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5. 如图15.3 - 33，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD$是边$AB$上的高，$∠ A=30°$。若$BC=2$，则$AD$的长为
3
。答案
5. 3
解析
【分析】
解题时先结合题目给出的直角三角形、30°角的条件，优先想到直角三角形30°角的特殊性质：首先在Rt△ABC中，利用该性质求出斜边AB的长度；再根据CD是AB的高，得到Rt△BCD，通过直角三角形两锐角互余求出∠BCD的度数，再次利用30°角的性质求出BD的长度；最后用AB减去BD即可得到AD的长度。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，$BC=2$，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$AB=2BC=2×2=4$。
$\because CD$是$AB$边上的高，$\therefore ∠ CDB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°-∠ A=90°-30°=60°$，
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ BCD=90°-∠ B=90°-60°=30°$，
$\therefore BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×2=1$，
$\therefore AD=AB-BD=4-1=3$。
【答案】
3
【知识点】
直角三角形30°角性质、直角三角形两锐角互余、线段和差计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心考查直角三角形的特殊性质，解题时只要找准含30°角的直角三角形，梳理清楚各边的数量关系，就能快速算出结果，需要熟练掌握直角三角形的相关性质为后续几何学习打好基础。
【难度系数】
0.7
解题时先结合题目给出的直角三角形、30°角的条件，优先想到直角三角形30°角的特殊性质：首先在Rt△ABC中，利用该性质求出斜边AB的长度；再根据CD是AB的高，得到Rt△BCD，通过直角三角形两锐角互余求出∠BCD的度数，再次利用30°角的性质求出BD的长度；最后用AB减去BD即可得到AD的长度。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，$BC=2$，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$AB=2BC=2×2=4$。
$\because CD$是$AB$边上的高，$\therefore ∠ CDB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°-∠ A=90°-30°=60°$，
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ BCD=90°-∠ B=90°-60°=30°$，
$\therefore BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×2=1$，
$\therefore AD=AB-BD=4-1=3$。
【答案】
3
【知识点】
直角三角形30°角性质、直角三角形两锐角互余、线段和差计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心考查直角三角形的特殊性质，解题时只要找准含30°角的直角三角形，梳理清楚各边的数量关系，就能快速算出结果，需要熟练掌握直角三角形的相关性质为后续几何学习打好基础。
【难度系数】
0.7
6. 在$△ ABC$中，$AB=AC=6$，$∠ BAC=120°$，$D$为$BC$的中点，$E$，$F$分别为直线$AC$，$AB$上两点. 若满足$CE=2$，$∠ EDF=60°$，则$AF$的长为$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
6. 1或5
解析
【分析】
首先利用等腰三角形三线合一的性质，由AB=AC、D是BC中点，可得AD⊥BC、AD平分∠BAC，计算得底角∠B=∠C=30°，AD=3，∠BAD=∠CAD=60°。由于E、F是直线AC、AB上的点，CE=2，因此需分两种情况讨论：①E在线段AC上；②E在AC的延长线上。通过作D到AB、AC的垂线，利用角平分线的性质得两条垂线段相等，结合∠EDF=60°证明三角形全等，即可求出AF的长度。
