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19.(9分)如图7-6-9,在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)在BC边上找一点D,在AB边上找一点H,使点D到AB的距离DH等于线段CD的长(用直尺和圆规作图,不写作法,保留作图痕迹).
(2)若(1)中的线段CD=3,BD=5,求△ABC的面积.
(1)在BC边上找一点D,在AB边上找一点H,使点D到AB的距离DH等于线段CD的长(用直尺和圆规作图,不写作法,保留作图痕迹).
(2)若(1)中的线段CD=3,BD=5,求△ABC的面积.
答案
19. 解:(1) 如图,作$∠BAC$的平分线,交BC于点D,过点D作AB的垂线,垂足为点H.点D和点H即为所求.
(2) $\because$ AD平分$∠BAC$,
$DH ⊥ AB$, $CD ⊥ AC$,
$\therefore DH = CD = 3$.
由勾股定理,得
$BH = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$.
$\because AD = AD$, $CD = DH$,
$\therefore \mathrm{Rt}△ADC ≅ \mathrm{Rt}△ADH(\mathrm{HL})$.
$\therefore AC = AH$.
设$AC = x$,则$AB = x + 4,BC = 8$.
由勾股定理,得 $AC^2 + BC^2 = AB^2$,
即 $x^2 + 8^2 = (x + 4)^2$.
解这个方程,得 $x = 6$.
$\therefore △ABC$的面积为
$S_{△ABC} = \dfrac{1}{2}AC · BC$
$= \dfrac{1}{2}×6×8 = 24$.
20.(9分)若三个数a,b,c满足$a^2 + b^2 = c^2$，则称a,b,c这三个数为“勾股数”.
小明经研究发现，任意一组勾股数a,b,c之间的关系都可以表示为$\begin{cases} a = k(m^2 - n^2), \\ b = 2kmn, \\ c = k(m^2 + n^2), \end{cases}$其中k,m,n均为正整数，且$m ＞ n$.
(1)请你判断小明发现的结论是否正确.
(2)已知$m^2 = (n^2 - 1)^2 + (2n)^2$，当$n ＞ 1,m ＞ 0$时，$n^2 -1,2n,m$是否为直角三角形的三边长？若是，请填写下表中对应m的值；若不是，请说明理由.
小明经研究发现，任意一组勾股数a,b,c之间的关系都可以表示为$\begin{cases} a = k(m^2 - n^2), \\ b = 2kmn, \\ c = k(m^2 + n^2), \end{cases}$其中k,m,n均为正整数，且$m ＞ n$.
(1)请你判断小明发现的结论是否正确.
(2)已知$m^2 = (n^2 - 1)^2 + (2n)^2$，当$n ＞ 1,m ＞ 0$时，$n^2 -1,2n,m$是否为直角三角形的三边长？若是，请填写下表中对应m的值；若不是，请说明理由.
答案
20. 解:(1) $[k(m^2 - n^2)]^2 + (2kmn)^2$
$= k^2(m^4 - 2m^2n^2 + n^4) + 4k^2m^2n^2$
$= k^2(m^4 + 2m^2n^2 + n^4)$
$= [k(m^2 + n^2)]^2$.
所以满足$a^2 + b^2 = c^2$,结论正确.
(2) $m^2 = (n^2 - 1)^2 + (2n)^2$
$= n^4 - 2n^2 + 1 + 4n^2$
$= n^4 + 2n^2 + 1$
$= (n^2 + 1)^2$.
所以$n^2 - 1$, $2n$, $m$是直角三角形的三边长.
表中对应的数为17和37.
$= k^2(m^4 - 2m^2n^2 + n^4) + 4k^2m^2n^2$
$= k^2(m^4 + 2m^2n^2 + n^4)$
$= [k(m^2 + n^2)]^2$.
所以满足$a^2 + b^2 = c^2$,结论正确.
(2) $m^2 = (n^2 - 1)^2 + (2n)^2$
$= n^4 - 2n^2 + 1 + 4n^2$
$= n^4 + 2n^2 + 1$
$= (n^2 + 1)^2$.
所以$n^2 - 1$, $2n$, $m$是直角三角形的三边长.
表中对应的数为17和37.
