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11. 已知关于$ x $的方程$ x^2 + kx - 2 = 0 $的一个根是1，则另一个根是
−2
，$ k $的值是1
。答案
11. −2 1
解析
【分析】
本题可通过两种常见思路求解：思路1：根据一元二次方程根的定义，将已知根x=1代入原方程，先求出k的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根；思路2：利用一元二次方程根与系数的关系，直接通过两根的乘积关系先求另一个根，再通过两根的和求k的值，两种方法均符合学段知识要求，均可快速得到结果。
【解析】
方法一（利用根的定义求解）：
1. 将x=1代入方程$x^2 + kx - 2 = 0$，可得：
$1^2 + k×1 - 2 = 0$
化简得$k - 1 = 0$，解得$k=1$。
2. 将$k=1$代入原方程，得$x^2 + x - 2 = 0$，因式分解得$(x+2)(x-1)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-2$，即另一个根为-2。
方法二（利用根与系数的关系求解）：
设方程的另一个根为$x_0$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积为$\frac{c}{a}$，两根之和为$-\frac{b}{a}$。
由两根之积关系：$1× x_0=\frac{-2}{1}=-2$，解得$x_0=-2$。
由两根之和关系：$1 + (-2)=-\frac{k}{1}$，即$-1=-k$，解得$k=1$。
【答案】
-2；1
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题方法较为常规，熟练掌握一元二次方程根的相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
本题可通过两种常见思路求解：思路1：根据一元二次方程根的定义，将已知根x=1代入原方程，先求出k的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根；思路2：利用一元二次方程根与系数的关系，直接通过两根的乘积关系先求另一个根，再通过两根的和求k的值，两种方法均符合学段知识要求，均可快速得到结果。
【解析】
方法一（利用根的定义求解）：
1. 将x=1代入方程$x^2 + kx - 2 = 0$，可得：
$1^2 + k×1 - 2 = 0$
化简得$k - 1 = 0$，解得$k=1$。
2. 将$k=1$代入原方程，得$x^2 + x - 2 = 0$，因式分解得$(x+2)(x-1)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-2$，即另一个根为-2。
方法二（利用根与系数的关系求解）：
设方程的另一个根为$x_0$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积为$\frac{c}{a}$，两根之和为$-\frac{b}{a}$。
由两根之积关系：$1× x_0=\frac{-2}{1}=-2$，解得$x_0=-2$。
由两根之和关系：$1 + (-2)=-\frac{k}{1}$，即$-1=-k$，解得$k=1$。
【答案】
-2；1
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题方法较为常规，熟练掌握一元二次方程根的相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
12. 方程$(4x - 1)^2 -5=0$的根为$x_1=$
$\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}$
，$x_2=$$\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}$
。答案
12. $\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}$ $\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}$
解析
【分析】
观察方程结构，左侧是完全平方式，右侧是常数，适合用直接开平方法求解。解题思路：首先将常数项移到方程右侧，使左侧仅保留完全平方式；再对等式两边同时开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程；最后分别求解这两个一元一次方程，就能得到方程的两个根。
【解析】
解：移项，得$(4x-1)^2=5$
两边同时开平方，得$4x-1=\pm\sqrt{5}$
分两种情况求解：
当$4x-1=\sqrt{5}$时，$4x=1+\sqrt{5}$，解得$x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}$
当$4x-1=-\sqrt{5}$时，$4x=1-\sqrt{5}$，解得$x=\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}$
【答案】
$\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}$；$\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题，直接开平方法适用于形如$(ax+b)^2=c(c≥0)$的方程，掌握该方法的适用特征即可快速求解。
【难度系数】
0.9
观察方程结构，左侧是完全平方式，右侧是常数，适合用直接开平方法求解。解题思路：首先将常数项移到方程右侧，使左侧仅保留完全平方式；再对等式两边同时开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程；最后分别求解这两个一元一次方程，就能得到方程的两个根。
【解析】
解：移项，得$(4x-1)^2=5$
两边同时开平方，得$4x-1=\pm\sqrt{5}$
分两种情况求解：
当$4x-1=\sqrt{5}$时，$4x=1+\sqrt{5}$，解得$x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}$
当$4x-1=-\sqrt{5}$时，$4x=1-\sqrt{5}$，解得$x=\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}$