【解析】
连接AD，过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H。
∵AB=AC=6，∠BAC=120°，D为BC中点，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=60°，∠B=∠C=(180°-120°)÷2=30°，
在Rt△ABD中，∠B=30°，
∴AD=AB÷2=3。
∵AD平分∠BAC，DG⊥AB，DH⊥AC，
∴DG=DH，∠AGD=∠AHD=90°，
∴∠GDH=360°-90°-90°-120°=60°，
又
∵∠EDF=60°，
∴∠GDF + ∠FDH = ∠HDE + ∠FDH，即∠GDF=∠HDE，
∴△GDF≌△HDE（ASA），
∴GF=HE。
在Rt△ADG中，∠DAG=60°，AD=3，
∴AG=AH=3÷2=1.5。
分两种情况讨论：
1. 当E在线段AC上时，CE=2，AE=6-2=4，HE=4-1.5=2.5，
∴GF=2.5，此时F在BA延长线上，AF=2.5-1.5=1。
2. 当E在AC的延长线上时，CE=2，结合角度关系可得HE=0.5，
∴GF=0.5，此时F在线段AB上，AF=1.5+0.5=5。
综上，AF的长为1或5。
【答案】
1或5
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形的综合应用题，解题核心是利用等腰三角形三线合一的性质构造全等三角形，需要注意“直线上的点”包含线段上和延长线上两种位置，需分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.4
首先利用等腰三角形三线合一的性质，由AB=AC、D是BC中点，可得AD⊥BC、AD平分∠BAC，计算得底角∠B=∠C=30°，AD=3，∠BAD=∠CAD=60°。由于E、F是直线AC、AB上的点，CE=2，因此需分两种情况讨论：①E在线段AC上；②E在AC的延长线上。通过作D到AB、AC的垂线，利用角平分线的性质得两条垂线段相等，结合∠EDF=60°证明三角形全等，即可求出AF的长度。
【解析】
连接AD，过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H。
∵AB=AC=6，∠BAC=120°，D为BC中点，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=60°，∠B=∠C=(180°-120°)÷2=30°，
在Rt△ABD中，∠B=30°，
∴AD=AB÷2=3。
∵AD平分∠BAC，DG⊥AB，DH⊥AC，
∴DG=DH，∠AGD=∠AHD=90°，
∴∠GDH=360°-90°-90°-120°=60°，
又
∵∠EDF=60°，
∴∠GDF + ∠FDH = ∠HDE + ∠FDH，即∠GDF=∠HDE，
∴△GDF≌△HDE（ASA），
∴GF=HE。
在Rt△ADG中，∠DAG=60°，AD=3，
∴AG=AH=3÷2=1.5。
分两种情况讨论：
1. 当E在线段AC上时，CE=2，AE=6-2=4，HE=4-1.5=2.5，
∴GF=2.5，此时F在BA延长线上，AF=2.5-1.5=1。
2. 当E在AC的延长线上时，CE=2，结合角度关系可得HE=0.5，
∴GF=0.5，此时F在线段AB上，AF=1.5+0.5=5。
综上，AF的长为1或5。
【答案】
1或5
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形的综合应用题，解题核心是利用等腰三角形三线合一的性质构造全等三角形，需要注意“直线上的点”包含线段上和延长线上两种位置，需分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.4
7. 如图15.3-34，学校操场边有一盏垂直于水平地面的路灯AB，路灯旁有一斜坡BC，斜坡与水平地面的夹角$∠ CBD = 30°$. 数学活动课上，实践小组的小创同学带领组员一起来测量路灯AB的高度. 他们的方案如下：①小智同学站在斜坡最高点C处，用一根足够长的绳子，把绳子一端打结向路灯的顶端扔去，使得绳子打结处刚好挂在路灯顶端A处；②小研同学把绳子拉直，在绳子上的点B处做标记，再把绳子拉向斜坡最高点C处，发现$AB=AC$；③小青同学测量发现，斜坡最高点C处到地面的距离CD为3 m.求路灯的高度AB.
