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13. 如图12，$\odot O$的半径为1 cm，正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，则图中阴影部分面积为$\underline{\hspace{5cm}}$ cm².(结果保留$π$)
答案
解：
∵ 正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，$\odot O$的半径为1 cm，
∴ 正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，且$AB// OC$，
∴ $S_{△ ABC}=S_{△ OBC}$，
即阴影部分的面积等价于圆心角为$60°$的扇形面积，
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{60π × 1^2}{360}=\frac{π}{6}\ \mathrm{cm}^2$。
$\frac{π}{6}$
∵ 正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，$\odot O$的半径为1 cm，
∴ 正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，且$AB// OC$，
∴ $S_{△ ABC}=S_{△ OBC}$，
即阴影部分的面积等价于圆心角为$60°$的扇形面积，
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{60π × 1^2}{360}=\frac{π}{6}\ \mathrm{cm}^2$。
$\frac{π}{6}$
解析
【分析】
要计算不规则阴影部分的面积，首先考虑将其转化为规则图形的面积求解。结合正六边形内接于圆的性质：正六边形的中心角为60°，且边AB与OC平行，可推出△ABC和△OBC同底等高，面积相等，因此阴影部分面积可等价转化为圆心角为60°的扇形面积，再代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
∵ 正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，$\odot O$的半径为1 cm，
∴ 正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，且$AB// OC$，
∴ $△ ABC$和$△ OBC$同底为$BC$，底$BC$对应的高相等，
∴ $S_{△ ABC}=S_{△ OBC}$，
即阴影部分的面积等价于圆心角为$60°$的扇形OBC的面积，
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，代入$n=60$，$r=1$得：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{60π × 1^2}{360}=\frac{π}{6}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$\frac{π}{6}$
【知识点】
正多边形与圆，同底等高三角形面积性质，扇形面积计算
【点评】
本题重点考查不规则图形面积的求解，核心解题思路是利用转化思想，结合正六边形的性质将阴影面积转化为规则的扇形面积，是几何面积计算类的常见题型。
【难度系数】
0.7
要计算不规则阴影部分的面积，首先考虑将其转化为规则图形的面积求解。结合正六边形内接于圆的性质：正六边形的中心角为60°，且边AB与OC平行，可推出△ABC和△OBC同底等高，面积相等，因此阴影部分面积可等价转化为圆心角为60°的扇形面积，再代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
∵ 正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，$\odot O$的半径为1 cm，
∴ 正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，且$AB// OC$，
∴ $△ ABC$和$△ OBC$同底为$BC$，底$BC$对应的高相等，
∴ $S_{△ ABC}=S_{△ OBC}$，
即阴影部分的面积等价于圆心角为$60°$的扇形OBC的面积，
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，代入$n=60$，$r=1$得：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{60π × 1^2}{360}=\frac{π}{6}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$\frac{π}{6}$
【知识点】
正多边形与圆，同底等高三角形面积性质，扇形面积计算
【点评】
本题重点考查不规则图形面积的求解，核心解题思路是利用转化思想，结合正六边形的性质将阴影面积转化为规则的扇形面积，是几何面积计算类的常见题型。
【难度系数】
0.7
14. 如图13,△ABC的内切圆⊙O与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,且AD=2,△ABC的周长为14,则BC的长为.
