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1. 正六边形的边长、边心距、半径之比为（）
A.$1:1:\sqrt{3}$
B.$2:2:\sqrt{3}$
C.$2:\sqrt{3}:2$
D.$\sqrt{3}:2:2$
A.$1:1:\sqrt{3}$
B.$2:2:\sqrt{3}$
C.$2:\sqrt{3}:2$
D.$\sqrt{3}:2:2$
答案
C
解析
【分析】
解题思路：首先回忆正多边形与圆的相关概念，正六边形的半径指其外接圆的半径，边心距是正六边形中心到任意一条边的距离。第一步先明确正六边形的中心角为60°，可推出两条半径与边长构成等边三角形，因此边长等于半径；第二步利用勾股定理，在半径、边心距、半条边长构成的直角三角形中求出边心距；最后化简三者的比值即可得到答案。
【解析】
设正六边形的边长为$a$：
1. 求正六边形的半径：正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，因此由两条外接圆半径和一条边长组成的三角形是等边三角形，可得正六边形的半径$R=a$。
2. 求正六边形的边心距：边心距是中心到边的垂线段长度，它将上述等边三角形分为两个全等的直角三角形，其中一条直角边为边长的一半$\frac{a}{2}$，斜边为半径$R=a$。根据勾股定理，边心距$r=\sqrt{R^2-(\frac{a}{2})^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$。
3. 求比值：边长:边心距:半径$=a:\frac{\sqrt{3}}{2}a:a=2:\sqrt{3}:2$。
【答案】
C
【知识点】
正六边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定
【点评】
本题是正多边形与圆相关的基础题，解题核心是掌握正六边形边长等于外接圆半径这一特殊性质，结合勾股定理即可快速求解，需要熟练区分正多边形的半径、边心距等概念。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先回忆正多边形与圆的相关概念，正六边形的半径指其外接圆的半径，边心距是正六边形中心到任意一条边的距离。第一步先明确正六边形的中心角为60°，可推出两条半径与边长构成等边三角形，因此边长等于半径；第二步利用勾股定理，在半径、边心距、半条边长构成的直角三角形中求出边心距；最后化简三者的比值即可得到答案。
【解析】
设正六边形的边长为$a$：
1. 求正六边形的半径：正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，因此由两条外接圆半径和一条边长组成的三角形是等边三角形，可得正六边形的半径$R=a$。
2. 求正六边形的边心距：边心距是中心到边的垂线段长度，它将上述等边三角形分为两个全等的直角三角形，其中一条直角边为边长的一半$\frac{a}{2}$，斜边为半径$R=a$。根据勾股定理，边心距$r=\sqrt{R^2-(\frac{a}{2})^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$。
3. 求比值：边长:边心距:半径$=a:\frac{\sqrt{3}}{2}a:a=2:\sqrt{3}:2$。
【答案】
C
【知识点】
正六边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定
【点评】
本题是正多边形与圆相关的基础题，解题核心是掌握正六边形边长等于外接圆半径这一特殊性质，结合勾股定理即可快速求解，需要熟练区分正多边形的半径、边心距等概念。
【难度系数】
0.8
2. 如图1，P为$\odot O$外一点，PA和PB分别切$\odot O$于点A和B，CD切$\odot O$于点E，分别交PA和PB于点C和D。若$PA=6$，则$△ PCD$的周长为（）
A.8
B.6
C.12
D.10
A.8
B.6
C.12
D.10
答案
C
解析
【分析】
解题时首先结合题干中的切线条件，联想到切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。先得到PA=PB，再得到CE=CA、DE=DB，再将△PCD的周长拆分后通过等线段替换，转化为PA与PB的和，即可求出结果。
【解析】
解：
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，根据切线长定理可得
∴PA = PB = 6，
又
∵CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，
同理可得：CA = CE，DB = DE，
∴△PCD的周长为：
$C_{△ PCD} = PC + CD + PD$
$= PC + CE + ED + PD$
将CE替换为CA，ED替换为DB，可得：
$= PC + CA + DB + PD$
$= (PC + CA) + (PD + DB)$
$= PA + PB$
$= 6 + 6 = 12$
【答案】
C
【知识点】
切线长定理；三角形周长计算
【点评】
本题考查切线长定理的实际应用，核心解题思路是通过等线段替换将未知的三角形周长转化为已知的切线长之和，熟练掌握切线长定理即可快速解答。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合题干中的切线条件，联想到切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。先得到PA=PB，再得到CE=CA、DE=DB，再将△PCD的周长拆分后通过等线段替换，转化为PA与PB的和，即可求出结果。
【解析】
解：
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，根据切线长定理可得
