1. (1)在同一平面内,经过一点能作个圆;经过两个点能作个圆;的三个点确定一个圆.
(2)经过三角形的的圆叫作三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边的的交点,叫作这个三角形的.三角形的外心到三角形三个顶点的距离,且等于外接圆的.

1. (1) 无数 无数 不在同一条直线上
(2) 三个顶点 垂直平分线 外心 相等 半径

【分析】
本题考查圆的相关基础概念，解题思路如下：
(1) 结合圆的构成要素（圆心、半径）分析：①经过1个点时，圆心可任意选择，半径为圆心到该点的距离，有无数种组合，因此能作无数个圆；②经过2个点时，圆心需要满足到两个点的距离相等，因此圆心在两点连线的垂直平分线上，垂直平分线上有无数个点，对应无数个圆心，因此能作无数个圆；③若3个点在同一直线上，不存在到三个点距离都相等的点，因此只有不在同一直线上的三个点，才能找到唯一的圆心和半径，确定一个圆。
(2) 结合三角形外接圆的定义推导：外接圆需要经过三角形所有顶点，因此圆心要到三个顶点的距离相等，而线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，因此圆心是三边垂直平分线的交点，即外心，外心到三个顶点的距离就是外接圆的半径。
【解析】
(1) ①同一平面内，过一点时圆心和半径都有无数种选择，故可作无数个圆；②过两个点时，圆心在两点连线的垂直平分线上，有无数个可选的圆心，故可作无数个圆；③只有不在同一条直线上的三个点，能确定唯一的圆心和半径，即确定一个圆。
(2) 根据定义，经过三角形的三个顶点的圆叫作三角形的外接圆；外接圆的圆心到三个顶点距离相等，因此是三角形三条边的垂直平分线的交点，这个点叫作三角形的外心；外心到三角形三个顶点的距离相等，该距离就是外接圆的半径。
【答案】
(1) 无数；无数；不在同一条直线上
(2) 三个顶点；垂直平分线；外心；相等；半径
【知识点】
确定圆的条件；三角形的外接圆与外心
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查对圆的相关基础定义、性质的掌握情况，牢记教材相关概念即可快速解答。
【难度系数】
0.9

2.【例1】作如图所示的三个三角形的外接圆$\odot O$.

(1)如图1,锐角三角形的外心在三角形的;若$∠ A=60°$,则$∠ BOC=$.
(2)如图2,直角三角形的外心在三角形的;若$BC=6$,$AC=8$,则$OA=$.
(3)如图3,钝角三角形的外心在三角形的;若$∠ B=30°$,$AC=3$,则$S_{\odot O}=$.
3.(1)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,若两直角边长为$6\ \mathrm{cm}$,$8\ \mathrm{cm}$,则它的外接圆的面积为$\mathrm{cm}^2$.
(2)如图,在平面直角坐标系$xOy$中,$△ ABC$的三个顶点都在格点上,则$△ ABC$外接圆的圆心坐标为 ()
A.$(3,2)$ B.$(2,3)$ C.$(2,2)$ D.$(3,3)$

(3)如图,点$P$是$△ ABC$外接圆的圆心,已知$∠ A=75°$,则$∠ BPC$的度数为.

