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【例3】如图，$AB=AD$，$AC=AE$，如果想增加一个有关角相等的条件，就可以直接得到$△ ABC ≌ △ ADE$，那么这个条件是（
A.$∠ B=∠ C$
B.$∠ B=∠ D$
C.$∠ C=∠ E$
D.$∠ BAC=∠ DAE$
D
）A.$∠ B=∠ C$
B.$∠ B=∠ D$
C.$∠ C=∠ E$
D.$∠ BAC=∠ DAE$
答案
【例3】D
解析
【分析】
首先梳理已知条件：△ABC和△ADE中，已有两组对应边相等，即$AB=AD$，$AC=AE$。要添加角相等的条件直接证明两三角形全等，结合全等三角形判定规则，若用SAS定理判定全等，需要两组对应边的夹角相等。先确定两组边的夹角：AB和AC的夹角是$∠ BAC$，AD和AE的夹角是$∠ DAE$，因此只需添加这两个角相等的条件，再对应选项判断即可。
【解析】
已知在$△ ABC$和$△ ADE$中：
$AB=AD$，$AC=AE$，
根据全等三角形SAS判定定理，需要两组边的夹角相等，即$∠ BAC=∠ DAE$时，可满足：
$\begin{cases}AB=AD \\∠ BAC=∠ DAE \\AC=AE\end{cases}$
此时可直接推出$△ ABC ≌ △ ADE(\mathrm{SAS})$。
逐一分析选项：
A.$∠ B=∠ C$是$△ ABC$的内角，和两三角形全等判定无关，不符合要求；
B.$∠ B=∠ D$时，已知条件为两边及其中一边的对角相等（SSA），不能判定三角形全等，不符合要求；
C.$∠ C=∠ E$时，同样属于SSA的情况，不能判定三角形全等，不符合要求；
D.$∠ BAC=∠ DAE$符合SAS判定的夹角相等要求，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形SAS判定、对应角识别
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用题，解题核心是明确SAS判定定理中“相等的角是两组对应边的夹角”这一要点，注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，避免混淆判定条件。
【难度系数】
0.7
首先梳理已知条件：△ABC和△ADE中，已有两组对应边相等，即$AB=AD$，$AC=AE$。要添加角相等的条件直接证明两三角形全等，结合全等三角形判定规则，若用SAS定理判定全等，需要两组对应边的夹角相等。先确定两组边的夹角：AB和AC的夹角是$∠ BAC$，AD和AE的夹角是$∠ DAE$，因此只需添加这两个角相等的条件，再对应选项判断即可。
【解析】
已知在$△ ABC$和$△ ADE$中：
$AB=AD$，$AC=AE$，
根据全等三角形SAS判定定理，需要两组边的夹角相等，即$∠ BAC=∠ DAE$时，可满足：
$\begin{cases}AB=AD \\∠ BAC=∠ DAE \\AC=AE\end{cases}$
此时可直接推出$△ ABC ≌ △ ADE(\mathrm{SAS})$。
逐一分析选项：
A.$∠ B=∠ C$是$△ ABC$的内角，和两三角形全等判定无关，不符合要求；
B.$∠ B=∠ D$时，已知条件为两边及其中一边的对角相等（SSA），不能判定三角形全等，不符合要求；
C.$∠ C=∠ E$时，同样属于SSA的情况，不能判定三角形全等，不符合要求；
D.$∠ BAC=∠ DAE$符合SAS判定的夹角相等要求，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形SAS判定、对应角识别
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用题，解题核心是明确SAS判定定理中“相等的角是两组对应边的夹角”这一要点，注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，避免混淆判定条件。
【难度系数】
0.7
1. 如图，已知$AC=DB,AO=DO,DC=100\ \mathrm{m}$，则A,B两点间的距离（
A.大于100 m
B.等于100 m
C.小于100 m
D.无法确定
B
）A.大于100 m
B.等于100 m
C.小于100 m
D.无法确定
答案
1. B
解析
【分析】
要得到A、B两点间的距离，可通过证明AB所在三角形与DC所在三角形全等，将AB与已知长度的DC建立联系。首先根据已知的AC=DB、AO=DO，可推导得到BO=CO；再结合对顶角相等的性质，就能利用SAS判定△AOB和△DOC全等，进而得到AB的长度。
【解析】
解：
∵ $AC=DB$，$AO=DO$
∴ $AC - AO = DB - DO$，即 $BO=CO$
