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4. 如图15.3-24，在四边形ABCD中，∠A=∠B，点E在线段AB上，CE//DA。若使△BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是
$∠ BCE=∠ B$（答案不唯一）
。答案
4. $∠ BCE=∠ B$（答案不唯一）
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手推导△BCE的现有形状：首先由CE//AD，根据平行线的同位角相等可得∠BEC=∠A；结合已知∠A=∠B，可推出∠BEC=∠B，根据等角对等边得到CE=CB，即△BCE已经是等腰三角形。要使等腰三角形变为等边三角形，只需满足等边三角形的判定条件即可：要么有一个内角为60°，要么三边相等，要么三个内角都相等，据此可添加对应的合理条件。
【解析】
∵CE//AD，
∴∠BEC=∠A（两直线平行，同位角相等），
又
∵∠A=∠B，
∴∠BEC=∠B，
∴CE=CB（等角对等边），即△BCE为等腰三角形。
若添加条件∠BCE=∠B，则∠BEC=∠B=∠BCE，△BCE三个内角相等，因此△BCE是等边三角形。
（也可添加∠B=60°、BC=BE等合理条件）
【答案】
∠BCE=∠B（答案不唯一）
【知识点】
平行线的性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定
【点评】
本题是条件开放型题目，解题核心是先根据已知条件确定三角形为等腰三角形，再结合等边三角形的判定定理补充条件，考查对相关性质和判定的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手推导△BCE的现有形状：首先由CE//AD，根据平行线的同位角相等可得∠BEC=∠A；结合已知∠A=∠B，可推出∠BEC=∠B，根据等角对等边得到CE=CB，即△BCE已经是等腰三角形。要使等腰三角形变为等边三角形，只需满足等边三角形的判定条件即可：要么有一个内角为60°，要么三边相等，要么三个内角都相等，据此可添加对应的合理条件。
【解析】
∵CE//AD，
∴∠BEC=∠A（两直线平行，同位角相等），
又
∵∠A=∠B，
∴∠BEC=∠B，
∴CE=CB（等角对等边），即△BCE为等腰三角形。
若添加条件∠BCE=∠B，则∠BEC=∠B=∠BCE，△BCE三个内角相等，因此△BCE是等边三角形。
（也可添加∠B=60°、BC=BE等合理条件）
【答案】
∠BCE=∠B（答案不唯一）
【知识点】
平行线的性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定
【点评】
本题是条件开放型题目，解题核心是先根据已知条件确定三角形为等腰三角形，再结合等边三角形的判定定理补充条件，考查对相关性质和判定的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
5. 如图15.3-25，在等边$△ ABC$中，D是边AC上的一点，点E在边BC的延长线上，若$BD=ED$，$CD=CE$，求证：D为AC的中点。
答案
证明：$\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore ∠ ACB=∠ ABC=60°$。$\because CD=CE$，$\therefore ∠ CED=∠ CDE$。$\because ∠ ACB=∠ CED+∠ CDE$，$\therefore ∠ CED=∠ CDE=\frac{1}{2}∠ ACB=30°$。$\because BD=ED$，$\therefore ∠ CBD=∠ CED=30°$，$\therefore ∠ ABD=∠ ABC-∠ CBD=30°$。$\because ∠ ABD=∠ CBD$，$\therefore BD$是$△ ABC$的角平分线。$\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore BD$是$△ ABC$的AC边上的中线，$\therefore D$为AC的中点
解析
【分析】
要证明D是AC的中点，结合等边三角形“三线合一”的性质，可将问题转化为证明BD是△ABC的角平分线。首先由等边三角形的性质得到∠ACB、∠ABC均为60°，再根据CD=CE的条件，利用等腰三角形等边对等角和三角形外角的性质求出∠E的度数；接着由BD=ED得到∠CBD=∠E，进而推出BD平分∠ABC，最后根据等边三角形三线合一的性质，即可得到BD是AC边上的中线，证得D为AC中点。
【解析】
证明：$\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore ∠ ACB=∠ ABC=60°$。
$\because CD=CE$，$\therefore ∠ CED=∠ CDE$。
$\because ∠ ACB=∠ CED+∠ CDE$，$\therefore ∠ CED=∠ CDE=\frac{1}{2}∠ ACB=30°$。
$\because BD=ED$，$\therefore ∠ CBD=∠ CED=30°$，
$\therefore ∠ ABD=∠ ABC-∠ CBD=30°$。
$\because ∠ ABD=∠ CBD$，$\therefore BD$是$△ ABC$的角平分线。
$\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore BD$是$△ ABC$的AC边上的中线，$\therefore D$为AC的中点。