2. 作图如下
(1) 内部 120°
(2) 斜边的中点上 5
(3) 外部 9π
3. (1) 25π
(2) A
(3) 150°

【分析】
解题思路如下：1. 首先明确三角形外心的定义：三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，其位置随三角形类型变化：锐角三角形外心在内部，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在外部。2. 结合圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求解圆心角、半径相关问题。3. 直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，结合勾股定理计算斜边，进而得到半径求面积。4. 格点三角形外接圆圆心可通过作两边垂直平分线找交点得到坐标。
【解析】
2. 作图方法：分别作三角形任意两边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为外接圆圆心O，以O为圆心，OA（或OB、OC）长为半径作圆，即为所求△ABC的外接圆⊙O。
(1) 锐角三角形的外心在三角形内部；根据圆周角定理，同弧BC所对的圆心角∠BOC是圆周角∠A的2倍，已知∠A=60°，因此∠BOC=2×60°=120°。
(2) 直角三角形的外心在斜边的中点上；在Rt△ABC中，由勾股定理得斜边AB=√(AC²+BC²)=√(8²+6²)=10，外接圆半径OA等于斜边的一半，因此OA=10÷2=5。
(3) 钝角三角形的外心在三角形外部；根据圆周角定理，同弧AC所对的圆心角∠AOC=2∠B=2×30°=60°，又OA=OC，因此△AOC是等边三角形，外接圆半径r=AC=3，因此⊙O的面积S=πr²=π×3²=9π。
3. (1) 在Rt△ABC中，由勾股定理得斜边长为√(6²+8²)=10 cm，外接圆半径为斜边的一半即5 cm，因此外接圆面积为π×5²=25π cm²。
(2) 三角形外接圆圆心是三边垂直平分线的交点，分别作AB、BC边的垂直平分线，交点坐标为(3,2)，因此选A。
(3) 点P是△ABC外接圆圆心，根据圆周角定理，同弧BC所对的圆心角∠BPC是圆周角∠A的2倍，因此∠BPC=2×75°=150°。
【答案】
2. 作图如下
(1) 内部；120°
(2) 斜边的中点上；5
(3) 外部；9π
3. (1) 25π
(2) A
(3) 150°
【知识点】
三角形外心的性质，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题围绕三角形外接圆的相关知识点设置问题，考查内容基础，覆盖了不同类型三角形外心的位置规律、圆心角与圆周角的关系、外接圆半径及面积的计算等核心考点，通过练习可以帮助学生巩固外接圆的基础概念和应用方法。
【难度系数】
0.7

4. 先提出与结论的假设，再推导出和定义、基本事实、定理或题设等的结果，然后由矛盾断定所作假设，从而得到原命题成立. 这种方法叫作反证法.

4. 相反 相矛盾 不正确

【分析】
本题考查反证法的基本定义，解题时需回忆反证法的标准操作步骤：首先反证法需要先否定原命题的结论，即提出和结论相反的假设；接下来从假设出发进行逻辑推导，最终得到的结果会和已有的定义、基本事实、定理或者题设产生矛盾；出现矛盾说明最初的假设不成立，也就是不正确，进而可以证明原命题成立，结合三个步骤对应填写空缺内容即可。
【解析】
根据反证法的定义：先提出与结论相反的假设，再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫作反证法。因此三个空依次对应填写：相反、相矛盾、不正确。
【答案】
相反 相矛盾 不正确
【知识点】
反证法的定义
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，主要考查对反证法核心步骤的掌握，只要熟记反证法的概念就能轻松作答。
【难度系数】
0.9

5.【例2】用反证法证明:经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆.
证明:如图,A,B,C三点在一条直线$l$上.
假设经过同一条直线$l$上的$A,B,C$三点作一个圆.设这个圆的圆心为$P$,那么点$P$既在线段$AB$的垂直平分线$l_1$上,又在线段$BC$的上,即点$P$为$l_1$与$l_2$的交点,而$l_1 ⊥ l$,$l_2 ⊥ l$,这与我们以前学过的“过一点有且只有条直线与已知直线垂直”矛盾.所以,经过同一条直线上的三个点作圆.

5. 可以 垂直平分线$l_2$ 一 不能

【分析】
本题采用反证法证明，解题思路遵循反证法的固定逻辑：第一步先假设原命题的反面成立；第二步从假设出发推导，得出和已有公理、定理矛盾的结论；第三步否定假设，确认原命题成立。原命题为“同一直线上的三个点不能作圆”，因此首先假设反面“可以作圆”成立；接下来结合圆的性质，圆心到圆上各点距离相等，因此圆心需同时在AB、BC的垂直平分线上；此时两条垂直平分线都垂直于已知直线l，且交于同一点P，和“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的公理矛盾，即可证明假设不成立，原结论正确。
【解析】
根据反证法的证明步骤依次填空：
1. 反证法第一步假设原结论不成立，即假设经过同一条直线$l$上的$A,B,C$三点可以作一个圆；
2. 若该圆的圆心为$P$，则$PA=PB=PC$，根据垂直平分线的判定，点$P$既在线段$AB$的垂直平分线$l_1$上，又在线段$BC$的垂直平分线$l_2$上；
3. 由题意$l_1 ⊥ l$，$l_2 ⊥ l$，即过点$P$有两条直线和已知直线$l$垂直，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的公理矛盾；
4. 因此假设不成立，故经过同一条直线上的三个点不能作圆。
【答案】
可以；垂直平分线$l_2$；一；不能
【知识点】
反证法；垂直平分线的性质；确定圆的条件
【点评】
本题考查反证法的应用，解题核心是熟练掌握反证法的证明步骤，结合垂直平分线性质和垂线公理推导矛盾，属于基础概念类题型，需牢固掌握反证法的逻辑和圆的基本性质。
【难度系数】
0.8