二次函数的定义:一般地,形如（a,b,c是常数,a≠0）的函数,叫作二次函数.其中x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的系数、系数和.

1. $y=ax^2+bx+c$
2. 二次项
3. 一次项
4. 常数项

【分析】
本题考查二次函数的基础定义，属于概念记忆类题型，解题时只需回忆教材中二次函数的定义表述即可：首先明确二次函数的一般解析式形式，注意必须满足$a\ne 0$的限制条件，再对应解析式中各项的命名规则，和$x^2$相乘的系数为二次项系数，和$x$相乘的系数为一次项系数，不含未知数的项为常数项。
【解析】
根据教材中二次函数的定义内容：一般地，形如$y=ax^2+bx+c$（a,b,c是常数，$a\ne 0$）的函数，叫作二次函数。其中x是自变量，a是函数解析式的二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，对应填入空缺处即可。
【答案】
$y=ax^2+bx+c$；二次项；一次项；常数项
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，侧重对教材核心定义的识记，熟练掌握课本基础概念即可快速作答，该定义是后续学习二次函数图像、性质及应用的必备基础。
【难度系数】
0.9

例 m 取哪些值时,函数 $y=(m^2 - m)x^2 + mx + (m+1)$ 是以 x 为自变量的二次函数?
解析 因为函数 $y=(m^2 - m)x^2 + mx + (m+1)$ 是二次函数,则 $m^2 - m ≠ 0$.
解得 $m≠0$,且 $m≠1$.
因此,当 $m≠0$,且 $m≠1$ 时,函数 $y=(m^2 - m)x^2 + mx + (m+1)$ 是以 x 为自变量的二次函数.
方法感悟 1. 二次函数必须具备三个条件:①函数是用整式表示的;②自变量的最高次数是 2;③二次项系数不为 0.
2. 二次函数的二次项系数含字母时,需要注意二次项系数不为 0.

解析 因为函数 $y=(m^2 - m)x^2 + mx + (m+1)$ 是二次函数,则 $m^2 - m ≠ 0$.
解得 $m≠0$,且 $m≠1$.
因此,当 $m≠0$,且 $m≠1$ 时,函数 $y=(m^2 - m)x^2 + mx + (m+1)$ 是以 x 为自变量的二次函数.
方法感悟 1. 二次函数必须具备三个条件:①函数是用整式表示的;②自变量的最高次数是 2;③二次项系数不为 0.
2. 二次函数的二次项系数含字母时,需要注意二次项系数不为 0.

【分析】
要判断给定函数是否为二次函数，首先要明确二次函数的核心判定规则：首先函数为整式形式，其次自变量的最高次数为2，最后二次项系数不能为0。本题中给出的函数已经是整式形式，最高次项为$(m^2 - m)x^2$，因此只需保证二次项系数$m^2 - m$不等于0，求解对应的不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
要使函数$y=(m^2 - m)x^2 + mx + (m+1)$是以x为自变量的二次函数，需满足二次项系数不为0，即：
$m^2 - m ≠ 0$
对左边因式分解可得：
$m(m - 1) ≠ 0$
解得$m ≠ 0$且$m ≠ 1$。
因此，当$m≠0$且$m≠1$时，函数$y=(m^2 - m)x^2 + mx + (m+1)$是以x为自变量的二次函数。
【答案】
当$m≠0$且$m≠1$时，函数$y=(m^2 - m)x^2 + mx + (m+1)$是以x为自变量的二次函数。
【知识点】
1.二次函数的定义 2.因式分解
【点评】
本题是基础概念类考题，解题的关键是牢记二次函数的判定条件，尤其要注意当二次项系数含有字母参数时，必须保证二次项系数不为0，避免遗漏限制条件导致出错。
【难度系数】
0.8

1. 下列各式中，y是关于x的二次函数的是().

A.$y=\frac{1}{x^2}$
B.$x^2 - y + 2=0$
C.$y=2x + 1$
D.$y^2=x^2 -1$

1. B

【分析】
要判断y是否是x的二次函数，首先要明确二次函数的判定标准：①整理后函数表达式为整式；②自变量x的最高次数为2；③x的二次项系数不为0，且y的次数为1（满足函数的定义，一个x对应唯一的y）。解题时逐个验证每个选项是否符合上述标准即可。
【解析】
首先回忆二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做x的二次函数。
逐个分析选项：
A. $y=\frac{1}{x^2}$的等号右侧是分式，不是整式，不符合二次函数是整式函数的要求，不属于二次函数；
B. 对$x^2 - y + 2=0$变形可得$y=x^2+2$，符合二次函数的形式，$a=1≠0$，属于二次函数；
C. $y=2x+1$中x的最高次数为1，是一次函数，不属于二次函数；
D. $y^2=x^2-1$中y的最高次数是2，不满足y的次数为1的要求，且一个x值可能对应两个y值，不是y关于x的函数，更不是二次函数。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 函数的概念
3. 整式的识别
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数的识别，解题的核心是熟练掌握二次函数的定义要点，注意区分整式函数与分式函数、一次函数与二次函数，同时要符合函数的对应要求。
【难度系数】
0.8

2. 在二次函数$y=2x^2 -3x +1$中，二次项系数与一次项系数的和是().