在$△ AOB$和$△ DOC$中：
$\begin{cases}AO=DO \quad (\mathrm{已知}) \\∠ AOB=∠ DOC \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\BO=CO \quad (\mathrm{已证})\end{cases}$
∴ $△ AOB ≌ △ DOC \ (\mathrm{SAS})$
∴ $AB=DC$（全等三角形的对应边相等）
∵ $DC=100\ \mathrm{m}$
∴ $AB=100\ \mathrm{m}$
【答案】
B
【知识点】
SAS判定三角形全等，全等三角形的性质，对顶角的性质
【点评】
本题是全等三角形在实际距离测量中的典型应用，解题的关键是从已知边的关系中推导出相等的边，结合对顶角相等构造全等三角形的判定条件，将不便直接测量的距离转化为易测量的线段长度。
【难度系数】
0.8
要得到A、B两点间的距离，可通过证明AB所在三角形与DC所在三角形全等，将AB与已知长度的DC建立联系。首先根据已知的AC=DB、AO=DO，可推导得到BO=CO；再结合对顶角相等的性质，就能利用SAS判定△AOB和△DOC全等，进而得到AB的长度。
【解析】
解：
∵ $AC=DB$，$AO=DO$
∴ $AC - AO = DB - DO$，即 $BO=CO$
在$△ AOB$和$△ DOC$中：
$\begin{cases}AO=DO \quad (\mathrm{已知}) \\∠ AOB=∠ DOC \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\BO=CO \quad (\mathrm{已证})\end{cases}$
∴ $△ AOB ≌ △ DOC \ (\mathrm{SAS})$
∴ $AB=DC$（全等三角形的对应边相等）
∵ $DC=100\ \mathrm{m}$
∴ $AB=100\ \mathrm{m}$
【答案】
B
【知识点】
SAS判定三角形全等，全等三角形的性质，对顶角的性质
【点评】
本题是全等三角形在实际距离测量中的典型应用，解题的关键是从已知边的关系中推导出相等的边，结合对顶角相等构造全等三角形的判定条件，将不便直接测量的距离转化为易测量的线段长度。
【难度系数】
0.8
2. (唐山模拟)如图，$AB=AC$，$AF=AE$，$∠ B = 25°$，则$∠ C =$（
A.$25°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$60°$
A
）A.$25°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$60°$
答案
2. A
解析
【分析】
要计算∠C的度数，可通过证明包含∠B和∠C的两个三角形全等，利用全等三角形对应角相等求解。首先观察图形，△ABF和△ACE中，已知AB=AC、AF=AE，且两个三角形有公共角∠A，满足全等三角形的SAS判定条件，证明全等后即可得到∠C与∠B相等。
【解析】
在$△ ABF$和$△ ACE$中：
$\begin{cases}AB = AC (\mathrm{已知}) \\∠ A = ∠ A (\mathrm{公共角}) \\AF = AE (\mathrm{已知})\end{cases}$
$\therefore △ ABF ≌ △ ACE (\mathrm{SAS})$
根据全等三角形对应角相等，可得$∠ C = ∠ B = 25°$。
【答案】
A
【知识点】
SAS判定三角形全等、全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用题，解题的关键是准确找到两个三角形的公共角，结合已知的两组等边，利用SAS判定定理证明全等，再通过对应角相等即可得到结果。
【难度系数】
0.9
要计算∠C的度数，可通过证明包含∠B和∠C的两个三角形全等，利用全等三角形对应角相等求解。首先观察图形，△ABF和△ACE中，已知AB=AC、AF=AE，且两个三角形有公共角∠A，满足全等三角形的SAS判定条件，证明全等后即可得到∠C与∠B相等。
【解析】
在$△ ABF$和$△ ACE$中：
$\begin{cases}AB = AC (\mathrm{已知}) \\∠ A = ∠ A (\mathrm{公共角}) \\AF = AE (\mathrm{已知})\end{cases}$
$\therefore △ ABF ≌ △ ACE (\mathrm{SAS})$
根据全等三角形对应角相等，可得$∠ C = ∠ B = 25°$。
【答案】
A
【知识点】
SAS判定三角形全等、全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用题，解题的关键是准确找到两个三角形的公共角，结合已知的两组等边，利用SAS判定定理证明全等，再通过对应角相等即可得到结果。
