；
4. 命题④：等弧是指能够完全重合的弧，半径相等的两个半圆长度相同、弯曲程度一致，可以完全重合，属于等弧，故④正确。
综上，正确的命题有③和④，共2个。
【答案】
C
【知识点】
圆的基础概念；确定圆的条件；三角形外心的性质
【点评】
本题属于基础概念类考题，侧重考查对概念细节的掌握，易错点在于忽略对称轴为直线、三点作圆要求三点不共线的前提条件，学习时要注意准确记忆概念的限定条件。
【难度系数】
0.7
2. 用反证法证明时,假设结论“点在圆外”不成立,那么点与圆的位置关系只能是 ()
A.点在圆内
B.点在圆上
C.点在圆心上
D.点在圆上或圆内
A.点在圆内
B.点在圆上
C.点在圆心上
D.点在圆上或圆内
答案
D
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心要点：一是反证法的假设规则，反证法证明命题时，需假设原结论不成立，即原结论的反面成立；二是点与圆的位置关系的所有分类，共有点在圆外、点在圆上、点在圆内三种。原结论为“点在圆外”，它不成立就意味着排除“点在圆外”这一种情况，剩下的所有位置关系就是符合要求的结果。
【解析】
点与圆的位置关系共有三类：点在圆外、点在圆上、点在圆内。
用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，即点不在圆外，排除“点在圆外”的情况后，剩余的位置关系为点在圆上或点在圆内。
因此符合要求的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
反证法；点与圆的位置关系
【点评】
本题侧重考查基础概念的应用，解题关键是要明确结论的反面需覆盖除原结论外的全部可能情况，不要漏记点在圆上这种情况。
【难度系数】
0.85
解题时首先要明确两个核心要点：一是反证法的假设规则，反证法证明命题时，需假设原结论不成立，即原结论的反面成立；二是点与圆的位置关系的所有分类，共有点在圆外、点在圆上、点在圆内三种。原结论为“点在圆外”，它不成立就意味着排除“点在圆外”这一种情况，剩下的所有位置关系就是符合要求的结果。
【解析】
点与圆的位置关系共有三类：点在圆外、点在圆上、点在圆内。
用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，即点不在圆外，排除“点在圆外”的情况后，剩余的位置关系为点在圆上或点在圆内。
因此符合要求的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
反证法；点与圆的位置关系
【点评】
本题侧重考查基础概念的应用，解题关键是要明确结论的反面需覆盖除原结论外的全部可能情况，不要漏记点在圆上这种情况。
【难度系数】
0.85
3. 如图1,点A,B,C,D在$\odot O$上,$∠ AOC=120°$,点B是$\overset{\frown}{AC}$的中点,则$∠ D$的度数是 （）
A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件思考：已知点B是弧AC的中点，根据弧中点的性质可得弧AB与弧BC相等，对应的圆心角也相等，因此可以先求出弧AB对应的圆心角∠AOB的度数；再观察∠D是弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠D的度数。
【解析】
解：
∵点B是$\overset{\frown}{AC}$的中点
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$
∴$∠ AOB=\frac{1}{2}∠ AOC$
又
∵$∠ AOC=120°$
∴$∠ AOB=\frac{1}{2}×120°=60°$
∵$∠ D$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，$∠ AOB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半
∴$∠ D=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×60°=30°$
【答案】
A
【知识点】
弧中点的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查圆中弧、圆心角、圆周角的对应关系，只要熟练掌握相关性质定理，准确找到角对应的弧，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合已知条件思考：已知点B是弧AC的中点，根据弧中点的性质可得弧AB与弧BC相等，对应的圆心角也相等，因此可以先求出弧AB对应的圆心角∠AOB的度数；再观察∠D是弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠D的度数。
【解析】
解：
∵点B是$\overset{\frown}{AC}$的中点
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$
∴$∠ AOB=\frac{1}{2}∠ AOC$
又
∵$∠ AOC=120°$
∴$∠ AOB=\frac{1}{2}×120°=60°$
∵$∠ D$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，$∠ AOB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半
∴$∠ D=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×60°=30°$
【答案】
A
【知识点】
弧中点的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查圆中弧、圆心角、圆周角的对应关系，只要熟练掌握相关性质定理，准确找到角对应的弧，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 如图2,AB是$\odot O$的直径,D和C是$\odot O$上的点,$∠ ADC=115°$,则$∠ BAC$的度数是 ()
A.$25°$
B.$30°$
C.$35°$
D.$40°$
A.$25°$
B.$30°$
C.$35°$
D.$40°$
答案
A
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：1. 首先观察到四边形ABCD是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可由已知∠ADC的度数求出∠ABC的度数；2. 再结合AB是圆的直径，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB=90°；3. 最后在直角三角形ACB中，利用直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC + ∠ABC = 180°（圆内接四边形对角互补），
∵∠ADC=115°，
∴∠ABC=180°-115°=65°。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ABC中，∠BAC + ∠ABC = 90°，
∴∠BAC=90°-65°=25°。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；直角三角形的性质
【点评】