答案
$\boldsymbol{5}$
解析
【分析】
遇到三角形内切圆与三边相切的问题，首先联想到切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。我们可以先列出三组相等的切线长，再结合三角形周长的已知条件，将周长用已知的AD长度和待求的BC长度表示，即可建立方程求解BC的长度。
【解析】
根据切线长定理可得：
$AD=AF=2$，$BD=BE$，$CE=CF$，
设$BD=BE=m$，$CE=CF=n$，则$BC=BE+CE=m+n$，
$△ ABC$的周长为：
$AB+BC+AC=(AD+BD)+(BE+CE)+(CF+AF)$
$=(2+m)+(m+n)+(n+2)$
$=2m+2n+4$
$=2(m+n)+4$，
已知$△ ABC$周长为14，代入得：
$2(m+n)+4=14$，
解得$m+n=5$，即$BC=5$。
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
切线长定理；三角形内切圆的性质
【点评】
本题是内切圆相关的基础题型，解题核心是利用切线长相等的性质对三角形周长进行等量转化，从而快速建立已知量和未知量的关系，该类题型是圆的性质应用中的常见考点，掌握切线长定理即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
遇到三角形内切圆与三边相切的问题，首先联想到切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。我们可以先列出三组相等的切线长，再结合三角形周长的已知条件，将周长用已知的AD长度和待求的BC长度表示，即可建立方程求解BC的长度。
【解析】
根据切线长定理可得：
$AD=AF=2$，$BD=BE$，$CE=CF$，
设$BD=BE=m$，$CE=CF=n$，则$BC=BE+CE=m+n$，
$△ ABC$的周长为：
$AB+BC+AC=(AD+BD)+(BE+CE)+(CF+AF)$
$=(2+m)+(m+n)+(n+2)$
$=2m+2n+4$
$=2(m+n)+4$，
已知$△ ABC$周长为14，代入得：
$2(m+n)+4=14$，
解得$m+n=5$，即$BC=5$。
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
切线长定理；三角形内切圆的性质
【点评】
本题是内切圆相关的基础题型，解题核心是利用切线长相等的性质对三角形周长进行等量转化，从而快速建立已知量和未知量的关系，该类题型是圆的性质应用中的常见考点，掌握切线长定理即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
15. 如图14,圆内接正六边形ABCDEF中,AC,BF相交于点O,则$S_{△ ABO}:S_{△ AFO}=$.
答案
$\boldsymbol{1:2}$
解析
【分析】
要计算两个三角形的面积比，首先观察到△ABO和△AFO有公共顶点A，底边BO、OF在同一条直线BF上，因此两个三角形高相等，面积比等于对应底的比即BO:OF。接下来利用正六边形的性质：边长相等、每个内角为120°，结合等腰三角形的角度计算，推出BO=AO，再结合含30°角的直角三角形的性质得到OF=2AO，即可得到BO和OF的比值，进而求出面积比。
【解析】
解：
∵六边形ABCDEF是圆内接正六边形，
∴AB=BC=AF，每个内角的度数为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$。
在△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，
∴$∠ BAC=\frac{180°-120°}{2}=30°$，
同理，在△ABF中，AB=AF，∠BAF=120°，
∴$∠ ABF=∠ AFB=\frac{180°-120°}{2}=30°$，
∴∠ABO=∠BAO=30°，
∴BO=AO。
又
∵$∠ OAF=∠ BAF-∠ BAC=120°-30°=90°$，
∴△AOF是直角三角形，且∠AFO=30°，
∴$AO=\frac{1}{2}OF$，即$OF=2AO=2BO$，
∴$BO:OF=1:2$。
∵△ABO和△AFO同高（点A到BF的距离为公共高），
∴$S_{△ ABO}:S_{△ AFO}=BO:OF=1:2$。
【答案】
$\boldsymbol{1:2}$
【知识点】
正六边形的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是正多边形与圆结合的典型题型，解题核心是利用同高三角形的面积比等于底边长的比，将面积比转化为线段长度比，再结合正六边形的内角、边长特性和特殊三角形的性质求解，解题过程中需要准确计算角度，理清线段之间的数量关系。
【难度系数】
0.6
要计算两个三角形的面积比，首先观察到△ABO和△AFO有公共顶点A，底边BO、OF在同一条直线BF上，因此两个三角形高相等，面积比等于对应底的比即BO:OF。接下来利用正六边形的性质：边长相等、每个内角为120°，结合等腰三角形的角度计算，推出BO=AO，再结合含30°角的直角三角形的性质得到OF=2AO，即可得到BO和OF的比值，进而求出面积比。
【解析】
解：
∵六边形ABCDEF是圆内接正六边形，
∴AB=BC=AF，每个内角的度数为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$。
