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8. 如图7,正六边形ABCDEF的边长为2,以A为圆心,AC的长为半径画弧,得$\overset{\frown}{EC}$,连接AC,AE,则图中阴影部分的面积为 ()
A.$2π$
B.$4π$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}π$
D.$\frac{2\sqrt{3}}{3}π$
A.$2π$
B.$4π$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}π$
D.$\frac{2\sqrt{3}}{3}π$
答案
A
解析
【分析】
首先观察阴影部分为扇形AEC，要求其面积需先确定两个核心条件：扇形的圆心角∠EAC的度数和半径AC的长度。第一步利用正多边形内角公式求出正六边形的内角度数，再结合等腰三角形的性质，求出∠BAC、∠FAE的度数，进而得到圆心角∠EAC的大小；第二步通过作高构造直角三角形，结合勾股定理求出AC的长度；最后代入扇形面积公式计算即可得到阴影部分面积。
【解析】
1. 求正六边形的内角度数：
正六边形每个内角的度数为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，且正六边形各边相等，即$AB=BC=2$。
2. 求扇形圆心角∠EAC的度数：
在等腰$△ ABC$中，$AB=BC=2$，$∠ ABC=120°$，因此$∠ BAC=\frac{180°-120°}{2}=30°$，同理可得$∠ FAE=30°$。
因此$∠ EAC=∠ FAB-∠ BAC-∠ FAE=120°-30°-30°=60°$。
3. 求扇形半径AC的长度：
过点B作$BG⊥ AC$于点G，在$Rt△ ABG$中，$∠ BAG=30°$，$AB=2$，因此$BG=\frac{1}{2}AB=1$，由勾股定理得$AG=\sqrt{AB^2-BG^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，因此$AC=2AG=2\sqrt{3}$。
4. 计算阴影部分（扇形AEC）的面积：
扇形面积公式为$S=\frac{nπ r^2}{360}$（其中n为圆心角度数，r为半径），代入$n=60°$，$r=2\sqrt{3}$得：
$S_{阴影}=\frac{60π×(2\sqrt{3})^2}{360}=\frac{60π×12}{360}=2π$。
【答案】
A
【知识点】
正多边形的性质、等腰三角形的性质、扇形面积计算
【点评】
本题结合正多边形的性质考查扇形面积的计算，解题的关键是准确推导扇形的圆心角和半径，属于几何基础综合题，熟练掌握相关性质和公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
首先观察阴影部分为扇形AEC，要求其面积需先确定两个核心条件：扇形的圆心角∠EAC的度数和半径AC的长度。第一步利用正多边形内角公式求出正六边形的内角度数，再结合等腰三角形的性质，求出∠BAC、∠FAE的度数，进而得到圆心角∠EAC的大小；第二步通过作高构造直角三角形，结合勾股定理求出AC的长度；最后代入扇形面积公式计算即可得到阴影部分面积。
【解析】
1. 求正六边形的内角度数：
正六边形每个内角的度数为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，且正六边形各边相等，即$AB=BC=2$。
2. 求扇形圆心角∠EAC的度数：
在等腰$△ ABC$中，$AB=BC=2$，$∠ ABC=120°$，因此$∠ BAC=\frac{180°-120°}{2}=30°$，同理可得$∠ FAE=30°$。
因此$∠ EAC=∠ FAB-∠ BAC-∠ FAE=120°-30°-30°=60°$。
3. 求扇形半径AC的长度：
过点B作$BG⊥ AC$于点G，在$Rt△ ABG$中，$∠ BAG=30°$，$AB=2$，因此$BG=\frac{1}{2}AB=1$，由勾股定理得$AG=\sqrt{AB^2-BG^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，因此$AC=2AG=2\sqrt{3}$。
4. 计算阴影部分（扇形AEC）的面积：
扇形面积公式为$S=\frac{nπ r^2}{360}$（其中n为圆心角度数，r为半径），代入$n=60°$，$r=2\sqrt{3}$得：
$S_{阴影}=\frac{60π×(2\sqrt{3})^2}{360}=\frac{60π×12}{360}=2π$。
【答案】
A
【知识点】
正多边形的性质、等腰三角形的性质、扇形面积计算
【点评】
本题结合正多边形的性质考查扇形面积的计算，解题的关键是准确推导扇形的圆心角和半径，属于几何基础综合题，熟练掌握相关性质和公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
9. 如图8,正方形ABCD内接于$\odot O$,线段MN在对角线BD上运动.若$\odot O$的面积为$2π$,$MN=1$,则$△ AMN$周长的最小值是 ()
A.3
B.4
C.5
D.6
A.3
B.4
C.5
D.6
答案
B
解析
【分析】
