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在直角三角形中，如果一个锐角等于$30°$，那么它所对的直角边等于斜边的
一半
。答案
一半
解析
【分析】
这道题考查含30°锐角的直角三角形的边的性质，我们可以通过构造辅助线推导结论：首先在含30°角的直角三角形中，延长30°角所对的直角边至原来的2倍长度，连接端点构造出等腰三角形，再结合直角三角形剩余的60°锐角，可判定得到等边三角形，最后通过等边三角形三边相等的性质，即可推出30°角所对直角边和斜边的数量关系。
【解析】
我们可通过构造等边三角形证明该结论：
设在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，则$∠ B=60°$。
延长$BC$至点$D$，使$CD=BC$，连接$AD$。
$\because AC⊥ BC$，$CD=BC$，$\therefore AC$是线段$BD$的垂直平分线，可得$AB=AD$。
又$\because ∠ B=60°$，$\therefore △ ABD$是等边三角形（有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形），因此$AB=BD$。
$\because BD=BC+CD=2BC$，$\therefore BC=\frac{1}{2}AB$，即30°角所对的直角边等于斜边的一半。
【答案】
一半
【知识点】
含30°角的直角三角形性质、等边三角形判定、垂直平分线性质
【点评】
本题是基础概念考查题，对应的性质是几何中常用的边角关系结论，常用于线段长度计算、线段倍分关系证明，需要熟练记忆掌握。
【难度系数】
0.9
这道题考查含30°锐角的直角三角形的边的性质，我们可以通过构造辅助线推导结论：首先在含30°角的直角三角形中，延长30°角所对的直角边至原来的2倍长度，连接端点构造出等腰三角形，再结合直角三角形剩余的60°锐角，可判定得到等边三角形，最后通过等边三角形三边相等的性质，即可推出30°角所对直角边和斜边的数量关系。
【解析】
我们可通过构造等边三角形证明该结论：
设在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，则$∠ B=60°$。
延长$BC$至点$D$，使$CD=BC$，连接$AD$。
$\because AC⊥ BC$，$CD=BC$，$\therefore AC$是线段$BD$的垂直平分线，可得$AB=AD$。
又$\because ∠ B=60°$，$\therefore △ ABD$是等边三角形（有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形），因此$AB=BD$。
$\because BD=BC+CD=2BC$，$\therefore BC=\frac{1}{2}AB$，即30°角所对的直角边等于斜边的一半。
【答案】
一半
【知识点】
含30°角的直角三角形性质、等边三角形判定、垂直平分线性质
【点评】
本题是基础概念考查题，对应的性质是几何中常用的边角关系结论，常用于线段长度计算、线段倍分关系证明，需要熟练记忆掌握。
【难度系数】
0.9
例 如图15.3-29，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E. 求证：DB=2AC.
图15.3-29
证明 连接AD，如图15.3-30，
图15.3-30
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，∠DAB=∠B=15°，
∴∠ADC=30°.
∵∠C=90°，∴AC=$\frac{1}{2}$AD.
∵BD=AD，∴DB=2AC.
图15.3-29
证明 连接AD，如图15.3-30，
图15.3-30
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，∠DAB=∠B=15°，
∴∠ADC=30°.
∵∠C=90°，∴AC=$\frac{1}{2}$AD.
∵BD=AD，∴DB=2AC.