在△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，
∴$∠ BAC=\frac{180°-120°}{2}=30°$，
同理，在△ABF中，AB=AF，∠BAF=120°，
∴$∠ ABF=∠ AFB=\frac{180°-120°}{2}=30°$，
∴∠ABO=∠BAO=30°，
∴BO=AO。
又
∵$∠ OAF=∠ BAF-∠ BAC=120°-30°=90°$，
∴△AOF是直角三角形，且∠AFO=30°，
∴$AO=\frac{1}{2}OF$，即$OF=2AO=2BO$，
∴$BO:OF=1:2$。
∵△ABO和△AFO同高（点A到BF的距离为公共高），
∴$S_{△ ABO}:S_{△ AFO}=BO:OF=1:2$。
【答案】
$\boldsymbol{1:2}$
【知识点】
正六边形的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是正多边形与圆结合的典型题型，解题核心是利用同高三角形的面积比等于底边长的比，将面积比转化为线段长度比，再结合正六边形的内角、边长特性和特殊三角形的性质求解，解题过程中需要准确计算角度，理清线段之间的数量关系。
【难度系数】
0.6
三、解答题(本大题共8小题,共75分)
16.(8分)(2025·西藏)如图15,AB是$\odot O$的直径,点C在$\odot O$上,$∠ CAB=60°$,过点C的切线交BA的延长线于点D.求证:$CD=CB.$
16.(8分)(2025·西藏)如图15,AB是$\odot O$的直径,点C在$\odot O$上,$∠ CAB=60°$,过点C的切线交BA的延长线于点D.求证:$CD=CB.$
答案
证明：连接OC，
∵ CD是⊙O的切线，
∴ OC⊥CD，即∠OCD=90°，
∵ OA=OC，∠CAB=60°，
∴ △OAC是等边三角形，
∴ ∠COD=60°，
∴ ∠D=90°-∠COD=30°，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90°，
又∵ ∠CAB=60°，
∴ ∠B=90°-∠CAB=30°，
∴ ∠D=∠B，
∴ CD=CB。
∵ CD是⊙O的切线，
∴ OC⊥CD，即∠OCD=90°，
∵ OA=OC，∠CAB=60°，
∴ △OAC是等边三角形，
∴ ∠COD=60°，
∴ ∠D=90°-∠COD=30°，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90°，
又∵ ∠CAB=60°，
∴ ∠B=90°-∠CAB=30°，
∴ ∠D=∠B，
∴ CD=CB。
解析
【分析】
要证明CD=CB，可通过证明∠D=∠B，利用“等角对等边”推导结论。解题时首先结合切线的性质，常用辅助线为连接圆心与切点，得到直角；再利用OA=OC、∠CAB=60°，可判定△OAC为等边三角形，进而求出∠D的度数；最后结合AB是直径，利用“直径所对的圆周角为直角”求出∠B的度数，验证两角相等即可得证。
【解析】
证明：连接OC，
∵ CD是⊙O的切线，
∴ OC⊥CD，即∠OCD=90°，
∵ OA=OC，∠CAB=60°，
∴ △OAC是等边三角形，
∴ ∠COD=60°，
∴ ∠D=90°-∠COD=30°，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90°，
又
∵ ∠CAB=60°，
∴ ∠B=90°-∠CAB=30°，
∴ ∠D=∠B，
∴ CD=CB。
【答案】
证明过程如上，可证得CD=CB。
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于圆的基础证明题，核心是掌握圆中常见辅助线的作法：遇切线连接圆心和切点，遇直径构造其所对的直角，再结合特殊三角形的性质推导角度关系即可解题，是圆章节的常规考查题型。
【难度系数】
0.7
要证明CD=CB，可通过证明∠D=∠B，利用“等角对等边”推导结论。解题时首先结合切线的性质，常用辅助线为连接圆心与切点，得到直角；再利用OA=OC、∠CAB=60°，可判定△OAC为等边三角形，进而求出∠D的度数；最后结合AB是直径，利用“直径所对的圆周角为直角”求出∠B的度数，验证两角相等即可得证。
【解析】
证明：连接OC，
∵ CD是⊙O的切线，
∴ OC⊥CD，即∠OCD=90°，
∵ OA=OC，∠CAB=60°，
∴ △OAC是等边三角形，
∴ ∠COD=60°，
∴ ∠D=90°-∠COD=30°，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90°，
又
∵ ∠CAB=60°，
∴ ∠B=90°-∠CAB=30°，
∴ ∠D=∠B，
∴ CD=CB。
【答案】
证明过程如上，可证得CD=CB。
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于圆的基础证明题，核心是掌握圆中常见辅助线的作法：遇切线连接圆心和切点，遇直径构造其所对的直角，再结合特殊三角形的性质推导角度关系即可解题，是圆章节的常规考查题型。
【难度系数】
0.7
17.(9分)(2025·广东)如图16,点O是$\mathrm{Rt}△ ABC$斜边AC边上的一点,以OA为半径的$\odot O$与边BC相切于点D.求证:AD平分$∠ BAC$. 
