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17.【问题提出】课堂上，老师提出了下面的问题：
已知$3a＞b＞0$，$M=\dfrac{a}{b}$，$N=\dfrac{a+1}{b+3}$，试比较$M$与$N$的大小.
【方法研究】小华:整式的大小比较可采用“作差法”.
老师:比较$x^2+1$与$2x-1$的大小.
小华:$\because (x^2+1)-(2x-1)=x^2+1-2x+1=(x-1)^2+1＞0$,
$\therefore x^2+1＞2x-1$.
老师:分式的大小比较能用“作差法”吗？
……
【问题解决】(1)请用“作差法”解答老师提出的问题.
(2)比较大小:$\dfrac{23}{68}$
已知$3a＞b＞0$，$M=\dfrac{a}{b}$，$N=\dfrac{a+1}{b+3}$，试比较$M$与$N$的大小.
【方法研究】小华:整式的大小比较可采用“作差法”.
老师:比较$x^2+1$与$2x-1$的大小.
小华:$\because (x^2+1)-(2x-1)=x^2+1-2x+1=(x-1)^2+1＞0$,
$\therefore x^2+1＞2x-1$.
老师:分式的大小比较能用“作差法”吗？
……
【问题解决】(1)请用“作差法”解答老师提出的问题.
(2)比较大小:$\dfrac{23}{68}$
＜
$\dfrac{22}{65}$. (填“＞”“＜”或“=”)答案
17. (1) $M-N=\dfrac{a}{b} - \dfrac{a+1}{b+3} = \dfrac{a(b+3)}{b(b+3)} - \dfrac{b(a+1)}{b(b+3)} = \dfrac{ab+3a-ab-b}{b(b+3)} = \dfrac{3a-b}{b(b+3)}$,$\because 3a＞b＞0$,$\therefore 3a-b＞0$,$b(b+3)＞0$.$\therefore \dfrac{3a-b}{b(b+3)}＞0$.$\therefore M＞N$
(2) ＜
(2) ＜
解析
【分析】
(1) 比较两个分式的大小可采用作差法：第一步计算两个式子的差，对分式通分后化简差的表达式；第二步结合已知条件判断差的正负性：若差＞0，则被减数更大，若差＜0，则减数更大，若差=0，则两式相等；第三步根据差的正负得出M和N的大小关系。
(2) 观察两个待比较的分式，分子相差1、分母相差3，符合(1)中M和N的结构特征，可直接套用(1)的结论快速判断，也可直接用作差法计算验证。
【解析】
(1) 计算M与N的差：
$M-N=\dfrac{a}{b} - \dfrac{a+1}{b+3}$
通分，公分母为$b(b+3)$，得：
$=\dfrac{a(b+3)}{b(b+3)} - \dfrac{b(a+1)}{b(b+3)}$
合并分子并化简：
$=\dfrac{ab+3a-ab-b}{b(b+3)}=\dfrac{3a-b}{b(b+3)}$
由已知条件$3a＞b＞0$可得：
$3a-b＞0$，$b＞0$故$b+3＞0$，因此$b(b+3)＞0$
$\therefore \dfrac{3a-b}{b(b+3)}＞0$，即$M-N＞0$
$\therefore M＞N$
(2) 方法一：套用(1)的结论，令$a=22$，$b=65$，则$3a=66＞65=b＞0$，此时$M=\dfrac{22}{65}$，$N=\dfrac{a+1}{b+3}=\dfrac{23}{68}$，由(1)得$M＞N$，即$\dfrac{22}{65}＞\dfrac{23}{68}$，故$\dfrac{23}{68}＜\dfrac{22}{65}$。