【答案】
$\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}$；$\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题，直接开平方法适用于形如$(ax+b)^2=c(c≥0)$的方程，掌握该方法的适用特征即可快速求解。
【难度系数】
0.9
13. 一块正方形钢板，截去3 cm宽的矩形钢条后，剩下的面积是54 $\mathrm{cm}^2$，则原来这块钢板的面积是
81
$\mathrm{cm}^2$.答案
13. 81
解析
【分析】
要计算原来正方形钢板的面积，首先需要求出正方形的边长，因此我们可以设原正方形的边长为未知数。截去3cm宽的矩形钢条后，剩余图形是一个矩形：它的长和原正方形边长相等，宽等于原正方形边长减去3cm，根据“剩余面积是54cm²”这一条件，结合矩形面积公式即可列出一元二次方程，求解得到正数边长后即可计算原正方形面积，注意要舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
解：设原正方形钢板的边长为$ x \, \mathrm{cm} $。
由题意可知，截去钢条后剩余矩形的长为$ x \, \mathrm{cm} $，宽为$ (x-3) \, \mathrm{cm} $，根据矩形面积公式列方程：
$x(x-3) = 54$
整理得一元二次方程：
$x^2 - 3x - 54 = 0$
因式分解得：
$(x-9)(x+6) = 0$
解得：$ x_1 = 9 $，$ x_2 = -6 $
由于边长不能为负数，因此舍去$ x = -6 $。
原正方形钢板的面积为：$ 9 × 9 = 81 \, \mathrm{cm}^2 $
【答案】
81
【知识点】
一元二次方程的应用；正方形面积计算；矩形面积计算
【点评】
本题是几何与代数结合的基础应用题，解题关键是准确找到剩余图形的边长与原正方形边长的关系，结合面积公式列方程求解，解答时要注意结合实际意义排除不符合的解。
【难度系数】
0.8
要计算原来正方形钢板的面积，首先需要求出正方形的边长，因此我们可以设原正方形的边长为未知数。截去3cm宽的矩形钢条后，剩余图形是一个矩形：它的长和原正方形边长相等，宽等于原正方形边长减去3cm，根据“剩余面积是54cm²”这一条件，结合矩形面积公式即可列出一元二次方程，求解得到正数边长后即可计算原正方形面积，注意要舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
解：设原正方形钢板的边长为$ x \, \mathrm{cm} $。
由题意可知，截去钢条后剩余矩形的长为$ x \, \mathrm{cm} $，宽为$ (x-3) \, \mathrm{cm} $，根据矩形面积公式列方程：
$x(x-3) = 54$
整理得一元二次方程：
$x^2 - 3x - 54 = 0$
因式分解得：
$(x-9)(x+6) = 0$
解得：$ x_1 = 9 $，$ x_2 = -6 $
由于边长不能为负数，因此舍去$ x = -6 $。
原正方形钢板的面积为：$ 9 × 9 = 81 \, \mathrm{cm}^2 $
【答案】
81
【知识点】
一元二次方程的应用；正方形面积计算；矩形面积计算
【点评】
本题是几何与代数结合的基础应用题，解题关键是准确找到剩余图形的边长与原正方形边长的关系，结合面积公式列方程求解，解答时要注意结合实际意义排除不符合的解。
【难度系数】
0.8
14. 某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得该团体操表演队伍增加的行、列数相同，则增加了
3
行。答案
14. 3
解析
【分析】
首先明确题目中的等量关系：增加人数后的总人数 = 原有总人数 + 51。先计算出原有队伍的人数，再设增加的行、列数均为x，用含x的式子表示出增加行列后的总人数，根据等量关系列一元二次方程求解，最后结合实际意义舍去不符合的根即可得到答案。
【解析】
设增加了x行，由题意可知增加的列数也为x。
原有队伍人数：$6 × 8 = 48$（人）
增加51人后总人数：$48 + 51 = 99$（人）
增加行列后，队伍为$(6+x)$行、$(8+x)$列，因此可列方程：
$(6+x)(8+x) = 99$
展开并整理方程：
$x^2 + 14x + 48 = 99$
$x^2 + 14x - 51 = 0$
因式分解得：
$(x + 17)(x - 3) = 0$
解得：$x_1 = 3$，$x_2 = -17$
因为增加的行数不能为负数，所以舍去$x=-17$，即$x=3$。
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程的应用；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程实际应用中的几何类问题，解题的关键是找准等量关系正确列方程，求解后要注意检验方程的根是否符合实际意义，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
首先明确题目中的等量关系：增加人数后的总人数 = 原有总人数 + 51。先计算出原有队伍的人数，再设增加的行、列数均为x，用含x的式子表示出增加行列后的总人数，根据等量关系列一元二次方程求解，最后结合实际意义舍去不符合的根即可得到答案。
【解析】
设增加了x行，由题意可知增加的列数也为x。
原有队伍人数：$6 × 8 = 48$（人）
增加51人后总人数：$48 + 51 = 99$（人）
增加行列后，队伍为$(6+x)$行、$(8+x)$列，因此可列方程：
$(6+x)(8+x) = 99$
展开并整理方程：
$x^2 + 14x + 48 = 99$
$x^2 + 14x - 51 = 0$
因式分解得：
$(x + 17)(x - 3) = 0$
解得：$x_1 = 3$，$x_2 = -17$
因为增加的行数不能为负数，所以舍去$x=-17$，即$x=3$。
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程的应用；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程实际应用中的几何类问题，解题的关键是找准等量关系正确列方程，求解后要注意检验方程的根是否符合实际意义，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
三、解答题
15. 解下列方程.
