21.（9分）【问题背景】
如图7-6-10，点P，Q在直线l的同侧，要在直线l上找一点O，使点O到P，Q两点的距离之和最小，我们可以作出点Q关于直线l的对称点Q'，连结PQ'与直线l交于点O，则点O即为所求.（不必证明）

【实践运用】
（1）如图7-6-11，在边长为2的等边△ABC中，点E是AC边的中点，点P是高AD上一个动点，求PC + PE的最小值.
【拓展延伸】
（2）如图7-6-12，在△ABC中，AB = AC，AC边的垂直平分线EF分别交AB，AC边于点E，F，D为BC边的中点，点P为线段EF上一个动点.如果BC = 4，△ABC的面积是12，那么△PCD周长的最小值是.

（3）如图7-6-13，在Rt△ABC中，已知∠ACB = 90°，$BC = 4\sqrt{2}$，∠ABC = 45°，∠ABC的平分线交AC于点D，点E，F分别是线段BD，BC上的动点，那么CE + EF的最小值是.

21. 解:(1) 连结BE,交AD于点$P_1$.
$\because$ 等边$△ABC$中,$AD ⊥ BC$.
$\therefore AD$是BC边的垂直平分线.
$\therefore PB = PC$,$P_1B = P_1C$.
$\because PB + PE ≥ BE$,
$\therefore PC + PE ≥ BE$.
$\because △ABC$是一个边长为2的等边三角形,点E是边AC的中点,
$\therefore BE ⊥ AC$,$CE = 1$.
$\therefore BE = \sqrt{BC^2 - CE^2}$
$= \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$.
$\therefore PC + PE$的最小值是$\sqrt{3}$.

(2) 8
(3) 4

22.(10分)小慧、小东和小明三人共同研究一个数学问题.
如图7-6-14,在$△ ABC$中,$∠ ACB = 90°,∠ ABC = 45°$,分别以$AB,BC$为边向外作$△ ABD$和$△ BCE$,使$AD = BD,BE = CE,∠ ADB = ∠ BEC = 90°$,连结$DE$交$AB$于点$F$.探究线段$DF$与$EF$之间的数量关系.

(1)小慧思维敏捷,她发现$BD = BC$,于是尝试过点$D$作$DG ⊥ AB$,垂足为点$G$,从而构造$△ BDG ≌ △ BCE$,由此得到$DG = BE$;又由$∠ ABC = ∠ CBE = 45°$可得$∠ EBF = 90°$,进而可证$△ BEF ≌$,于是得到的结论是.
(2)受此启发,小东说:有一道类似的题目,不同的是$∠ ABC = 30°,∠ ADB = ∠ BEC = 60°$,如图7-6-15,其他条件不变,仿照小慧的方法,通过推理也可以得到结论.请你尝试完成该题目的推理过程.

(3)小明通过观察思考后发现了规律,他大胆地提出,可把这个问题推广到一般情况.如图7-6-16,$∠ ADB = ∠ BEC = 2∠ ABC$,其他条件不变.猜想的结论是:.

22.(1) $△GDF$, $DF = EF$.
(2) 证明:过点D作$DG ⊥ AB$,垂足为点G.
易得$△ABD$和$△BCE$都是等边三角形.
由此可得,在$△BDG$和$△ABC$中,
$\begin{cases} ∠BGD = ∠ACB, \\ ∠BDG = ∠ABC, \\ BD = AB, \end{cases}$
$\therefore △BDG ≅ △ABC(\mathrm{AAS})$.
$\therefore DG = BC$.
$\because ∠CBE = 60°$,
$∠ABC = 30°$.
$\therefore ∠ABE = 90°$.
在$△GDF$和$△BEF$中,
$\begin{cases} ∠DFG = ∠EFB, \\ ∠DGF = ∠EBF, \\ DG = BE, \end{cases}$
$\therefore △GDF ≅ △BEF(\mathrm{AAS})$.
$\therefore DF = EF$.

(3) $DF = EF$.