【难度系数】
0.9
3. 如图所示，在$△ ABC$和$△ DEF$中，$∠ B = ∠ DEF$，$BC = EF$，再添加一个条件
AB=DE
，就可以以“SAS”为依据判定这两个三角形全等。答案
3. AB=DE
解析
【分析】
要使用“SAS”判定两个三角形全等，首先明确“SAS”的含义是：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。首先梳理题中已知条件：已知∠B=∠DEF（这是一组对应夹角相等），BC=EF（这是其中一组夹边相等）。接下来找这两个角的另一组夹边：∠B的两条边是AB、BC，∠DEF的两条边是DE、EF，已知BC=EF，因此只需要补充另一组夹边相等，即可满足SAS的判定要求。
【解析】
根据全等三角形的“SAS”判定定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
已知在△ABC和△DEF中：
∠B = ∠DEF（已知的对应夹角），BC = EF（已知的一组对应夹边），
要满足SAS判定，还需要夹角的另一组对应边相等，即AB = DE。
此时△ABC和△DEF满足：$\{\begin{array}{l}AB=DE\\ ∠ B=∠ DEF\\ BC=EF\end{array} $，可通过SAS判定两三角形全等。
【答案】
AB=DE
【知识点】
全等三角形SAS判定
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题，核心是明确“SAS”判定中“角是两组对应边的夹角”这一要求，解题时需找准已知角对应的两组夹边，匹配缺失的条件即可，注意不要和SSA等不成立的判定条件混淆。
【难度系数】
0.9
要使用“SAS”判定两个三角形全等，首先明确“SAS”的含义是：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。首先梳理题中已知条件：已知∠B=∠DEF（这是一组对应夹角相等），BC=EF（这是其中一组夹边相等）。接下来找这两个角的另一组夹边：∠B的两条边是AB、BC，∠DEF的两条边是DE、EF，已知BC=EF，因此只需要补充另一组夹边相等，即可满足SAS的判定要求。
【解析】
根据全等三角形的“SAS”判定定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
已知在△ABC和△DEF中：
∠B = ∠DEF（已知的对应夹角），BC = EF（已知的一组对应夹边），
要满足SAS判定，还需要夹角的另一组对应边相等，即AB = DE。
此时△ABC和△DEF满足：$\{\begin{array}{l}AB=DE\\ ∠ B=∠ DEF\\ BC=EF\end{array} $，可通过SAS判定两三角形全等。
【答案】
AB=DE
【知识点】
全等三角形SAS判定
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题，核心是明确“SAS”判定中“角是两组对应边的夹角”这一要求，解题时需找准已知角对应的两组夹边，匹配缺失的条件即可，注意不要和SSA等不成立的判定条件混淆。
【难度系数】
0.9
4.在测量一个小口圆形容器的壁厚(厚度均匀)时,小明用“X型转动钳”按如图所示的方法进行测量,其中OA=OD,OB= 
OC.若测得AB=6 cm,EF=8 cm,则圆形容器的壁厚是
OC.若测得AB=6 cm,EF=8 cm,则圆形容器的壁厚是
1
cm.答案
4. 1
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：OA=OD，OB=OC，且∠AOB与∠DOC是对顶角，二者相等，因此可通过SAS判定定理证明△AOB和△DOC全等，利用全等三角形对应边相等得到CD的长度。已知EF是容器外侧的总宽度，CD是容器内侧小口的宽度，容器两侧的壁厚相等，因此用外侧总宽度减去内侧宽度的差除以2，即可得到单侧壁厚。
【解析】
在$△ AOB$和$△ DOC$中：
$\{\begin{array}{l}OA=OD\\∠ AOB=∠ DOC\quad (\mathrm{对顶角相等})\\OB=OC\end{array} $
$\therefore △ AOB≌△ DOC(\mathrm{SAS})$
$\therefore CD=AB=6\ \mathrm{cm}$
∵EF是容器外侧的总宽度，壁厚均匀，
∴壁厚为$\frac{EF-CD}{2}=\frac{8-6}{2}=1\ \mathrm{cm}$
【答案】
1
【知识点】
SAS判定三角形全等；全等三角形的性质；线段和差计算
【点评】