∴PA = PB = 6，
又
∵CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，
同理可得：CA = CE，DB = DE，
∴△PCD的周长为：
$C_{△ PCD} = PC + CD + PD$
$= PC + CE + ED + PD$
将CE替换为CA，ED替换为DB，可得：
$= PC + CA + DB + PD$
$= (PC + CA) + (PD + DB)$
$= PA + PB$
$= 6 + 6 = 12$
【答案】
C
【知识点】
切线长定理；三角形周长计算
【点评】
本题考查切线长定理的实际应用，核心解题思路是通过等线段替换将未知的三角形周长转化为已知的切线长之和，熟练掌握切线长定理即可快速解答。
【难度系数】
0.7
3.(2026·湖北)如图2,PA与$\odot O$相切于点A,连接PO并延长交$\odot O$于点B,连接AB.若$∠B=24°$,则$∠P$的度数是 ()
A.$42°$
B.$48°$
C.$56°$
D.$66°$
A.$42°$
B.$48°$
C.$56°$
D.$66°$
答案
A
解析
【分析】
解决本题的核心思路是利用切线的性质构造直角三角形，结合圆的半径相等得到等腰三角形，再利用三角形角度关系计算所求角：①看到切线PA，优先连接过切点的半径OA，可得OA⊥PA，得到Rt△OAP；②OA和OB都是⊙O的半径，故△OAB是等腰三角形，可推出底角相等，进而求出∠AOP的度数；③在Rt△OAP中利用两锐角互余即可求出∠P的度数。
【解析】
解：连接OA，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PA，即∠OAP=90°，
∵OA=OB（同圆的半径相等），
∴∠OAB=∠B=24°，
∵∠AOP是△OAB的外角，
∴∠AOP=∠B+∠OAB=24°+24°=48°，
在Rt△OAP中，∠P+∠AOP=90°，
∴∠P=90°-∠AOP=90°-48°=42°。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆的基础常考题，解题的关键是掌握切线的性质，正确作出辅助线连接OA，结合三角形的角度相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心思路是利用切线的性质构造直角三角形，结合圆的半径相等得到等腰三角形，再利用三角形角度关系计算所求角：①看到切线PA，优先连接过切点的半径OA，可得OA⊥PA，得到Rt△OAP；②OA和OB都是⊙O的半径，故△OAB是等腰三角形，可推出底角相等，进而求出∠AOP的度数；③在Rt△OAP中利用两锐角互余即可求出∠P的度数。
【解析】
解：连接OA，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PA，即∠OAP=90°，
∵OA=OB（同圆的半径相等），
∴∠OAB=∠B=24°，
∵∠AOP是△OAB的外角，
∴∠AOP=∠B+∠OAB=24°+24°=48°，
在Rt△OAP中，∠P+∠AOP=90°，
∴∠P=90°-∠AOP=90°-48°=42°。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆的基础常考题，解题的关键是掌握切线的性质，正确作出辅助线连接OA，结合三角形的角度相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 如图3，AB是$\odot O$的直径，AC是$\odot O$的切线，A为切点，BC与$\odot O$交于点D，连接OD. 若$∠ C=50°$，则$∠ AOD$的度数为（）
A.$40°$
B.$50°$
C.$80°$
D.$100°$
A.$40°$
B.$50°$
C.$80°$
D.$100°$
答案
C
解析
【分析】
解题时先从已知条件的切线和直径入手，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得到△ABC是直角三角形，结合已知的∠C的度数，利用直角三角形两锐角互余求出∠ABC的度数；再根据同圆的半径相等，得到△OBD是等腰三角形，得出∠ODB与∠ABC相等；最后利用三角形外角的性质，即可求出∠AOD的度数。
【解析】
∵ AC是$\odot O$的切线，AB是$\odot O$的直径，
∴ AB⊥AC，即$∠ BAC=90°$，
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=50°$，
∴ $∠ ABC=90°-∠ C=90°-50°=40°$，
∵ OB、OD都是$\odot O$的半径，
∴ $OB=OD$，
∴ $∠ ODB=∠ ABC=40°$，
∵ $∠ AOD$是$△ OBD$的外角，
∴ $∠ AOD=∠ OBD+∠ ODB=40°+40°=80°$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础题，综合考查了圆的基本性质与三角形的相关定理，解题的关键是熟练掌握切线的性质，结合三角形的角度计算关系推导求解。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件的切线和直径入手，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得到△ABC是直角三角形，结合已知的∠C的度数，利用直角三角形两锐角互余求出∠ABC的度数；再根据同圆的半径相等，得到△OBD是等腰三角形，得出∠ODB与∠ABC相等；最后利用三角形外角的性质，即可求出∠AOD的度数。
【解析】
∵ AC是$\odot O$的切线，AB是$\odot O$的直径，
∴ AB⊥AC，即$∠ BAC=90°$，