答案
证明：
连接AD。
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠B=15°，
∴∠ADC=∠DAB+∠B=30°。
∵∠ACB=90°，
∴在Rt△ACD中，$AC=\frac{1}{2}AD$。
又∵AD=BD，
∴$AC=\frac{1}{2}DB$，
即DB=2AC。
连接AD。
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠B=15°，
∴∠ADC=∠DAB+∠B=30°。
∵∠ACB=90°，
∴在Rt△ACD中，$AC=\frac{1}{2}AD$。
又∵AD=BD，
∴$AC=\frac{1}{2}DB$，
即DB=2AC。
解析
【分析】
要证明DB=2AC，观察可知两条线段无直接数量关联，首先利用线段垂直平分线的性质，通过连接AD将BD转化为等线段AD，将求证目标转换为证明AD=2AC。再结合已知角度，由等边对等角得∠DAB=∠B=15°，利用三角形外角性质算出∠ADC=30°，最后在Rt△ACD中应用30°角所对直角边等于斜边一半的性质，即可推导出AC与AD的数量关系，进而得到结论。
【解析】
证明：连接AD。
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠B=15°，
∴∠ADC=∠DAB+∠B=30°。
∵∠ACB=90°，
∴在Rt△ACD中，$AC=\frac{1}{2}AD$。
又
∵AD=BD，
∴$AC=\frac{1}{2}DB$，
即DB=2AC。
【答案】
证明：连接AD。
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠B=15°，
∴∠ADC=∠DAB+∠B=30°。
∵∠ACB=90°，
∴在Rt△ACD中，$AC=\frac{1}{2}AD$。
又
∵AD=BD，
∴$AC=\frac{1}{2}DB$，
即DB=2AC。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形外角的性质；直角三角形30°角的性质
【点评】
本题是线段倍分关系证明的典型基础题，解题关键是结合垂直平分线的性质构造辅助线，将分散的线段关系转化到同一个直角三角形中，结合角度计算即可完成证明。
【难度系数】
0.7
要证明DB=2AC，观察可知两条线段无直接数量关联，首先利用线段垂直平分线的性质，通过连接AD将BD转化为等线段AD，将求证目标转换为证明AD=2AC。再结合已知角度，由等边对等角得∠DAB=∠B=15°，利用三角形外角性质算出∠ADC=30°，最后在Rt△ACD中应用30°角所对直角边等于斜边一半的性质，即可推导出AC与AD的数量关系，进而得到结论。
【解析】
证明：连接AD。
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠B=15°，
∴∠ADC=∠DAB+∠B=30°。
∵∠ACB=90°，
∴在Rt△ACD中，$AC=\frac{1}{2}AD$。
又
∵AD=BD，
∴$AC=\frac{1}{2}DB$，
即DB=2AC。
【答案】
证明：连接AD。
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠B=15°，
∴∠ADC=∠DAB+∠B=30°。
∵∠ACB=90°，
∴在Rt△ACD中，$AC=\frac{1}{2}AD$。
又
∵AD=BD，
∴$AC=\frac{1}{2}DB$，
即DB=2AC。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形外角的性质；直角三角形30°角的性质
【点评】
本题是线段倍分关系证明的典型基础题，解题关键是结合垂直平分线的性质构造辅助线，将分散的线段关系转化到同一个直角三角形中，结合角度计算即可完成证明。
【难度系数】
0.7
1. 在$△ ABC$中，$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$，则$BC:AB=$（
A.$1:1$
B.$1:2$
C.$1:3$
D.$2:3$
B
）.A.$1:1$
B.$1:2$
C.$1:3$
D.$2:3$
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先要利用三角形内角和为180°的性质，结合三个角的比例关系求出各内角的度数，判断三角形的类型；再根据特殊直角三角形的边角关系，确定对应边的比值即可。具体步骤为：①设未知数表示三个内角，结合内角和列方程求角度；②判断三角形为含30°角的直角三角形；③找到BC和AB分别对应的角，利用30°角所对直角边等于斜边的一半的性质求比值。
【解析】
设∠A=x，则根据∠A:∠B:∠C=1:2:3，可得∠B=2x，∠C=3x。
根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°，因此：
$x + 2x + 3x = 180°$
解得$6x=180°$，$x=30°$
所以∠A=30°，∠C=$3×30°=90°$，即△ABC是直角三角形，∠C为直角。
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，∠A=30°，它所对的边是BC，斜边为AB，因此$BC=\frac{1}{2}AB$，即$BC:AB=1:2$。
【答案】
B
【知识点】
1.三角形内角和定理
2.含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础类题型，解题的核心是先通过角度比例关系求出三角形各内角的度数，确定三角形的特殊属性，再结合特殊直角三角形的边角性质计算边长比，熟练掌握相关基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先要利用三角形内角和为180°的性质，结合三个角的比例关系求出各内角的度数，判断三角形的类型；再根据特殊直角三角形的边角关系，确定对应边的比值即可。具体步骤为：①设未知数表示三个内角，结合内角和列方程求角度；②判断三角形为含30°角的直角三角形；③找到BC和AB分别对应的角，利用30°角所对直角边等于斜边的一半的性质求比值。