【答案】
证明：$\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore ∠ ACB=∠ ABC=60°$。$\because CD=CE$，$\therefore ∠ CED=∠ CDE$。$\because ∠ ACB=∠ CED+∠ CDE$，$\therefore ∠ CED=∠ CDE=\frac{1}{2}∠ ACB=30°$。$\because BD=ED$，$\therefore ∠ CBD=∠ CED=30°$，$\therefore ∠ ABD=∠ ABC-∠ CBD=30°$。$\because ∠ ABD=∠ CBD$，$\therefore BD$是$△ ABC$的角平分线。$\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore BD$是$△ ABC$的AC边上的中线，$\therefore D$为AC的中点
【知识点】
等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心是将证明中点的问题转化为证明角平分线的问题，体现了转化思想在几何证明中的应用，需要熟练掌握特殊三角形的性质，通过角度推导完成逻辑论证。
【难度系数】
0.7
要证明D是AC的中点，结合等边三角形“三线合一”的性质，可将问题转化为证明BD是△ABC的角平分线。首先由等边三角形的性质得到∠ACB、∠ABC均为60°，再根据CD=CE的条件，利用等腰三角形等边对等角和三角形外角的性质求出∠E的度数；接着由BD=ED得到∠CBD=∠E，进而推出BD平分∠ABC，最后根据等边三角形三线合一的性质，即可得到BD是AC边上的中线，证得D为AC中点。
【解析】
证明：$\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore ∠ ACB=∠ ABC=60°$。
$\because CD=CE$，$\therefore ∠ CED=∠ CDE$。
$\because ∠ ACB=∠ CED+∠ CDE$，$\therefore ∠ CED=∠ CDE=\frac{1}{2}∠ ACB=30°$。
$\because BD=ED$，$\therefore ∠ CBD=∠ CED=30°$，
$\therefore ∠ ABD=∠ ABC-∠ CBD=30°$。
$\because ∠ ABD=∠ CBD$，$\therefore BD$是$△ ABC$的角平分线。
$\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore BD$是$△ ABC$的AC边上的中线，$\therefore D$为AC的中点。
【答案】
证明：$\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore ∠ ACB=∠ ABC=60°$。$\because CD=CE$，$\therefore ∠ CED=∠ CDE$。$\because ∠ ACB=∠ CED+∠ CDE$，$\therefore ∠ CED=∠ CDE=\frac{1}{2}∠ ACB=30°$。$\because BD=ED$，$\therefore ∠ CBD=∠ CED=30°$，$\therefore ∠ ABD=∠ ABC-∠ CBD=30°$。$\because ∠ ABD=∠ CBD$，$\therefore BD$是$△ ABC$的角平分线。$\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore BD$是$△ ABC$的AC边上的中线，$\therefore D$为AC的中点
【知识点】
等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心是将证明中点的问题转化为证明角平分线的问题，体现了转化思想在几何证明中的应用，需要熟练掌握特殊三角形的性质，通过角度推导完成逻辑论证。
【难度系数】
0.7
6. 教材再现：
（1）如图15.3-26，$△ ABC$是等边三角形，$DE // BC$，分别交$AB$，$AC$于点$D$，$E$. 求证：$△ ADE$是等边三角形.
续表
给出的另外一种证明方法，请补全：
证明：$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ B = ∠ C$，$∠ A = 60°$.
$\because DE // BC$，
$\therefore ∠ B = ∠ ADE$，$∠ C = ①\_\_\_\_\_\_$，
$\therefore ②\_\_\_\_\_\_ = ③\_\_\_\_\_\_$，
$\therefore AD = AE$.（④______）
$\therefore △ ADE$是等腰三角形.
又$\because ∠ A = 60°$，$\therefore △ ADE$是等边三角形.
（2）如图15.3-27，等边三角形$ABC$的两条角平分线相交于点$D$，延长$BD$至点$E$，使得$AE = AD$，求证：$△ ADE$是等边三角形.
（1）如图15.3-26，$△ ABC$是等边三角形，$DE // BC$，分别交$AB$，$AC$于点$D$，$E$. 求证：$△ ADE$是等边三角形.
续表
给出的另外一种证明方法，请补全：
证明：$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ B = ∠ C$，$∠ A = 60°$.