本题是圆性质应用的基础题型，解题核心是熟练掌握圆内接四边形的对角互补、直径所对圆周角为直角这两个核心性质，结合三角形内角和相关知识即可快速求解，是圆章节的常考基础题。
【难度系数】
0.85
解题时可按以下思路推导：1. 首先观察到四边形ABCD是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可由已知∠ADC的度数求出∠ABC的度数；2. 再结合AB是圆的直径，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB=90°；3. 最后在直角三角形ACB中，利用直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC + ∠ABC = 180°（圆内接四边形对角互补），
∵∠ADC=115°，
∴∠ABC=180°-115°=65°。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ABC中，∠BAC + ∠ABC = 90°，
∴∠BAC=90°-65°=25°。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；直角三角形的性质
【点评】
本题是圆性质应用的基础题型，解题核心是熟练掌握圆内接四边形的对角互补、直径所对圆周角为直角这两个核心性质，结合三角形内角和相关知识即可快速求解，是圆章节的常考基础题。
【难度系数】
0.85
5. 如图3,圆锥底面半径为r cm,母线长为10 cm,其侧面展开图是圆心角为216°的扇形,则r的值为 ()
A.3
B.6
C.$3π$
D.$6π$
A.3
B.6
C.$3π$
D.$6π$
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，需抓住圆锥侧面展开图和圆锥本身的核心等量关系：圆锥底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长。首先分别写出底面周长公式和扇形弧长公式，再将已知的圆心角、母线长代入，建立关于r的方程，最后解方程即可求出r的值。
【解析】
∵圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长
扇形的弧长公式为$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径即圆锥母线长），底面圆周长公式为$C=2π r$
已知$n=216°$，$R=10\mathrm{cm}$，代入等量关系得：
$2π r=\frac{216×π×10}{180}$
两边同时除以$π$得：$2r=\frac{2160}{180}=12$
解得$r=6$
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面展开图性质；弧长计算；圆的周长计算
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是明确圆锥与侧面展开扇形的对应等量关系，熟记相关公式即可快速求解，是同类型考题中的常见考法。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需抓住圆锥侧面展开图和圆锥本身的核心等量关系：圆锥底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长。首先分别写出底面周长公式和扇形弧长公式，再将已知的圆心角、母线长代入，建立关于r的方程，最后解方程即可求出r的值。
【解析】
∵圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长
扇形的弧长公式为$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径即圆锥母线长），底面圆周长公式为$C=2π r$
已知$n=216°$，$R=10\mathrm{cm}$，代入等量关系得：
$2π r=\frac{216×π×10}{180}$
两边同时除以$π$得：$2r=\frac{2160}{180}=12$
解得$r=6$
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面展开图性质；弧长计算；圆的周长计算
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是明确圆锥与侧面展开扇形的对应等量关系，熟记相关公式即可快速求解，是同类型考题中的常见考法。
【难度系数】
0.8
6. (2026·吉林)如图4,△ABC是⊙O的内接三角形,AB是⊙O的直径,点P为边AC上不与点A,C重合的任意一点,连接BP.若∠BAC=60°,则∠ABP的度数可能为 ()
A.20°
B.35°
C.45°
D.60°
A.20°
B.35°
C.45°
D.60°
答案
A
解析
【分析】
解题思路：首先根据AB是⊙O直径的条件，利用圆周角定理的推论得到∠ACB为直角；再结合已知的∠BAC=60°，用三角形内角和定理计算出∠ABC的度数；最后根据点P在AC上（不与A、C重合）的位置特征，判断∠ABP的取值范围，对比选项选出符合条件的答案。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，
∴根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB=90°。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
∠ABC = 180° - ∠ACB - ∠BAC = 180° - 90° - 60° = 30°。
∵点P为边AC上不与A、C重合的点，
∴射线BP在∠ABC内部，即∠ABP ＜ ∠ABC=30°。
对比四个选项，只有20°小于30°，符合要求。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理推论、三角形内角和、角的大小比较
【点评】
本题是基础的几何角度判断题，解题的关键是熟练运用直径所对圆周角为直角的性质，先求出定角的度数，再结合动点的位置确定所求角的取值范围，进而选出正确答案。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先根据AB是⊙O直径的条件，利用圆周角定理的推论得到∠ACB为直角；再结合已知的∠BAC=60°，用三角形内角和定理计算出∠ABC的度数；最后根据点P在AC上（不与A、C重合）的位置特征，判断∠ABP的取值范围，对比选项选出符合条件的答案。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，
∴根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB=90°。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
∠ABC = 180° - ∠ACB - ∠BAC = 180° - 90° - 60° = 30°。
∵点P为边AC上不与A、C重合的点，
∴射线BP在∠ABC内部，即∠ABP ＜ ∠ABC=30°。
对比四个选项，只有20°小于30°，符合要求。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理推论、三角形内角和、角的大小比较
【点评】
本题是基础的几何角度判断题，解题的关键是熟练运用直径所对圆周角为直角的性质，先求出定角的度数，再结合动点的位置确定所求角的取值范围，进而选出正确答案。
【难度系数】
0.8
