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6. 如图是一个五角星形图案。
（1）图中一定等于$∠ A+∠ C$的角有
（2）求$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E$的度数。
（1）图中一定等于$∠ A+∠ C$的角有
∠DIH,∠EIG
（写出所有满足要求的角）。（2）求$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E$的度数。
答案
6. (1) ∠DIH,∠EIG
(2) 因为∠A+∠C=∠DIH,∠B+∠E=∠DHI,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠DIH+∠DHI+∠D=180°。
(2) 因为∠A+∠C=∠DIH,∠B+∠E=∠DHI,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠DIH+∠DHI+∠D=180°。
解析
【分析】
（1）求解第一问需运用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，先找到以∠A、∠C为不相邻内角的外角，再根据对顶角相等的性质，找出与该外角相等的所有角即可。
（2）求解第二问可利用转化思想，结合三角形外角的性质，将∠A+∠C、∠B+∠E分别转化为同一个三角形的两个内角，再结合三角形内角和为180°，即可求出五个角的总度数。
【解析】
（1）根据三角形外角的性质，∠A与∠C的和等于二者所在三角形的对应外角，该外角的对顶角为∠DIH和∠EIG，由对顶角相等可得，∠DIH=∠A+∠C，∠EIG=∠A+∠C。
（2）由三角形外角性质可得：∠A+∠C=∠DIH，∠B+∠E=∠DHI，
在△DIH中，根据三角形内角和定理：∠DIH+∠DHI+∠D=180°，
因此∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠DIH+∠DHI+∠D=180°。
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠DIH,∠EIG}$
（2）$\boldsymbol{180°}$
【知识点】
三角形外角性质，对顶角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的典型题型，核心是利用转化思想，将分散的多个角通过外角性质归集到同一个三角形中，再利用三角形内角和定理求解，有助于锻炼几何角度转化的逻辑思维。
【难度系数】
0.7
（1）求解第一问需运用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，先找到以∠A、∠C为不相邻内角的外角，再根据对顶角相等的性质，找出与该外角相等的所有角即可。
（2）求解第二问可利用转化思想，结合三角形外角的性质，将∠A+∠C、∠B+∠E分别转化为同一个三角形的两个内角，再结合三角形内角和为180°，即可求出五个角的总度数。
【解析】
（1）根据三角形外角的性质，∠A与∠C的和等于二者所在三角形的对应外角，该外角的对顶角为∠DIH和∠EIG，由对顶角相等可得，∠DIH=∠A+∠C，∠EIG=∠A+∠C。
（2）由三角形外角性质可得：∠A+∠C=∠DIH，∠B+∠E=∠DHI，
在△DIH中，根据三角形内角和定理：∠DIH+∠DHI+∠D=180°，
因此∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠DIH+∠DHI+∠D=180°。
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠DIH,∠EIG}$
（2）$\boldsymbol{180°}$
【知识点】
三角形外角性质，对顶角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的典型题型，核心是利用转化思想，将分散的多个角通过外角性质归集到同一个三角形中，再利用三角形内角和定理求解，有助于锻炼几何角度转化的逻辑思维。
【难度系数】
0.7
7. 如图,在三角板$ABC$中,$∠ BAC=90°,∠ ABC=60°$。将顶点$A,B$分别放置在一组平行线$PQ,MN$上,点$C$在$AB$的右侧。
(1) 如图甲,点$C$落在直线$MN$上,求$∠ QAC$的度数。
(2) 如图乙,点$C$落在直线$PQ,MN$之间。
①若$∠ NBC=10°$,则$∠ QAC$的度数是
②猜想$∠ NBC$与$∠ QAC$的数量关系,并给出证明。
(1) 如图甲,点$C$落在直线$MN$上,求$∠ QAC$的度数。
(2) 如图乙,点$C$落在直线$PQ,MN$之间。
①若$∠ NBC=10°$,则$∠ QAC$的度数是
20°
。②猜想$∠ NBC$与$∠ QAC$的数量关系,并给出证明。
答案
7. (1) 由∠BAC=90°,∠ABC=60°,得∠ACB=30°。由 PQ//MN,得∠QAC=∠ACB=30°。
(2) ①20° ②∠NBC+∠QAC=30°。证明略。
(2) ①20° ②∠NBC+∠QAC=30°。证明略。
解析
【分析】
（1）先根据三角板已知的两个内角，利用三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再结合PQ//MN的条件，利用两直线平行内错角相等的性质即可求出∠QAC的度数。