$\because DE // BC$，
$\therefore ∠ B = ∠ ADE$，$∠ C = ①\_\_\_\_\_\_$，
$\therefore ②\_\_\_\_\_\_ = ③\_\_\_\_\_\_$，
$\therefore AD = AE$.（④______）
$\therefore △ ADE$是等腰三角形.
又$\because ∠ A = 60°$，$\therefore △ ADE$是等边三角形.
（2）如图15.3-27，等边三角形$ABC$的两条角平分线相交于点$D$，延长$BD$至点$E$，使得$AE = AD$，求证：$△ ADE$是等边三角形.
答案
（1）①$∠ AED$ ②$∠ ADE$ ③$∠ AED$ ④等角对等边 （2）证明：$\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore ∠ BAC=∠ ABC=60°$。$\because BE$和$AD$分别为$∠ ABC$和$∠ BAC$的平分线，$\therefore ∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC=30°$，$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$。$\because ∠ ADE$为$△ ABD$的外角，$\therefore ∠ ADE=∠ ABD+∠ BAD=60°$。$\because AE=AD$，$\therefore △ ADE$是等边三角形
解析
【分析】
（1）本题为补全证明过程题型，解题思路如下：首先根据等边三角形性质得到∠B=∠C、∠A=60°，再结合平行线同位角相等的性质，可得∠C的同位角为∠AED，进而推导得到∠ADE和∠AED相等，依据等腰三角形“等角对等边”的判定定理即可得到AD=AE，最后结合∠A=60°可证明△ADE是等边三角形。
（2）本题需证明△ADE是等边三角形，已知AE=AD，因此只需证明该三角形有一个内角为60°即可。首先利用等边三角形内角均为60°的性质，结合角平分线定义得到∠ABD和∠BAD的度数，再利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质求出∠ADE=60°，结合“有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形”的判定定理即可完成证明。
【解析】
（1）补全证明过程：
①由DE//BC，根据平行线同位角相等，∠C与∠AED是同位角，因此①填∠AED；
②③结合已知∠B=∠C，∠B=∠ADE，∠C=∠AED，可推出∠ADE=∠AED，因此②填∠ADE，③填∠AED；
④由两个内角相等推出对应边相等，依据是等腰三角形的“等角对等边”判定定理，因此④填等角对等边。
（2）证明过程：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠BAC=∠ABC=60°。
∵ BE和AD分别为∠ABC和∠BAC的平分线，
∴ $∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC=30°$，$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$。
∵ ∠ADE为△ABD的外角，
∴ $∠ ADE=∠ ABD+∠ BAD=30°+30°=60°$。
又
∵ AE=AD，
∴ △ADE是有一个内角为60°的等腰三角形，即△ADE是等边三角形。
【答案】
（1）①$\boldsymbol{∠AED}$ ②$\boldsymbol{∠ADE}$ ③$\boldsymbol{∠AED}$ ④$\boldsymbol{等角对等边}$
（2）证明：$\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore ∠ BAC=∠ ABC=60°$。$\because BE$和$AD$分别为$∠ ABC$和$∠ BAC$的平分线，$\therefore ∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC=30°$，$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$。$\because ∠ ADE$为$△ ABD$的外角，$\therefore ∠ ADE=∠ ABD+∠ BAD=60°$。$\because AE=AD$，$\therefore △ ADE$是等边三角形
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形判定；等边三角形判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，围绕等边三角形的性质与判定展开，结合了平行线性质、角平分线定义、三角形外角性质等核心基础知识点，侧重考察逻辑推理能力和基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.8
（1）本题为补全证明过程题型，解题思路如下：首先根据等边三角形性质得到∠B=∠C、∠A=60°，再结合平行线同位角相等的性质，可得∠C的同位角为∠AED，进而推导得到∠ADE和∠AED相等，依据等腰三角形“等角对等边”的判定定理即可得到AD=AE，最后结合∠A=60°可证明△ADE是等边三角形。
（2）本题需证明△ADE是等边三角形，已知AE=AD，因此只需证明该三角形有一个内角为60°即可。首先利用等边三角形内角均为60°的性质，结合角平分线定义得到∠ABD和∠BAD的度数，再利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质求出∠ADE=60°，结合“有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形”的判定定理即可完成证明。
【解析】
（1）补全证明过程：
①由DE//BC，根据平行线同位角相等，∠C与∠AED是同位角，因此①填∠AED；