要求△AMN的周长最小值，已知MN=1为定值，因此只需使AM+AN的和最小即可。首先利用正方形的对称性：正方形对角线BD是对称轴，点A关于BD的对称点为点C，因此AM=CM，可将AM转化为CM。再结合MN是BD上的定长线段，采用平移法：将点A沿BD方向平移1个单位（即MN的长度）得到点A'，由平行四边形的性质可得AN=A'M，此时AM+AN转化为CM+A'M，根据两点之间线段最短，当C、M、A'三点共线时，CM+A'M的和最小，等于线段A'C的长度。最后结合圆的面积求出相关线段长度，计算A'C即可得到AM+AN的最小值，进而求出周长最小值。
【解析】
1. 求⊙O的半径：已知⊙O的面积为$2π$，由圆的面积公式$S=π r^2$，得$π r^2=2π$，解得$r=\sqrt{2}$，因此⊙O的直径为$2\sqrt{2}$，即正方形ABCD的对角线BD长为$2\sqrt{2}$，对角线交点O到A、C的距离$OA=OC=\sqrt{2}$。
2. 转化线段：因为BD是正方形的对称轴，点A与点C关于BD对称，故$AM=CM$。将点A沿BD方向平移1个单位长度得到点A'，则四边形AMNA'为平行四边形，因此$AN=A'M$。
3. 求AM+AN的最小值：此时$AM+AN=CM+A'M$，当C、M、A'三点共线时，$CM+A'M$取得最小值，即线段$A'C$的长度。由平移性质可知，A'与C在垂直于BD方向的距离为$\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，沿BD方向的距离为1，由勾股定理得：
$A'C=\sqrt{1^2+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{1+8}=3$
4. 求周长最小值：△AMN的周长为$AM+AN+MN$，最小值为$3+1=4$。
【答案】
B
【知识点】
最短路径问题，正方形的性质，圆的有关计算
【点评】
本题是轴对称最短路径问题的变形，核心是通过对称和平移变换，将两条动线段的和转化为可求的定线段长度，同时结合了圆和正方形的基本性质，对学生的转化思想和几何建模能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要求△AMN的周长最小值，已知MN=1为定值，因此只需使AM+AN的和最小即可。首先利用正方形的对称性：正方形对角线BD是对称轴，点A关于BD的对称点为点C，因此AM=CM，可将AM转化为CM。再结合MN是BD上的定长线段，采用平移法：将点A沿BD方向平移1个单位（即MN的长度）得到点A'，由平行四边形的性质可得AN=A'M，此时AM+AN转化为CM+A'M，根据两点之间线段最短，当C、M、A'三点共线时，CM+A'M的和最小，等于线段A'C的长度。最后结合圆的面积求出相关线段长度，计算A'C即可得到AM+AN的最小值，进而求出周长最小值。
【解析】
1. 求⊙O的半径：已知⊙O的面积为$2π$，由圆的面积公式$S=π r^2$，得$π r^2=2π$，解得$r=\sqrt{2}$，因此⊙O的直径为$2\sqrt{2}$，即正方形ABCD的对角线BD长为$2\sqrt{2}$，对角线交点O到A、C的距离$OA=OC=\sqrt{2}$。
2. 转化线段：因为BD是正方形的对称轴，点A与点C关于BD对称，故$AM=CM$。将点A沿BD方向平移1个单位长度得到点A'，则四边形AMNA'为平行四边形，因此$AN=A'M$。
3. 求AM+AN的最小值：此时$AM+AN=CM+A'M$，当C、M、A'三点共线时，$CM+A'M$取得最小值，即线段$A'C$的长度。由平移性质可知，A'与C在垂直于BD方向的距离为$\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，沿BD方向的距离为1，由勾股定理得：
$A'C=\sqrt{1^2+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{1+8}=3$
4. 求周长最小值：△AMN的周长为$AM+AN+MN$，最小值为$3+1=4$。
【答案】
B
【知识点】
最短路径问题，正方形的性质，圆的有关计算
【点评】
本题是轴对称最短路径问题的变形，核心是通过对称和平移变换，将两条动线段的和转化为可求的定线段长度，同时结合了圆和正方形的基本性质，对学生的转化思想和几何建模能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
10. (2026·河南)团扇始于汉代,盛于唐宋,寓意“团圆友善”.劳动课上,小红想在自己制作的团扇边缘选一段弧进行装饰.如图9,已知扇面边缘为$\odot O$,扇柄所在直线经过圆心$O$,她过扇柄端点$P$作$PA$,$PB$分别与$\odot O$相切于点$A$,$B$,得到$\overset{\frown}{AB}$.若$\odot O$的半径为9 cm,$∠ APB=60°$,则小红想要装饰的$\overset{\frown}{AB}$的长为 ()
A.$3π$ cm
B.$6π$ cm
C.$9π$ cm
D.$27π$ cm
A.$3π$ cm
B.$6π$ cm
C.$9π$ cm
D.$27π$ cm
答案
B
解析
【分析】