A.$-1$
B.$1$
C.$2$
D.$3$

2. A

【分析】
解决这道题的思路分为三步：第一步，回忆二次函数的一般形式，明确各项系数的定义；第二步，对应题目给出的二次函数，准确找出二次项系数和一次项系数，注意系数要包含前面的正负号；第三步，将两个系数相加计算结果，匹配对应选项即可。
【解析】
二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。
在二次函数$y=2x^2 -3x +1$中：
二次项系数为$2$，一次项系数为$-3$；
二者的和为：$2 + (-3) = -1$。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数的基本概念
2. 有理数的加法运算
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数各项系数的识别，解题时要注意系数需自带前面的正负符号，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.9

3. 函数$y=x^{m+1}-x+2$是关于x的二次函数，则m的值为().

A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$

3. C

【分析】
首先回忆二次函数的定义：二次函数需满足两个核心条件，一是含x的最高次项的次数为2，二是二次项的系数不为0。观察给定的函数表达式$y=x^{m+1}-x+2$，除$x^{m+1}$外其余项的最高次数为1，因此只有$x^{m+1}$可以作为二次项，据此列方程求解m即可。
【解析】
解：
∵函数$y=x^{m+1}-x+2$是关于x的二次函数，
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a、b、c$为常数）的函数为二次函数，可得：
最高次项的次数为2，且二次项系数不为0，
∴$m+1=2$，且该项系数$1≠0$，满足要求，
解得$m=1$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题考查二次函数定义的应用，解题关键是牢记二次函数的两个成立条件：最高次项次数为2、二次项系数不为0，熟练掌握定义即可快速得出答案，属于基础题。
【难度系数】
0.9

4. 下面的四个选项中都有两个变量，其中变量$ y $与变量$ x $之间是二次函数关系的是().

A.铅笔的单价不变，总价$ y $与支数$ x $
B.路程一定，列车运行的平均速度$ y $与时间$ x $
C.正方体的表面积$ y $与它的棱长$ x $
D.速度一定，列车的行驶路程$ y $与行驶时间$ x $

4. C

【分析】
要判断变量$y$与$x$是否为二次函数关系，首先要明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数。解题时先结合每个选项的实际情境，推导得出$y$与$x$的函数关系式，再对照二次函数的定义逐一判断即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 设铅笔单价为常数$k(k＞0)$，则总价$y=kx$，属于一次函数（正比例函数），不是二次函数；
B. 设总路程为常数$s(s＞0)$，根据“路程=速度×时间”可得$xy=s$，即$y=\frac{s}{x}$，属于反比例函数，不是二次函数；
C. 正方体有6个面积相等的面，每个面的面积为$x^2$，因此表面积$y=6x^2$，符合二次函数的定义，属于二次函数；
D. 设列车行驶速度为常数$v(v＞0)$，则路程$y=vx$，属于一次函数（正比例函数），不是二次函数。
综上，符合要求的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义；一次函数的定义；反比例函数的定义
【点评】
本题考查实际场景下的函数类型识别，解题核心是先根据常见数量关系写出函数表达式，再结合各类函数的定义判断即可，侧重对基础概念的考查。
【难度系数】
0.9

5. 对于任意实数$m$,下列函数一定是二次函数的是().

A.$y=(m-1)^2x^2$
B.$y=(m+1)^2x^2$
C.$y=(m^2+1)x^2$
D.$y=(m^2-1)x^2$

5. C

【分析】
要判断哪个函数一定是二次函数，首先要明确二次函数的核心判定条件：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数）的函数是二次函数，且要求二次项系数$a≠0$。因此本题只需逐一分析每个选项中$x^2$的系数，判断其是否对任意实数$m$都不为0即可。
【解析】
根据二次函数的定义，函数为二次函数的必要条件是二次项系数不为0：
选项A：二次项系数为$(m-1)^2$，当$m=1$时，$(m-1)^2=0$，此时函数不是二次函数，不符合要求；
选项B：二次项系数为$(m+1)^2$，当$m=-1$时，$(m+1)^2=0$，此时函数不是二次函数，不符合要求；
选项C：二次项系数为$m^2+1$，对任意实数$m$，都有$m^2≥0$，因此$m^2+1≥1≠0$，二次项系数恒不为0，该函数一定是二次函数，符合要求；
选项D：二次项系数为$m^2-1$，当$m=\pm1$时，$m^2-1=0$，此时函数不是二次函数，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题考查二次函数的判定，解题的关键是牢记二次函数二次项系数不为0的要求，结合平方的非负性判断系数的取值即可，属于对基础概念的考查。
【难度系数】
0.8

6. 在二次函数$y=-x^2+4x-2$中，二次项系数是，一次项系数是，常数项是。

6. -1 4 -2

【分析】
首先回忆二次函数的一般形式：形如$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a、b、c$为常数）的函数是二次函数，其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时将题干给出的函数和一般形式一一对应即可，注意要带上各项前面的符号确定系数，避免漏看负号出错。
【解析】
二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。
将$y=-x^2+4x-2$与一般形式对照：
二次项为$-x^2$，对应二次项系数为$-1$；
一次项为$4x$，对应一次项系数为$4$；
常数项为$-2$。
【答案】
$-1$；$4$；$-2$
【知识点】
二次函数的一般形式；整式的项与系数
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查二次函数各项系数的识别，解题的关键是注意保留各项自带的符号，不要漏写负号。
【难度系数】
0.9