本题是全等三角形在实际测量中的应用，解题的关键是利用全等将不易直接测量的内部长度转化为易测量的外部长度，体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件：OA=OD，OB=OC，且∠AOB与∠DOC是对顶角，二者相等，因此可通过SAS判定定理证明△AOB和△DOC全等，利用全等三角形对应边相等得到CD的长度。已知EF是容器外侧的总宽度，CD是容器内侧小口的宽度，容器两侧的壁厚相等，因此用外侧总宽度减去内侧宽度的差除以2，即可得到单侧壁厚。
【解析】
在$△ AOB$和$△ DOC$中：
$\{\begin{array}{l}OA=OD\\∠ AOB=∠ DOC\quad (\mathrm{对顶角相等})\\OB=OC\end{array} $
$\therefore △ AOB≌△ DOC(\mathrm{SAS})$
$\therefore CD=AB=6\ \mathrm{cm}$
∵EF是容器外侧的总宽度，壁厚均匀，
∴壁厚为$\frac{EF-CD}{2}=\frac{8-6}{2}=1\ \mathrm{cm}$
【答案】
1
【知识点】
SAS判定三角形全等；全等三角形的性质；线段和差计算
【点评】
本题是全等三角形在实际测量中的应用，解题的关键是利用全等将不易直接测量的内部长度转化为易测量的外部长度，体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.7
5. 如图，已知$OA=OC$，$OB=OD$，$∠ AOC=∠ BOD$. 求证：$△ AOB≌△ COD$. 
答案
5. 证明:因为∠AOC=∠BOD,
所以∠AOC-∠AOD=∠BOD-∠AOD,
即∠DOC=∠BOA.
在△AOB和△COD中,$\begin{cases} OA=OC, \\ ∠BOA=∠DOC, \\ OB=OD, \end{cases}$
所以△AOB≌△COD(SAS).
所以∠AOC-∠AOD=∠BOD-∠AOD,
即∠DOC=∠BOA.
在△AOB和△COD中,$\begin{cases} OA=OC, \\ ∠BOA=∠DOC, \\ OB=OD, \end{cases}$
所以△AOB≌△COD(SAS).
解析
【分析】
要证明△AOB≌△COD，首先梳理已知条件：题目已给出两组对应边相等，即OA=OC、OB=OD。根据全等三角形的SAS判定定理，还需要证明这两组对应边的夹角相等，也就是∠AOB=∠COD。已知∠AOC=∠BOD，利用等式的性质，将两个相等的角同时减去公共角∠AOD，即可推导出待证的夹角相等，满足SAS判定条件后即可证明两个三角形全等。
【解析】
证明：
$\because ∠ AOC=∠ BOD$，
$\therefore ∠ AOC-∠ AOD=∠ BOD-∠ AOD$，
即$∠ DOC=∠ BOA$。
在$△ AOB$和$△ COD$中：
$\begin{cases}OA=OC, \\∠ BOA=∠ DOC, \\OB=OD,\end{cases}$
$\therefore △ AOB≌△ COD(\mathrm{SAS})$。
【答案】
证明:因为$∠ AOC=∠ BOD$,
所以$∠ AOC-∠ AOD=∠ BOD-∠ AOD$,
即$∠ DOC=∠ BOA$.
在$△ AOB$和$△ COD$中,$\begin{cases} OA=OC, \\ ∠ BOA=∠ DOC, \\ OB=OD, \end{cases}$
所以$△ AOB≌△ COD(\mathrm{SAS})$.
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 角的和差运算
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题型，重点考查SAS判定定理的应用，解题的关键是通过角的和差关系推导出两组相等对应边的夹角相等，能帮助学生巩固全等判定的基础逻辑。
【难度系数】
0.8
要证明△AOB≌△COD，首先梳理已知条件：题目已给出两组对应边相等，即OA=OC、OB=OD。根据全等三角形的SAS判定定理，还需要证明这两组对应边的夹角相等，也就是∠AOB=∠COD。已知∠AOC=∠BOD，利用等式的性质，将两个相等的角同时减去公共角∠AOD，即可推导出待证的夹角相等，满足SAS判定条件后即可证明两个三角形全等。
【解析】
证明：
$\because ∠ AOC=∠ BOD$，
$\therefore ∠ AOC-∠ AOD=∠ BOD-∠ AOD$，
即$∠ DOC=∠ BOA$。
在$△ AOB$和$△ COD$中：
$\begin{cases}OA=OC, \\∠ BOA=∠ DOC, \\OB=OD,\end{cases}$
$\therefore △ AOB≌△ COD(\mathrm{SAS})$。
【答案】
证明:因为$∠ AOC=∠ BOD$,
所以$∠ AOC-∠ AOD=∠ BOD-∠ AOD$,
即$∠ DOC=∠ BOA$.
