23.(10分)定义:如果三角形的两个内角α与β满足$2α+β=90°$,那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.
(1)若等腰三角形是“准互余三角形”,则它的顶角的度数为.
(2)关于“准互余三角形”,下列说法正确的是.(只填序号)
① 在$△ ABC$中,若$∠B = 70°,∠C = 10°$,则$△ ABC$是“准互余三角形”.
② 若$△ ABC$是“准互余三角形”,$∠C ＞ 90°,∠A = 40°$,则$∠B = 10°$.
③“准互余三角形”一定是钝角三角形.
(3)如图7-6-17,在$△ ABC$中,$∠ACB = 90°$,AD是$∠BAC$的平分线.
① 判断图中是否存在“准互余三角形”,若存在,请指出“准互余三角形”,明确α,β,并证明你的结论;否则,请说明理由.

② 已知$CD = 1,AC = 2$,点P在AB边上,若$△ APD$是等腰三角形,则$△ APD$的面积是.

23.(1) $120°$. 提示:在等腰三角形中,由$2α + β = 90°$可知$α + β ＜ 90°$,所以另一个角是钝角,它是顶角,底角为$α = β = 30°$,顶角为$120°$.

(2) ①③. 提示:① 由$2×10° + 70° = 90°$可知这个三角形是“准互余三角形”.
② 当$∠B = 25°,∠C = 115°$时,$∠A = 40°$,则$2∠B + ∠A = 90°$,同样满足条件.这说明$∠B$的值不唯一,即这个说法错误.
③ 由$2α + β = 90°$可知$α + β ＜ 90°$,这说明这个三角形中有一个角大于$90°$.
(3) ① $△ABD$是“准互余三角形”.
理由如下:
在$△ABD$中,$∠BAD = α$,$∠B = β$.
$\because AD$是$∠BAC$的平分线,
$\therefore ∠BAC = 2∠BAD = 2α$.
$\because$ 在$△ABC$中,$∠ACB = 90°$,
$\therefore ∠BAC + ∠B = 90°$,
即 $2α + β = 90°$.
$\therefore △ABD$是“准互余三角形”.
② $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ 或 $\dfrac{5}{8}$.
提示:如左图,当$AP = AD$时,
$AP = \sqrt{CD^2 + AC^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$.
过点D作$DE ⊥ AB$,垂足为点E.
由AD平分$∠BAC$可得$DE = DC = 1$.
$\therefore S_{△APD} = \dfrac{1}{2}AP · DE = \dfrac{1}{2}×\sqrt{5}×1 = \dfrac{\sqrt{5}}{2}$.

如右图,当$AP = DP$时,过点D作$DF // AB$交AC与点F.
易得$△ADP ≅ △ADF$.
在$\mathrm{Rt}△CDF$中,$CD^2 + CF^2 = DF^2$,
即 $1^2 + (2 - AF)^2 = AF^2$.
由此可得$AF = \dfrac{5}{4}$.
$\therefore S_{△APD} = \dfrac{1}{2}AF · CD = \dfrac{1}{2}×\dfrac{5}{4}×1 = \dfrac{5}{8}$.