(1)$x^2 +4x -5=0$；
(2)$2x^2 -7x +3=0$.
15. 解下列方程.
(1)$x^2 +4x -5=0$；
(2)$2x^2 -7x +3=0$.
答案
15. (1) $x_1=-5,x_2=1$
(2) $x_1=\dfrac{1}{2},x_2=3$
(2) $x_1=\dfrac{1}{2},x_2=3$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的求解，这两道题用因式分解法（十字相乘法）解题更简便：
(1) 对于方程$x^2+4x-5=0$，找到两个数满足乘积为常数项$-5$、和为一次项系数$4$，即可将二次三项式拆为两个一次因式的乘积，再令每个因式为0即可求解；
(2) 对于方程$2x^2-7x+3=0$，二次项系数不为1，将二次项系数2拆为2和1，常数项3拆为$-1$和$-3$，交叉相乘求和刚好等于一次项系数$-7$，完成因式分解后分别求解两个一次方程即可。
【解析】
(1) 解$x^2 +4x -5=0$：
用十字相乘法因式分解得：$(x+5)(x-1)=0$
$\therefore x+5=0$ 或 $x-1=0$
解得$x_1=-5$，$x_2=1$
(2) 解$2x^2 -7x +3=0$：
用十字相乘法因式分解得：$(2x-1)(x-3)=0$
$\therefore 2x-1=0$ 或 $x-3=0$
解得$x_1=\dfrac{1}{2}$，$x_2=3$
【答案】
(1) $x_1=-5,x_2=1$
(2) $x_1=\dfrac{1}{2},x_2=3$
【知识点】
一元二次方程求解、因式分解法、十字相乘法
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，因式分解法是解一元二次方程的常用简便方法，熟练掌握十字相乘法可大幅提升解题效率，本题也可通过配方法、公式法求解，同学们可自行尝试不同解法巩固知识点。
【难度系数】
0.85
本题考查一元二次方程的求解，这两道题用因式分解法（十字相乘法）解题更简便：
(1) 对于方程$x^2+4x-5=0$，找到两个数满足乘积为常数项$-5$、和为一次项系数$4$，即可将二次三项式拆为两个一次因式的乘积，再令每个因式为0即可求解；
(2) 对于方程$2x^2-7x+3=0$，二次项系数不为1，将二次项系数2拆为2和1，常数项3拆为$-1$和$-3$，交叉相乘求和刚好等于一次项系数$-7$，完成因式分解后分别求解两个一次方程即可。
【解析】
(1) 解$x^2 +4x -5=0$：
用十字相乘法因式分解得：$(x+5)(x-1)=0$
$\therefore x+5=0$ 或 $x-1=0$
解得$x_1=-5$，$x_2=1$
(2) 解$2x^2 -7x +3=0$：
用十字相乘法因式分解得：$(2x-1)(x-3)=0$
$\therefore 2x-1=0$ 或 $x-3=0$
解得$x_1=\dfrac{1}{2}$，$x_2=3$
【答案】
(1) $x_1=-5,x_2=1$
(2) $x_1=\dfrac{1}{2},x_2=3$
【知识点】
一元二次方程求解、因式分解法、十字相乘法
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，因式分解法是解一元二次方程的常用简便方法，熟练掌握十字相乘法可大幅提升解题效率，本题也可通过配方法、公式法求解，同学们可自行尝试不同解法巩固知识点。
【难度系数】
0.85
16. 定义:如果关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$满足$a-b+c=0$，那么我们称这个方程为“黄金方程”.
(1)判断一元二次方程$4x^2+11x+7=0$是否为“黄金方程”，并说明理由.
(2)已知$3x^2 - mx +n=0$是关于$x$的“黄金方程”，若$m$是此方程的一个根，则$m$的值为多少？
(1)判断一元二次方程$4x^2+11x+7=0$是否为“黄金方程”，并说明理由.