方法二：作差验证：$\dfrac{23}{68}-\dfrac{22}{65}=\dfrac{23×65 - 22×68}{68×65}=\dfrac{1495-1496}{4420}=\dfrac{-1}{4420}＜0$，故$\dfrac{23}{68}＜\dfrac{22}{65}$。
【答案】
(1) $M＞N$；(2) ＜
【知识点】
作差法比较大小，分式的加减运算，不等式的性质
【点评】
本题重点考查作差法比较大小的应用，核心步骤为“作差→化简→判断正负→得出结论”，第一问推导的通用结论可直接用于第二问的求解，体现了从一般到特殊的数学思想，解题时注意通分计算的准确性。
【难度系数】
0.7
(1) 比较两个分式的大小可采用作差法：第一步计算两个式子的差，对分式通分后化简差的表达式；第二步结合已知条件判断差的正负性：若差＞0，则被减数更大，若差＜0，则减数更大，若差=0，则两式相等；第三步根据差的正负得出M和N的大小关系。
(2) 观察两个待比较的分式，分子相差1、分母相差3，符合(1)中M和N的结构特征，可直接套用(1)的结论快速判断，也可直接用作差法计算验证。
【解析】
(1) 计算M与N的差：
$M-N=\dfrac{a}{b} - \dfrac{a+1}{b+3}$
通分，公分母为$b(b+3)$，得：
$=\dfrac{a(b+3)}{b(b+3)} - \dfrac{b(a+1)}{b(b+3)}$
合并分子并化简：
$=\dfrac{ab+3a-ab-b}{b(b+3)}=\dfrac{3a-b}{b(b+3)}$
由已知条件$3a＞b＞0$可得：
$3a-b＞0$，$b＞0$故$b+3＞0$，因此$b(b+3)＞0$
$\therefore \dfrac{3a-b}{b(b+3)}＞0$，即$M-N＞0$
$\therefore M＞N$
(2) 方法一：套用(1)的结论，令$a=22$，$b=65$，则$3a=66＞65=b＞0$，此时$M=\dfrac{22}{65}$，$N=\dfrac{a+1}{b+3}=\dfrac{23}{68}$，由(1)得$M＞N$，即$\dfrac{22}{65}＞\dfrac{23}{68}$，故$\dfrac{23}{68}＜\dfrac{22}{65}$。
方法二：作差验证：$\dfrac{23}{68}-\dfrac{22}{65}=\dfrac{23×65 - 22×68}{68×65}=\dfrac{1495-1496}{4420}=\dfrac{-1}{4420}＜0$，故$\dfrac{23}{68}＜\dfrac{22}{65}$。
【答案】
(1) $M＞N$；(2) ＜
【知识点】
作差法比较大小，分式的加减运算，不等式的性质
【点评】
本题重点考查作差法比较大小的应用，核心步骤为“作差→化简→判断正负→得出结论”，第一问推导的通用结论可直接用于第二问的求解，体现了从一般到特殊的数学思想，解题时注意通分计算的准确性。
【难度系数】
0.7
18. 如图2，用长为20 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为11 m)围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃.为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC边上用其他材料做了宽为1 m的两扇小门，花圃的面积恰好为40 m².
(1)求此时花圃AB边的长.
(2)花圃的面积能达到50 m²吗？若能，求出AB边的长；若不能，请说明理由.
(1)求此时花圃AB边的长.
(2)花圃的面积能达到50 m²吗？若能，求出AB边的长；若不能，请说明理由.