②③结合已知∠B=∠C，∠B=∠ADE，∠C=∠AED，可推出∠ADE=∠AED，因此②填∠ADE，③填∠AED；
④由两个内角相等推出对应边相等，依据是等腰三角形的“等角对等边”判定定理，因此④填等角对等边。
（2）证明过程：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠BAC=∠ABC=60°。
∵ BE和AD分别为∠ABC和∠BAC的平分线，
∴ $∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC=30°$，$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$。
∵ ∠ADE为△ABD的外角，
∴ $∠ ADE=∠ ABD+∠ BAD=30°+30°=60°$。
又
∵ AE=AD，
∴ △ADE是有一个内角为60°的等腰三角形，即△ADE是等边三角形。
【答案】
（1）①$\boldsymbol{∠AED}$ ②$\boldsymbol{∠ADE}$ ③$\boldsymbol{∠AED}$ ④$\boldsymbol{等角对等边}$
（2）证明：$\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore ∠ BAC=∠ ABC=60°$。$\because BE$和$AD$分别为$∠ ABC$和$∠ BAC$的平分线，$\therefore ∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC=30°$，$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$。$\because ∠ ADE$为$△ ABD$的外角，$\therefore ∠ ADE=∠ ABD+∠ BAD=60°$。$\because AE=AD$，$\therefore △ ADE$是等边三角形
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形判定；等边三角形判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，围绕等边三角形的性质与判定展开，结合了平行线性质、角平分线定义、三角形外角性质等核心基础知识点，侧重考察逻辑推理能力和基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.8
7. 如图15.3-28，点A，D在BC同侧，AB=BC=CA=2，BD=CD=√2，则AD=
$\sqrt{3}-1$
。答案
7. $\sqrt{3}-1$
解析
【分析】
首先观察已知条件，△ABC三边相等为等边三角形，且AB=AC、BD=CD，根据“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，可知点A、D都在BC的垂直平分线上，因此延长AD交BC于点E，可得AE⊥BC且E为BC中点。接下来分别在Rt△ABE和Rt△DBE中用勾股定理算出AE和DE的长度，最后根据A、D在BC同侧，AD=AE-DE即可求出结果。
【解析】
解：延长AD交BC于点E。
∵ AB=AC，BD=CD，
∴ 点A、D都在BC的垂直平分线上，
∴ AE垂直平分BC，即∠AEB=90°，$BE=\frac{1}{2}BC=1$。
在等边△ABC中，AE为BC边上的高，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
在Rt△BDE中，$BD=\sqrt{2}$，$BE=1$，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{BD^2-BE^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2-1^2}=\sqrt{2-1}=1$。
∵ 点A、D在BC同侧，
∴ $AD=AE-DE=\sqrt{3}-1$。
【答案】
$\sqrt{3}-1$
【知识点】
垂直平分线的判定，等边三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于等腰三角形相关的基础综合题，解题的核心是利用垂直平分线的判定得到AD与BC的垂直关系，通过构造直角三角形结合勾股定理计算线段长度，解题思路清晰，属于该章节常考题型。
【难度系数】
0.7
首先观察已知条件，△ABC三边相等为等边三角形，且AB=AC、BD=CD，根据“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，可知点A、D都在BC的垂直平分线上，因此延长AD交BC于点E，可得AE⊥BC且E为BC中点。接下来分别在Rt△ABE和Rt△DBE中用勾股定理算出AE和DE的长度，最后根据A、D在BC同侧，AD=AE-DE即可求出结果。
【解析】
解：延长AD交BC于点E。
∵ AB=AC，BD=CD，
∴ 点A、D都在BC的垂直平分线上，
∴ AE垂直平分BC，即∠AEB=90°，$BE=\frac{1}{2}BC=1$。
在等边△ABC中，AE为BC边上的高，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
在Rt△BDE中，$BD=\sqrt{2}$，$BE=1$，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{BD^2-BE^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2-1^2}=\sqrt{2-1}=1$。
∵ 点A、D在BC同侧，
∴ $AD=AE-DE=\sqrt{3}-1$。
【答案】
$\sqrt{3}-1$
【知识点】
垂直平分线的判定，等边三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于等腰三角形相关的基础综合题，解题的核心是利用垂直平分线的判定得到AD与BC的垂直关系，通过构造直角三角形结合勾股定理计算线段长度，解题思路清晰，属于该章节常考题型。
【难度系数】
0.7