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=50°$，
∴ $∠ ABC=90°-∠ C=90°-50°=40°$，
∵ OB、OD都是$\odot O$的半径，
∴ $OB=OD$，
∴ $∠ ODB=∠ ABC=40°$，
∵ $∠ AOD$是$△ OBD$的外角，
∴ $∠ AOD=∠ OBD+∠ ODB=40°+40°=80°$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础题，综合考查了圆的基本性质与三角形的相关定理，解题的关键是熟练掌握切线的性质，结合三角形的角度计算关系推导求解。
【难度系数】
0.7
5. 如图4，点O是△ABC的内心，也是△DBC的外心.若∠A=84°，则∠D的度数为（）
A.42°
B.66°
C.76°
D.82°
A.42°
B.66°
C.76°
D.82°
答案
B
解析
【分析】
解题时需结合三角形内心、外心的性质逐步推导：首先，利用内心是三角形内角平分线交点的性质，推导∠BOC与已知角∠A的数量关系，计算出∠BOC的度数；其次，利用外心是三角形外接圆圆心的性质，结合圆周角定理，即可求出∠D的度数。
【解析】
1. 求∠BOC的度数
∵ 点O是△ABC的内心
∴ BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，即$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$
在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-84°=96°$
∴ $∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×96°=48°$
在△OBC中，$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-48°=132°$
2. 求∠D的度数
∵ 点O是△DBC的外心
∴ 点B、C、D在以O为圆心的同一圆上，∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠D是弧BC所对的圆周角
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半
∴ $∠ D=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×132°=66°$
【答案】
B
【知识点】
三角形的内心与外心；三角形内角和定理；圆周角定理
【点评】
本题综合考查三角形特殊点的性质与圆周角定理的应用，核心是先通过内心性质搭建已知角和∠BOC的关联，再结合外心性质和圆周角定理求出目标角，是几何部分的典型综合题型。
【难度系数】
0.7
解题时需结合三角形内心、外心的性质逐步推导：首先，利用内心是三角形内角平分线交点的性质，推导∠BOC与已知角∠A的数量关系，计算出∠BOC的度数；其次，利用外心是三角形外接圆圆心的性质，结合圆周角定理，即可求出∠D的度数。
【解析】
1. 求∠BOC的度数
∵ 点O是△ABC的内心
∴ BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，即$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$
在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-84°=96°$
∴ $∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×96°=48°$
在△OBC中，$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-48°=132°$
2. 求∠D的度数
∵ 点O是△DBC的外心
∴ 点B、C、D在以O为圆心的同一圆上，∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠D是弧BC所对的圆周角
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半
∴ $∠ D=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×132°=66°$
【答案】
B
【知识点】
三角形的内心与外心；三角形内角和定理；圆周角定理
【点评】
本题综合考查三角形特殊点的性质与圆周角定理的应用，核心是先通过内心性质搭建已知角和∠BOC的关联，再结合外心性质和圆周角定理求出目标角，是几何部分的典型综合题型。
【难度系数】
0.7
6. 如图5,EA,ED是$\odot O$的切线,切点分别为A和D,点B和C在$\odot O$上.若$∠ BAE+∠ BCD=236°$,则$∠ E$的度数为 ()
A.$56°$
B.$60°$
C.$68°$
D.$70°$
A.$56°$
B.$60°$
C.$68°$
D.$70°$
答案
C
解析
【分析】
解题时先结合图形特征提取核心条件：EA、ED是圆的切线，四边形ABCD是圆内接四边形。首先回忆圆内接四边形对角互补的性质，结合已知的∠BAE+∠BCD=236°，可推导出∠EAD的度数；再根据切线长定理可知EA=ED，即△EAD为等腰三角形，最后利用三角形内角和即可求出∠E的度数。
【解析】
1.
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形
∴ $∠ BAD + ∠ BCD = 180°$（圆内接四边形对角互补）
2. 已知$∠ BAE + ∠ BCD = 236°$，将两式作差：
$∠ BAE + ∠ BCD - (∠ BAD + ∠ BCD) = 236° - 180°$
化简得$∠ BAE - ∠ BAD = 56°$，即$∠ EAD = 56°$
3.