（2）①当点C在两平行线之间时，可通过过点C作平行于PQ的辅助线，将∠ACB拆分为两个分别与∠QAC、∠NBC相等的角，结合∠ACB=30°的结论，代入∠NBC=10°即可算出∠QAC的度数。②根据①的推导过程，可得出∠NBC与∠QAC的和等于∠ACB的度数，按照作辅助线+利用平行线性质推导的步骤即可完成证明。
【解析】
（1）在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$∠ ABC=60°$，
根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ ACB=180°-∠ BAC-∠ ABC=180°-90°-60°=30°$。
$\because PQ// MN$，点$C$在直线$MN$上，
$\therefore ∠ QAC=∠ ACB$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ QAC=30°$。
（2）①过点$C$作$CE// PQ$，
$\because PQ// MN$，$\therefore CE// PQ// MN$，
$\therefore ∠ QAC=∠ ACE$，$∠ NBC=∠ BCE$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ QAC+∠ NBC=∠ ACE+∠ BCE=∠ ACB=30°$，
当$∠ NBC=10°$时，$∠ QAC=30°-10°=20°$。
②猜想：$∠ NBC+∠ QAC=30°$。
证明：过点$C$作$CE// PQ$，
$\because PQ// MN$，$\therefore CE// PQ// MN$，
$\therefore ∠ QAC=∠ ACE$，$∠ NBC=∠ BCE$，
$\therefore ∠ NBC+∠ QAC=∠ BCE+∠ ACE=∠ ACB$，
又$\because ∠ ACB=30°$，
$\therefore ∠ NBC+∠ QAC=30°$。
【答案】
(1) $∠ QAC=30°$
(2) ①$\boxed{20°}$；②$∠ NBC+∠ QAC=30°$
【知识点】
平行线的性质，三角形内角和定理，角度和差计算
【点评】
本题是平行线与三角形角度计算的综合基础题，解题核心是通过构造辅助平行线，将分散的未知角转化为与已知角相关的角，考察了对平行线性质的灵活运用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
（1）先根据三角板已知的两个内角，利用三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再结合PQ//MN的条件，利用两直线平行内错角相等的性质即可求出∠QAC的度数。
（2）①当点C在两平行线之间时，可通过过点C作平行于PQ的辅助线，将∠ACB拆分为两个分别与∠QAC、∠NBC相等的角，结合∠ACB=30°的结论，代入∠NBC=10°即可算出∠QAC的度数。②根据①的推导过程，可得出∠NBC与∠QAC的和等于∠ACB的度数，按照作辅助线+利用平行线性质推导的步骤即可完成证明。
【解析】
（1）在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$∠ ABC=60°$，
根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ ACB=180°-∠ BAC-∠ ABC=180°-90°-60°=30°$。
$\because PQ// MN$，点$C$在直线$MN$上，
$\therefore ∠ QAC=∠ ACB$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ QAC=30°$。
（2）①过点$C$作$CE// PQ$，
$\because PQ// MN$，$\therefore CE// PQ// MN$，
$\therefore ∠ QAC=∠ ACE$，$∠ NBC=∠ BCE$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ QAC+∠ NBC=∠ ACE+∠ BCE=∠ ACB=30°$，
当$∠ NBC=10°$时，$∠ QAC=30°-10°=20°$。
②猜想：$∠ NBC+∠ QAC=30°$。
证明：过点$C$作$CE// PQ$，
$\because PQ// MN$，$\therefore CE// PQ// MN$，
$\therefore ∠ QAC=∠ ACE$，$∠ NBC=∠ BCE$，
$\therefore ∠ NBC+∠ QAC=∠ BCE+∠ ACE=∠ ACB$，
又$\because ∠ ACB=30°$，
$\therefore ∠ NBC+∠ QAC=30°$。
【答案】
(1) $∠ QAC=30°$
(2) ①$\boxed{20°}$；②$∠ NBC+∠ QAC=30°$
【知识点】
平行线的性质，三角形内角和定理，角度和差计算
【点评】
本题是平行线与三角形角度计算的综合基础题，解题核心是通过构造辅助平行线，将分散的未知角转化为与已知角相关的角，考察了对平行线性质的灵活运用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