答案
由条件可知$∠ ABC=∠ ABD-∠ CBD=60°$。$\because AB=AC$，$\therefore △ ABC$是等边三角形，$\therefore AB=AC=BC$。在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$CD ⊥ BD$，$∠ CBD=30°$，$CD=3$，$\therefore BC=2CD=6$，$\therefore AB=6$
解析
【分析】
解题时先从已知的垂直关系入手，先求出∠ABC的度数：已知AB垂直地面MN可得∠ABD=90°，结合∠CBD=30°，相减即可得到∠ABC=60°；再结合AB=AC的条件，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”可判定△ABC是等边三角形，由此得到AB=BC的等量关系；最后在Rt△BCD中，利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质求出BC的长度，即可得到AB的高度。
【解析】
解：
∵AB⊥MN，
∴∠ABD=90°，
∵∠CBD=30°，
∴∠ABC=∠ABD-∠CBD=90°-30°=60°，
又
∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC。
在Rt△BCD中，CD⊥BD，∠CBD=30°，CD=3m，
根据含30°角的直角三角形的性质，得BC=2CD=2×3=6（m），
∴AB=BC=6m。
【答案】
6 m
【知识点】
等边三角形的判定、含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题结合实际测量场景考查几何性质的应用，解题关键是通过角度推导和等边三角形的判定建立AB与BC的等量关系，再利用特殊直角三角形的性质求解，属于几何基础应用类题目，能有效考查学生对基础性质的掌握和实际应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的垂直关系入手，先求出∠ABC的度数：已知AB垂直地面MN可得∠ABD=90°，结合∠CBD=30°，相减即可得到∠ABC=60°；再结合AB=AC的条件，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”可判定△ABC是等边三角形，由此得到AB=BC的等量关系；最后在Rt△BCD中，利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质求出BC的长度，即可得到AB的高度。
【解析】
解：
∵AB⊥MN，
∴∠ABD=90°，
∵∠CBD=30°，
∴∠ABC=∠ABD-∠CBD=90°-30°=60°，
又
∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC。
在Rt△BCD中，CD⊥BD，∠CBD=30°，CD=3m，
根据含30°角的直角三角形的性质，得BC=2CD=2×3=6（m），
∴AB=BC=6m。
【答案】
6 m
【知识点】
等边三角形的判定、含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题结合实际测量场景考查几何性质的应用，解题关键是通过角度推导和等边三角形的判定建立AB与BC的等量关系，再利用特殊直角三角形的性质求解，属于几何基础应用类题目，能有效考查学生对基础性质的掌握和实际应用能力。
【难度系数】
0.7
8. 如图15.3-35，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向上. 某天上午8时，一条船从海岛A出发，以15 n mile/h（海里/时，1 n mile=1852 m）的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时测得灯塔C在B处的北偏东60°方向上.
（1）求B处到灯塔C的距离.
（2）已知以灯塔C为中心，周围16 n mile的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由.
图15.3-35
（1）求B处到灯塔C的距离.
（2）已知以灯塔C为中心，周围16 n mile的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由.
图15.3-35
答案
8. （1）根据题意，得$∠ BAC=90°-75°=15°$，$∠ CBE=90°-60°=30°$，$AB=15×2=30$（n mile），$\therefore ∠ C=30°-15°=15°$，$\therefore ∠ BAC=∠ C$，$\therefore BC=AB=30$ n mile （2）如答图22，过点C作$CD ⊥ AB$交AB的延长线于点D，
$\because ∠ CBD=30°$，$BC=30$ n mile，$\therefore CD=\frac{1}{2}BC=15$（n mile）。$\because 15＜16$，$\therefore$ 若该船继续由西向东航行会有触礁的危险解析
【分析】