∵ EA、ED是$\odot O$的切线
∴ $EA=ED$（切线长定理），△EAD为等腰三角形
∴ $∠ EAD = ∠ EDA = 56°$
4. 在△EAD中，由三角形内角和为$180°$：
$∠ E = 180° - ∠ EAD - ∠ EDA = 180° - 56° - 56° = 68°$
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质，切线长定理，三角形内角和
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形和切线的相关性质，找到已知角与待求角之间的关联，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先结合图形特征提取核心条件：EA、ED是圆的切线，四边形ABCD是圆内接四边形。首先回忆圆内接四边形对角互补的性质，结合已知的∠BAE+∠BCD=236°，可推导出∠EAD的度数；再根据切线长定理可知EA=ED，即△EAD为等腰三角形，最后利用三角形内角和即可求出∠E的度数。
【解析】
1.
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形
∴ $∠ BAD + ∠ BCD = 180°$（圆内接四边形对角互补）
2. 已知$∠ BAE + ∠ BCD = 236°$，将两式作差：
$∠ BAE + ∠ BCD - (∠ BAD + ∠ BCD) = 236° - 180°$
化简得$∠ BAE - ∠ BAD = 56°$，即$∠ EAD = 56°$
3.
∵ EA、ED是$\odot O$的切线
∴ $EA=ED$（切线长定理），△EAD为等腰三角形
∴ $∠ EAD = ∠ EDA = 56°$
4. 在△EAD中，由三角形内角和为$180°$：
$∠ E = 180° - ∠ EAD - ∠ EDA = 180° - 56° - 56° = 68°$
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质，切线长定理，三角形内角和
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形和切线的相关性质，找到已知角与待求角之间的关联，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
7.如图6,⊙O是等边△ABC的内切圆,分别切AB,BC,AC于点E,F,D,P是$\overset{\frown}{DF}$上一点,则∠EPF的度数是 ()
A.65°
B.60°
C.58°
D.50°
A.65°
B.60°
C.58°
D.50°
答案
B
解析
【分析】
要求∠EPF的度数，可利用圆周角定理求解：同弧所对的圆周角是对应圆心角的一半，因此需先求出弧EF对应的圆心角的度数。首先连接圆心O与切点E、F，根据切线的性质可知OE垂直AB、OF垂直BC；再结合等边三角形内角为60°，利用四边形内角和可算出圆心角∠EOF的度数，最后根据圆周角定理即可求出∠EPF的度数。
【解析】
连接OE、OF，
∵⊙O是等边△ABC的内切圆，E、F分别是AB、BC边上的切点，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，即∠OEB=∠OFB=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
在四边形OEBF中，内角和为360°，
∴∠EOF=360°-∠OEB-∠OFB-∠B=360°-90°-90°-60°=120°，
∵∠EPF是弧EF所对的圆周角，∠EOF是弧EF所对的圆心角，
根据圆周角定理得：$∠ EPF=\frac{1}{2}∠ EOF=\frac{1}{2}×120°=60°$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；等边三角形的性质
【点评】
本题属于圆与三角形结合的基础题，解题的关键是通过连接圆心和切点构造直角，结合等边三角形的性质求出圆心角，再利用圆周角定理计算结果，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
要求∠EPF的度数，可利用圆周角定理求解：同弧所对的圆周角是对应圆心角的一半，因此需先求出弧EF对应的圆心角的度数。首先连接圆心O与切点E、F，根据切线的性质可知OE垂直AB、OF垂直BC；再结合等边三角形内角为60°，利用四边形内角和可算出圆心角∠EOF的度数，最后根据圆周角定理即可求出∠EPF的度数。
【解析】
连接OE、OF，
∵⊙O是等边△ABC的内切圆，E、F分别是AB、BC边上的切点，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，即∠OEB=∠OFB=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
在四边形OEBF中，内角和为360°，
∴∠EOF=360°-∠OEB-∠OFB-∠B=360°-90°-90°-60°=120°，
∵∠EPF是弧EF所对的圆周角，∠EOF是弧EF所对的圆心角，
根据圆周角定理得：$∠ EPF=\frac{1}{2}∠ EOF=\frac{1}{2}×120°=60°$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；等边三角形的性质
【点评】
本题属于圆与三角形结合的基础题，解题的关键是通过连接圆心和切点构造直角，结合等边三角形的性质求出圆心角，再利用圆周角定理计算结果，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