【解析】
设∠A=x，则根据∠A:∠B:∠C=1:2:3，可得∠B=2x，∠C=3x。
根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°，因此：
$x + 2x + 3x = 180°$
解得$6x=180°$，$x=30°$
所以∠A=30°，∠C=$3×30°=90°$，即△ABC是直角三角形，∠C为直角。
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，∠A=30°，它所对的边是BC，斜边为AB，因此$BC=\frac{1}{2}AB$，即$BC:AB=1:2$。
【答案】
B
【知识点】
1.三角形内角和定理
2.含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础类题型，解题的核心是先通过角度比例关系求出三角形各内角的度数，确定三角形的特殊属性，再结合特殊直角三角形的边角性质计算边长比，熟练掌握相关基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 已知$∠ B = 30°$，$AB = 6$，$BC = 8$，则$△ ABC$的面积为（
A.12
B.16
C.24
D.48
A
）.A.12
B.16
C.24
D.48
答案
2. A
解析
【分析】
要计算△ABC的面积，可选用“底×高÷2”的公式求解。题目已知BC的长度，可将BC作为底，只需求出BC边上的高即可。已知∠B=30°，AB=6，我们可以过点A作BC边上的高AD，构造出含30°角的直角三角形ABD，利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质，就能快速求出高AD的长度，代入面积公式即可算出结果。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=90°。
在Rt△ABD中，∠B=30°，AB=6，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$。
代入三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×8×3=12$。
【答案】
A
【知识点】
三角形面积计算；直角三角形30°角的性质
【点评】
本题解题的核心是通过作高构造特殊直角三角形，利用30°角的直角三角形性质求出高，属于基础的几何面积计算类题目，只要掌握相关性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
要计算△ABC的面积，可选用“底×高÷2”的公式求解。题目已知BC的长度，可将BC作为底，只需求出BC边上的高即可。已知∠B=30°，AB=6，我们可以过点A作BC边上的高AD，构造出含30°角的直角三角形ABD，利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质，就能快速求出高AD的长度，代入面积公式即可算出结果。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=90°。
在Rt△ABD中，∠B=30°，AB=6，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$。
代入三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×8×3=12$。
【答案】
A
【知识点】
三角形面积计算；直角三角形30°角的性质
【点评】
本题解题的核心是通过作高构造特殊直角三角形，利用30°角的直角三角形性质求出高，属于基础的几何面积计算类题目，只要掌握相关性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
3. 如图15.3-31，在△ABC中，∠C=90°，∠B = 30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的是（
A.∠CAD=30°
B.AD=BD
C.BD=2CD
D.CD=ED
D
）。A.∠CAD=30°
B.AD=BD
C.BD=2CD
D.CD=ED
答案
3. D
解析
【分析】
解题时先根据直角三角形两锐角互余求出∠CAB的度数，再结合角平分线的定义得到∠CAD和∠BAD的度数，接着利用等角对等边判断AD和BD的关系，再结合直角三角形30°角所对直角边是斜边的一半判断BD和CD的数量关系，最后分析D选项时注意题目没有给出DE⊥AB的条件，不能直接用角平分线的性质得到CD=DE，逐个判断选项即可找出错误说法。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=180°-∠C-∠B=60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD=$\frac{1}{2}$∠CAB=30°，故A选项正确，不符合题意；
∵∠BAD=∠B=30°，
∴AD=BD，故B选项正确，不符合题意；
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，
∴AD=2CD，
又
∵AD=BD，
∴BD=2CD，故C选项正确，不符合题意；
对于D选项：只有当DE⊥AB时，根据角平分线的性质可得CD=ED，题目仅说明E是AB上一点，未说明DE与AB的位置关系，因此CD不一定等于ED，故D选项错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形性质，角平分线定义，等腰三角形判定
【点评】
本题是基础几何判断题，解题时要注意结合已知条件推导结论，不要自行添加题目未给出的条件（如本题不要默认DE⊥AB），逐一验证选项即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