图16
图16答案
证明：
连接OD，
∵ ⊙O与边BC相切于点D，
∴ OD⊥BC。
∵ Rt△ABC中，∠B=90°，
∴ AB⊥BC，
∴ OD//AB，
∴ ∠ODA = ∠DAB。
∵ OA、OD都是⊙O的半径，
∴ OA = OD，
∴ ∠OAD = ∠ODA，
∴ ∠OAD = ∠DAB，
即AD平分∠BAC。
连接OD，
∵ ⊙O与边BC相切于点D，
∴ OD⊥BC。
∵ Rt△ABC中，∠B=90°，
∴ AB⊥BC，
∴ OD//AB，
∴ ∠ODA = ∠DAB。
∵ OA、OD都是⊙O的半径，
∴ OA = OD，
∴ ∠OAD = ∠ODA，
∴ ∠OAD = ∠DAB，
即AD平分∠BAC。
解析
【分析】
要证明AD平分∠BAC，本质是证明∠OAD=∠DAB。遇到圆的切线问题，优先考虑切线的性质，连接圆心与切点得到垂直关系：首先连接OD，由切线性质得OD⊥BC，结合Rt△ABC中AB⊥BC，可推出OD//AB，进而得到内错角∠ODA=∠DAB；再利用同圆半径相等得到OA=OD，由等腰三角形两底角相等得∠OAD=∠ODA，最后通过等量代换即可证明两个角相等，完成求证。
【解析】
证明：
连接OD，
∵ ⊙O与边BC相切于点D，
∴ OD⊥BC。
∵ Rt△ABC中，∠B=90°，
∴ AB⊥BC，
∴ OD//AB，
∴ ∠ODA = ∠DAB。
∵ OA、OD都是⊙O的半径，
∴ OA = OD，
∴ ∠OAD = ∠ODA，
∴ ∠OAD = ∠DAB，
即AD平分∠BAC。
【答案】
AD平分∠BAC，证明过程如上。
【知识点】
切线的性质；平行线的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础证明题，核心考查切线常用辅助线的作法，解题思路固定，只要掌握“遇切线，连圆心和切点得垂直”的辅助线技巧，结合平行线、等腰三角形的角的关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
要证明AD平分∠BAC，本质是证明∠OAD=∠DAB。遇到圆的切线问题，优先考虑切线的性质，连接圆心与切点得到垂直关系：首先连接OD，由切线性质得OD⊥BC，结合Rt△ABC中AB⊥BC，可推出OD//AB，进而得到内错角∠ODA=∠DAB；再利用同圆半径相等得到OA=OD，由等腰三角形两底角相等得∠OAD=∠ODA，最后通过等量代换即可证明两个角相等，完成求证。
【解析】
证明：
连接OD，
∵ ⊙O与边BC相切于点D，
∴ OD⊥BC。
∵ Rt△ABC中，∠B=90°，
∴ AB⊥BC，
∴ OD//AB，
∴ ∠ODA = ∠DAB。
∵ OA、OD都是⊙O的半径，
∴ OA = OD，
∴ ∠OAD = ∠ODA，
∴ ∠OAD = ∠DAB，
即AD平分∠BAC。
【答案】
AD平分∠BAC，证明过程如上。
【知识点】
切线的性质；平行线的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础证明题，核心考查切线常用辅助线的作法，解题思路固定，只要掌握“遇切线，连圆心和切点得垂直”的辅助线技巧，结合平行线、等腰三角形的角的关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