（1）解决第一问时，先根据船的航行速度和时长算出AB的长度，再结合方位角的定义求出∠BAC、∠CBE的度数，利用三角形外角的性质推导得∠BAC=∠C，根据等角对等边即可求出B到C的距离。（2）解决第二问时，判断是否触礁的核心是求灯塔C到航线AE的最短距离，即过C作AE的垂线段CD，求出CD的长度后和16 n mile比较，若CD更小则有触礁危险，可借助含30°角的直角三角形的性质计算CD的长度。
【解析】
（1）由题意得，船从A到B的航行时间为$10-8=2$小时，
因此$AB=15×2=30$（n mile）。
根据方位角的定义：
$∠BAC=90°-75°=15°$，$∠CBE=90°-60°=30°$。
∵∠CBE是△ABC的外角，
∴$∠CBE=∠BAC+∠C$，
代入角度数得$∠C=30°-15°=15°$，
∴$∠BAC=∠C$，由等角对等边可得$BC=AB=30$（n mile）。
（2）过点C作$CD ⊥ AB$交AB的延长线于点D，
在Rt△BCD中，$∠CBD=30°$，斜边$BC=30$ n mile，
根据含30°角的直角三角形的性质，30°角对的直角边等于斜边的一半，
因此$CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×30=15$（n mile）。
∵$15＜16$，说明灯塔C到航线的最短距离小于暗礁范围的半径，
因此该船继续向东航行有触礁的危险。
【答案】
8. （1）根据题意，得$∠ BAC=90°-75°=15°$，$∠ CBE=90°-60°=30°$，$AB=15×2=30$（n mile），$\therefore ∠ C=30°-15°=15°$，$\therefore ∠ BAC=∠ C$，$\therefore BC=AB=30$ n mile （2）如答图22，过点C作$CD ⊥ AB$交AB的延长线于点D，$\because ∠ CBD=30°$，$BC=30$ n mile，$\therefore CD=\frac{1}{2}BC=15$（n mile）。$\because 15＜16$，$\therefore$ 若该船继续由西向东航行会有触礁的危险
【知识点】
方位角的应用、等腰三角形的判定、含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题结合实际航行场景考查几何知识的应用，解题的关键是将实际问题转化为几何模型，正确理解方位角的含义，灵活运用等腰三角形和直角三角形的相关性质求解，能有效锻炼学生解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问时，先根据船的航行速度和时长算出AB的长度，再结合方位角的定义求出∠BAC、∠CBE的度数，利用三角形外角的性质推导得∠BAC=∠C，根据等角对等边即可求出B到C的距离。（2）解决第二问时，判断是否触礁的核心是求灯塔C到航线AE的最短距离，即过C作AE的垂线段CD，求出CD的长度后和16 n mile比较，若CD更小则有触礁危险，可借助含30°角的直角三角形的性质计算CD的长度。
【解析】
（1）由题意得，船从A到B的航行时间为$10-8=2$小时，
因此$AB=15×2=30$（n mile）。
根据方位角的定义：
$∠BAC=90°-75°=15°$，$∠CBE=90°-60°=30°$。
∵∠CBE是△ABC的外角，
∴$∠CBE=∠BAC+∠C$，
代入角度数得$∠C=30°-15°=15°$，
∴$∠BAC=∠C$，由等角对等边可得$BC=AB=30$（n mile）。
（2）过点C作$CD ⊥ AB$交AB的延长线于点D，
在Rt△BCD中，$∠CBD=30°$，斜边$BC=30$ n mile，
根据含30°角的直角三角形的性质，30°角对的直角边等于斜边的一半，
因此$CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×30=15$（n mile）。
∵$15＜16$，说明灯塔C到航线的最短距离小于暗礁范围的半径，
因此该船继续向东航行有触礁的危险。
【答案】
8. （1）根据题意，得$∠ BAC=90°-75°=15°$，$∠ CBE=90°-60°=30°$，$AB=15×2=30$（n mile），$\therefore ∠ C=30°-15°=15°$，$\therefore ∠ BAC=∠ C$，$\therefore BC=AB=30$ n mile （2）如答图22，过点C作$CD ⊥ AB$交AB的延长线于点D，
$\because ∠ CBD=30°$，$BC=30$ n mile，$\therefore CD=\frac{1}{2}BC=15$（n mile）。$\because 15＜16$，$\therefore$ 若该船继续由西向东航行会有触礁的危险【知识点】
方位角的应用、等腰三角形的判定、含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题结合实际航行场景考查几何知识的应用，解题的关键是将实际问题转化为几何模型，正确理解方位角的含义，灵活运用等腰三角形和直角三角形的相关性质求解，能有效锻炼学生解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