解题时先根据直角三角形两锐角互余求出∠CAB的度数，再结合角平分线的定义得到∠CAD和∠BAD的度数，接着利用等角对等边判断AD和BD的关系，再结合直角三角形30°角所对直角边是斜边的一半判断BD和CD的数量关系，最后分析D选项时注意题目没有给出DE⊥AB的条件，不能直接用角平分线的性质得到CD=DE，逐个判断选项即可找出错误说法。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=180°-∠C-∠B=60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD=$\frac{1}{2}$∠CAB=30°，故A选项正确，不符合题意；
∵∠BAD=∠B=30°，
∴AD=BD，故B选项正确，不符合题意；
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，
∴AD=2CD，
又
∵AD=BD，
∴BD=2CD，故C选项正确，不符合题意；
对于D选项：只有当DE⊥AB时，根据角平分线的性质可得CD=ED，题目仅说明E是AB上一点，未说明DE与AB的位置关系，因此CD不一定等于ED，故D选项错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形性质，角平分线定义，等腰三角形判定
【点评】
本题是基础几何判断题，解题时要注意结合已知条件推导结论，不要自行添加题目未给出的条件（如本题不要默认DE⊥AB），逐一验证选项即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
4. 如图15.3 - 32，在△ABC中，∠ABC = 60°，∠C = 45°，过点A作AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E。若CD = 9，则DE的长度为（
A.2
B.$2\sqrt{3}$
C.3
D.4
C
）。A.2
B.$2\sqrt{3}$
C.3
D.4
答案
4. C
解析
【分析】
解题思路：首先看到AD⊥BC且∠C=45°，可知△ADC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形两直角边相等，可得AD=CD=9；接下来在Rt△ABD中，∠ABC=60°，可得∠BAD=30°，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，结合勾股定理求出BD的长度；再根据角平分线的定义得到∠EBD=30°，最后在Rt△BDE中再次利用30°角直角三角形的性质和勾股定理，即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
①在Rt△ADC中，∠C=45°，
∴∠DAC=90°-∠C=45°=∠C，
∴AD=CD=9。
②在Rt△ABD中，∠ABC=60°，
∴∠BAD=90°-∠ABC=30°，
∴AB=2BD，
由勾股定理得：$BD^2 + AD^2 = AB^2$，
代入AD=9、AB=2BD得：$BD^2 + 9^2 = (2BD)^2$，
整理得$3BD^2=81$，解得$BD=3\sqrt{3}$（线段长度为正，舍去负根）。
③
∵BE平分∠ABC，∠ABC=60°，
∴∠EBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°。
④在Rt△BDE中，∠EBD=30°，
∴BE=2DE，
由勾股定理得：$DE^2 + BD^2 = BE^2$，
代入$BD=3\sqrt{3}$、BE=2DE得：$DE^2 + (3\sqrt{3})^2 = (2DE)^2$，
整理得$3DE^2=27$，解得$DE=3$（线段长度为正，舍去负根）。
【答案】
C
【知识点】
等腰直角三角形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了特殊直角三角形的相关性质和勾股定理的应用，解题时要逐步推导所求线段的关联条件，熟练掌握30°角直角三角形和等腰直角三角形的边的关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先看到AD⊥BC且∠C=45°，可知△ADC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形两直角边相等，可得AD=CD=9；接下来在Rt△ABD中，∠ABC=60°，可得∠BAD=30°，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，结合勾股定理求出BD的长度；再根据角平分线的定义得到∠EBD=30°，最后在Rt△BDE中再次利用30°角直角三角形的性质和勾股定理，即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
①在Rt△ADC中，∠C=45°，
∴∠DAC=90°-∠C=45°=∠C，
∴AD=CD=9。
②在Rt△ABD中，∠ABC=60°，
∴∠BAD=90°-∠ABC=30°，
∴AB=2BD，
由勾股定理得：$BD^2 + AD^2 = AB^2$，
代入AD=9、AB=2BD得：$BD^2 + 9^2 = (2BD)^2$，
整理得$3BD^2=81$，解得$BD=3\sqrt{3}$（线段长度为正，舍去负根）。
③
∵BE平分∠ABC，∠ABC=60°，
∴∠EBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°。
④在Rt△BDE中，∠EBD=30°，
∴BE=2DE，
由勾股定理得：$DE^2 + BD^2 = BE^2$，
代入$BD=3\sqrt{3}$、BE=2DE得：$DE^2 + (3\sqrt{3})^2 = (2DE)^2$，
整理得$3DE^2=27$，解得$DE=3$（线段长度为正，舍去负根）。
【答案】
C
【知识点】
等腰直角三角形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了特殊直角三角形的相关性质和勾股定理的应用，解题时要逐步推导所求线段的关联条件，熟练掌握30°角直角三角形和等腰直角三角形的边的关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