解题时先从切线的性质入手：已知PA、PB是圆的切线，首先回忆切线的性质——切线垂直于过切点的半径，由此可得OA⊥PA、OB⊥PB，得到两个直角；要求弧$\overset{\frown}{AB}$的长，需要先知道弧对应的圆心角和半径，半径已知为9cm，因此目标是求圆心角∠AOB的度数，结合四边形内角和为360°，已知∠APB=60°和两个直角，就能算出∠AOB的度数；最后代入弧长公式计算即可得到结果。
【解析】
∵PA、PB分别与$\odot O$相切于点A、B
∴$OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$
∵四边形OAPB的内角和为$360°$，$∠ APB=60°$
∴$∠ AOB=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ APB=360°-90°-90°-60°=120°$
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径），代入$n=120$，$r=9\mathrm{cm}$：
$l_{\overset{\frown}{AB}}=\frac{120×π×9}{180}=6π\mathrm{cm}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；四边形内角和；弧长计算
【点评】
本题结合生活实际考查圆的基础应用，解题的核心是熟练运用切线性质求出圆心角，再代入弧长公式计算，整体考查的都是基础知识点，掌握核心公式和性质就能快速解答。
【难度系数】
0.7
解题时先从切线的性质入手：已知PA、PB是圆的切线，首先回忆切线的性质——切线垂直于过切点的半径，由此可得OA⊥PA、OB⊥PB，得到两个直角；要求弧$\overset{\frown}{AB}$的长，需要先知道弧对应的圆心角和半径，半径已知为9cm，因此目标是求圆心角∠AOB的度数，结合四边形内角和为360°，已知∠APB=60°和两个直角，就能算出∠AOB的度数；最后代入弧长公式计算即可得到结果。
【解析】
∵PA、PB分别与$\odot O$相切于点A、B
∴$OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$
∵四边形OAPB的内角和为$360°$，$∠ APB=60°$
∴$∠ AOB=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ APB=360°-90°-90°-60°=120°$
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径），代入$n=120$，$r=9\mathrm{cm}$：
$l_{\overset{\frown}{AB}}=\frac{120×π×9}{180}=6π\mathrm{cm}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；四边形内角和；弧长计算
【点评】
本题结合生活实际考查圆的基础应用，解题的核心是熟练运用切线性质求出圆心角，再代入弧长公式计算，整体考查的都是基础知识点，掌握核心公式和性质就能快速解答。
【难度系数】
0.7
二、填空题(每小题3分,共15分)
11. 如图10,AB是$\odot O$的切线,点A为切点,连接OA,OB.若$∠ OBA=40°$,则$∠ AOB=$°.
11. 如图10,AB是$\odot O$的切线,点A为切点,连接OA,OB.若$∠ OBA=40°$,则$∠ AOB=$°.
答案
$\boldsymbol{50}$
解析
【分析】
解题时首先回忆切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，由此可判断△OAB是直角三角形，且∠OAB=90°；再结合三角形内角和为180°，已知∠OBA的度数，即可求出∠AOB的度数。
【解析】
∵AB是⊙O的切线，点A为切点
∴OA⊥AB，即∠OAB=90°
在△OAB中，根据三角形内角和为180°可得：
∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-90°-40°=50°
【答案】
50
【知识点】
切线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，考查对切线性质的掌握与简单应用，只要牢记切线的核心性质，结合三角形内角和的相关知识就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，由此可判断△OAB是直角三角形，且∠OAB=90°；再结合三角形内角和为180°，已知∠OBA的度数，即可求出∠AOB的度数。
【解析】
∵AB是⊙O的切线，点A为切点
∴OA⊥AB，即∠OAB=90°
在△OAB中，根据三角形内角和为180°可得：
∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-90°-40°=50°
【答案】
50
【知识点】
切线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，考查对切线性质的掌握与简单应用，只要牢记切线的核心性质，结合三角形内角和的相关知识就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
12.(2025·东营)如图11,在平面直角坐标系中,⊙P与x轴交于点M,N,与y轴相切于点Q,点P的坐标为(5,-3),则点N的坐标为.