(2)已知$3x^2 - mx +n=0$是关于$x$的“黄金方程”，若$m$是此方程的一个根，则$m$的值为多少？
答案
16. (1) 方程$4x^2+11x+7=0$是“黄金方程”.理由如下:$\because a=4,b=11,c=7,\therefore a−b+c=4−11+7=0.\therefore$ 一元二次方程$4x^2+11x+7=0$是“黄金方程”
(2) $\because 3x^2 - mx +n=0$是关于$x$的“黄金方程”,$a=3,b=-m,c=n,\therefore a-b+c=0$,即$3-(-m)+n=0.\therefore n=-3-m.\therefore$ 原方程可化为$3x^2 -mx -3 -m=0$.$\because m$是此方程的一个根,$\therefore 3m^2 -m^2 -3 -m=0$,即$2m^2 -m -3=0$. 解得$m=-1$或$m=\dfrac{3}{2}$
(2) $\because 3x^2 - mx +n=0$是关于$x$的“黄金方程”,$a=3,b=-m,c=n,\therefore a-b+c=0$,即$3-(-m)+n=0.\therefore n=-3-m.\therefore$ 原方程可化为$3x^2 -mx -3 -m=0$.$\because m$是此方程的一个根,$\therefore 3m^2 -m^2 -3 -m=0$,即$2m^2 -m -3=0$. 解得$m=-1$或$m=\dfrac{3}{2}$
解析
【分析】
（1）解决第一问的核心是准确理解“黄金方程”的定义：若一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$满足$a-b+c=0$，则为黄金方程。因此只需先确定给定方程的$a、b、c$的值，代入$a-b+c$计算，判断结果是否为0即可。
（2）解决第二问分三步：第一步，根据“黄金方程”的定义，代入$a=3、b=-m、c=n$，推导得到$n$与$m$的关系式，替换原方程中的$n$；第二步，根据“方程的根代入方程等式成立”的性质，将$x=m$代入替换后的方程，得到关于$m$的一元二次方程；第三步，解这个一元二次方程即可求出$m$的值。
【解析】
（1）一元二次方程$4x^2+11x+7=0$是“黄金方程”，理由如下：
在方程$4x^2+11x+7=0$中，$a=4$，$b=11$，$c=7$，
代入得$a-b+c=4-11+7=0$，符合“黄金方程”的定义，因此该方程是“黄金方程”。
（2）$\because 3x^2 - mx +n=0$是“黄金方程”，其中$a=3$，$b=-m$，$c=n$，
$\therefore$ 根据定义得$a-b+c=0$，即$3-(-m)+n=0$，整理得$n=-3-m$。
将$n=-3-m$代入原方程，可得$3x^2 -mx -3 -m=0$。
$\because m$是此方程的一个根，将$x=m$代入方程得：
$3m^2 - m· m -3 -m=0$，
整理得$2m^2 -m -3=0$，
因式分解得$(2m-3)(m+1)=0$，
解得$m=-1$或$m=\dfrac{3}{2}$。
【答案】
（1）是“黄金方程”，理由见解析；（2）$m=-1$或$m=\dfrac{3}{2}$
【知识点】
新定义运算、一元二次方程的根的定义、解一元二次方程
【点评】
本题以新定义“黄金方程”为背景，考查一元二次方程的基础性质，解题的关键是准确理解新定义的规则，将新定义问题转化为常规的一元二次方程问题求解，计算时要注意符号不要出错。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问的核心是准确理解“黄金方程”的定义：若一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$满足$a-b+c=0$，则为黄金方程。因此只需先确定给定方程的$a、b、c$的值，代入$a-b+c$计算，判断结果是否为0即可。
（2）解决第二问分三步：第一步，根据“黄金方程”的定义，代入$a=3、b=-m、c=n$，推导得到$n$与$m$的关系式，替换原方程中的$n$；第二步，根据“方程的根代入方程等式成立”的性质，将$x=m$代入替换后的方程，得到关于$m$的一元二次方程；第三步，解这个一元二次方程即可求出$m$的值。
【解析】
（1）一元二次方程$4x^2+11x+7=0$是“黄金方程”，理由如下：
在方程$4x^2+11x+7=0$中，$a=4$，$b=11$，$c=7$，
代入得$a-b+c=4-11+7=0$，符合“黄金方程”的定义，因此该方程是“黄金方程”。
（2）$\because 3x^2 - mx +n=0$是“黄金方程”，其中$a=3$，$b=-m$，$c=n$，
$\therefore$ 根据定义得$a-b+c=0$，即$3-(-m)+n=0$，整理得$n=-3-m$。
将$n=-3-m$代入原方程，可得$3x^2 -mx -3 -m=0$。
$\because m$是此方程的一个根，将$x=m$代入方程得：
$3m^2 - m· m -3 -m=0$，
整理得$2m^2 -m -3=0$，
因式分解得$(2m-3)(m+1)=0$，
解得$m=-1$或$m=\dfrac{3}{2}$。
【答案】
（1）是“黄金方程”，理由见解析；（2）$m=-1$或$m=\dfrac{3}{2}$
【知识点】
新定义运算、一元二次方程的根的定义、解一元二次方程
【点评】
本题以新定义“黄金方程”为背景，考查一元二次方程的基础性质，解题的关键是准确理解新定义的规则，将新定义问题转化为常规的一元二次方程问题求解，计算时要注意符号不要出错。
【难度系数】
0.7