在$△ AOB$和$△ COD$中,$\begin{cases} OA=OC, \\ ∠ BOA=∠ DOC, \\ OB=OD, \end{cases}$
所以$△ AOB≌△ COD(\mathrm{SAS})$.
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 角的和差运算
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题型，重点考查SAS判定定理的应用，解题的关键是通过角的和差关系推导出两组相等对应边的夹角相等，能帮助学生巩固全等判定的基础逻辑。
【难度系数】
0.8
6. 如图, 在$△ ABC$中, $AB = AC$, $∠ ABC = ∠ ACB = 60°$, $D, E$在直线$BC$上, $DB = EC$. 求证: $∠ D = ∠ E$.
答案
6. 证明:因为∠ABC=∠ACB=60°,
所以∠ABD=∠ACE=120°.
在△ABD和△ACE中,$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ABD=∠ACE, \\ BD=CE, \end{cases}$
所以△ABD≌△ACE(SAS),所以∠D=∠E.
所以∠ABD=∠ACE=120°.
在△ABD和△ACE中,$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ABD=∠ACE, \\ BD=CE, \end{cases}$
所以△ABD≌△ACE(SAS),所以∠D=∠E.
解析
【分析】
要证明两个角相等，常用方法之一是证明这两个角所在的三角形全等，全等三角形的对应角相等。首先观察图形可知，∠D属于△ABD，∠E属于△ACE，因此我们只需证明△ABD≌△ACE即可。
接下来梳理已知条件：题目已给出AB=AC、DB=EC，还缺一组对应夹角相等的条件。已知∠ABC=∠ACB=60°，而∠ABD是∠ABC的邻补角，∠ACE是∠ACB的邻补角，根据邻补角和为180°，可算出∠ABD=∠ACE=120°，此时两个三角形满足“两边及其夹角对应相等”，符合SAS全等判定定理，即可证得两三角形全等，进而推出∠D=∠E。
【解析】
证明：
∵ ∠ABC=∠ACB=60°，
∴ ∠ABD=180°-∠ABC=120°，∠ACE=180°-∠ACB=120°，即∠ABD=∠ACE。
在△ABD和△ACE中：
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ABD=∠ACE, \\ BD=CE, \end{cases}$
∴ △ABD≌△ACE（SAS），
∴ ∠D=∠E（全等三角形的对应角相等）。
【答案】
证明过程如上，可证得$\boldsymbol{∠D=∠E}$。
【知识点】
SAS判定定理、全等三角形的性质、邻补角的性质
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，核心是利用已知条件推导三角形全等所需的边角关系，通过证明三角形全等得到对应角相等，熟练掌握全等三角形的判定定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.85
要证明两个角相等，常用方法之一是证明这两个角所在的三角形全等，全等三角形的对应角相等。首先观察图形可知，∠D属于△ABD，∠E属于△ACE，因此我们只需证明△ABD≌△ACE即可。
接下来梳理已知条件：题目已给出AB=AC、DB=EC，还缺一组对应夹角相等的条件。已知∠ABC=∠ACB=60°，而∠ABD是∠ABC的邻补角，∠ACE是∠ACB的邻补角，根据邻补角和为180°，可算出∠ABD=∠ACE=120°，此时两个三角形满足“两边及其夹角对应相等”，符合SAS全等判定定理，即可证得两三角形全等，进而推出∠D=∠E。
【解析】
证明：
∵ ∠ABC=∠ACB=60°，
∴ ∠ABD=180°-∠ABC=120°，∠ACE=180°-∠ACB=120°，即∠ABD=∠ACE。
在△ABD和△ACE中：
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ABD=∠ACE, \\ BD=CE, \end{cases}$
∴ △ABD≌△ACE（SAS），
∴ ∠D=∠E（全等三角形的对应角相等）。
【答案】
证明过程如上，可证得$\boldsymbol{∠D=∠E}$。
【知识点】
SAS判定定理、全等三角形的性质、邻补角的性质
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，核心是利用已知条件推导三角形全等所需的边角关系，通过证明三角形全等得到对应角相等，熟练掌握全等三角形的判定定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.85