答案
(1) 设矩形ABCD的边$AB=x$ m,则边$BC=20-3x+2=(22-3x)$m.根据题意,得$x(22-3x)=40$,整理得$3x^2-22x+40=0$,解得$x_1=\dfrac{10}{3},x_2=4$.当$x=\dfrac{10}{3}$时,$22-3x=22-10=12＞11$,不合题意舍去;当$x=4$时,$22-3x=22-12=10$,符合题意.故此时花圃AB边的长为4 m
(2) 不能.理由如下:由题意,得$x(22-3x)=50$,整理得$3x^2-22x+50=0$.$\because \Delta=(-22)^2-4×3×50=-116＜0$,$\therefore$ 一元二次方程没有实数根.$\therefore$ 花圃的面积不能达到$50\ \mathrm{m}^2$
(2) 不能.理由如下:由题意,得$x(22-3x)=50$,整理得$3x^2-22x+50=0$.$\because \Delta=(-22)^2-4×3×50=-116＜0$,$\therefore$ 一元二次方程没有实数根.$\therefore$ 花圃的面积不能达到$50\ \mathrm{m}^2$
解析
【分析】
（1）本题属于一元二次方程的实际应用类问题，解题时先设AB边长为x m，观察图形可知垂直于墙的篱笆共有3段长度为x的边；BC边平行于墙，因为BC上有2扇宽1m的小门不需要使用篱笆，因此BC的长度=总篱笆长度-3段垂直墙的篱笆长度+两扇门的总宽度，再结合墙的最大可用长度为11m的限制，列出面积方程求解后，要检验根是否符合实际取值范围。
（2）假设面积能达到50m²，仿照第一问的等量关系列方程，通过计算一元二次方程的根的判别式判断方程是否有实数根，若判别式小于0则无实根，说明面积无法达到。
【解析】
(1) 设矩形ABCD的边$AB=x$ m，则边$BC=20-3x+2=(22-3x)$m。
根据题意花圃面积为40$\mathrm{m}^2$，列方程得：
$x(22-3x)=40$
整理得$3x^2-22x+40=0$，解得$x_1=\dfrac{10}{3},x_2=4$。
检验根的合理性：
当$x=\dfrac{10}{3}$时，$22-3x=22-10=12＞11$，超过墙的最大可用长度，不合题意舍去；
当$x=4$时，$22-3x=22-12=10＜11$，符合题意。
(2) 不能，理由如下：
假设花圃面积能达到50$\mathrm{m}^2$，由题意得：
$x(22-3x)=50$
整理得$3x^2-22x+50=0$。
计算根的判别式：$\because \Delta=(-22)^2-4×3×50=-116＜0$，
$\therefore$ 一元二次方程没有实数根，即不存在符合条件的AB边长。
【答案】
(1) 此时花圃AB边的长为4 m；
(2) 不能，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的应用、根的判别式、实际问题根的检验
【点评】
本题结合生活场景考察一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确表示出平行于墙的边的长度，同时要注意结合实际限制条件对求解出的根进行取舍，第二问通过判别式判断方程是否有实根即可得出结论，考察了学生的数学建模能力和实际问题分析能力。
【难度系数】
0.6
（1）本题属于一元二次方程的实际应用类问题，解题时先设AB边长为x m，观察图形可知垂直于墙的篱笆共有3段长度为x的边；BC边平行于墙，因为BC上有2扇宽1m的小门不需要使用篱笆，因此BC的长度=总篱笆长度-3段垂直墙的篱笆长度+两扇门的总宽度，再结合墙的最大可用长度为11m的限制，列出面积方程求解后，要检验根是否符合实际取值范围。
（2）假设面积能达到50m²，仿照第一问的等量关系列方程，通过计算一元二次方程的根的判别式判断方程是否有实数根，若判别式小于0则无实根，说明面积无法达到。
【解析】
(1) 设矩形ABCD的边$AB=x$ m，则边$BC=20-3x+2=(22-3x)$m。
根据题意花圃面积为40$\mathrm{m}^2$，列方程得：
$x(22-3x)=40$
整理得$3x^2-22x+40=0$，解得$x_1=\dfrac{10}{3},x_2=4$。
检验根的合理性：
当$x=\dfrac{10}{3}$时，$22-3x=22-10=12＞11$，超过墙的最大可用长度，不合题意舍去；
当$x=4$时，$22-3x=22-12=10＜11$，符合题意。
(2) 不能，理由如下：
假设花圃面积能达到50$\mathrm{m}^2$，由题意得：
$x(22-3x)=50$
整理得$3x^2-22x+50=0$。
计算根的判别式：$\because \Delta=(-22)^2-4×3×50=-116＜0$，
$\therefore$ 一元二次方程没有实数根，即不存在符合条件的AB边长。
【答案】
(1) 此时花圃AB边的长为4 m；
(2) 不能，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的应用、根的判别式、实际问题根的检验
【点评】
本题结合生活场景考察一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确表示出平行于墙的边的长度，同时要注意结合实际限制条件对求解出的根进行取舍，第二问通过判别式判断方程是否有实根即可得出结论，考察了学生的数学建模能力和实际问题分析能力。
【难度系数】
0.6