答案
解：连接PQ、PN，过点P作PA⊥x轴，交x轴于点A。
∵ ⊙P与y轴相切于点Q，
∴ PQ⊥y轴，⊙P的半径$r = PQ = 5$，即$PN=5$。
∵ 点P的坐标为$(5,-3)$，$PA⊥x$轴，
∴ 点A的坐标为$(5, 0)$，$PA = 3$。
在$Rt△ PAN$中，由勾股定理得：
$AN = \sqrt{PN^2 - PA^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$。
∴ 点N的横坐标为$5+4=9$，纵坐标为0，
即点N的坐标为$\boldsymbol{(9,0)}$。
∵ ⊙P与y轴相切于点Q，
∴ PQ⊥y轴，⊙P的半径$r = PQ = 5$，即$PN=5$。
∵ 点P的坐标为$(5,-3)$，$PA⊥x$轴，
∴ 点A的坐标为$(5, 0)$，$PA = 3$。
在$Rt△ PAN$中，由勾股定理得：
$AN = \sqrt{PN^2 - PA^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$。
∴ 点N的横坐标为$5+4=9$，纵坐标为0，
即点N的坐标为$\boldsymbol{(9,0)}$。
解析
【分析】
解决本题可按以下思路思考：首先，根据圆与y轴相切的性质，连接过切点的半径PQ，即可求出圆的半径长度；其次，要求x轴上交点N的坐标，结合垂径定理，过圆心P作x轴的垂线PA，垂足A是弦MN的中点，即可构造出直角三角形PAN；最后，结合点P的坐标求出PA、A点坐标，利用勾股定理算出AN的长度，进而求出N点的坐标。
【解析】
连接PQ、PN，过点P作PA⊥x轴，交x轴于点A。
∵ ⊙P与y轴相切于点Q，
∴ PQ⊥y轴，⊙P的半径$r = PQ = 5$，即$PN=5$。
∵ 点P的坐标为$(5,-3)$，$PA⊥x$轴，
∴ 点A的坐标为$(5, 0)$，$PA = |-3| = 3$。
在$Rt△PAN$中，由勾股定理得：
$AN = \sqrt{PN^2 - PA^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$。
∴ 点N的横坐标为$5+4=9$，纵坐标为0，
即点N的坐标为$(9,0)$。
【答案】
$\boldsymbol{(9,0)}$
【知识点】
切线的性质；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆与平面直角坐标系结合的基础题，解题的关键是合理作出辅助线，将圆的性质与直角三角形的计算结合起来，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解决本题可按以下思路思考：首先，根据圆与y轴相切的性质，连接过切点的半径PQ，即可求出圆的半径长度；其次，要求x轴上交点N的坐标，结合垂径定理，过圆心P作x轴的垂线PA，垂足A是弦MN的中点，即可构造出直角三角形PAN；最后，结合点P的坐标求出PA、A点坐标，利用勾股定理算出AN的长度，进而求出N点的坐标。
【解析】
连接PQ、PN，过点P作PA⊥x轴，交x轴于点A。
∵ ⊙P与y轴相切于点Q，
∴ PQ⊥y轴，⊙P的半径$r = PQ = 5$，即$PN=5$。
∵ 点P的坐标为$(5,-3)$，$PA⊥x$轴，
∴ 点A的坐标为$(5, 0)$，$PA = |-3| = 3$。
在$Rt△PAN$中，由勾股定理得：
$AN = \sqrt{PN^2 - PA^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$。
∴ 点N的横坐标为$5+4=9$，纵坐标为0，
即点N的坐标为$(9,0)$。
【答案】
$\boldsymbol{(9,0)}$
【知识点】
切线的性质；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆与平面直角坐标系结合的基础题，解题的关键是合理作出辅助线，将圆的性质与直角三角形的计算结合起来，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
