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7. (2025常州模拟)如图，D是AB边上一点，DF交AC于点E，DE=FE，AE=CE，求证：FC//AB. 
答案
7. 证明:在△ADE和△CFE中,
因为DE=FE,∠AED=∠CEF,AE=CE,
所以△ADE≌△CFE(SAS),
所以∠A=∠FCE,所以FC//AB.
因为DE=FE,∠AED=∠CEF,AE=CE,
所以△ADE≌△CFE(SAS),
所以∠A=∠FCE,所以FC//AB.
解析
【分析】
要证明$FC// AB$，根据平行线的判定规则，只需证明一组内错角相等，即证$∠ A=∠ FCE$即可。观察已知条件：$DE=FE$，$AE=CE$，且$∠ AED$与$∠ CEF$是对顶角，二者相等，刚好满足全等三角形的SAS判定条件，因此先证明$△ ADE$和$△ CFE$全等，再利用全等三角形对应角相等的性质得到角相等，最终推出两直线平行。
【解析】
证明：在$△ ADE$和$△ CFE$中，
$\begin{cases}DE=FE（已知）,\\∠ AED=∠ CEF（对顶角相等）,\\AE=CE（已知）,\end{cases}$
$\therefore△ ADE≌△ CFE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore∠ A=∠ FCE$（全等三角形对应角相等），
$\therefore FC// AB$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
证明:在△ADE和△CFE中,
因为DE=FE,∠AED=∠CEF,AE=CE,
所以△ADE≌△CFE(SAS),
所以∠A=∠FCE,所以FC//AB.
【知识点】
SAS判定三角形全等、全等三角形的性质、平行线的判定
【点评】
本题是全等三角形与平行线判定结合的基础题型，解题关键是结合已知边相等的条件和对顶角相等的性质证明三角形全等，通过全等得到相等的角后即可判定直线平行，属于几何部分的常规考点。
【难度系数】
0.8
要证明$FC// AB$，根据平行线的判定规则，只需证明一组内错角相等，即证$∠ A=∠ FCE$即可。观察已知条件：$DE=FE$，$AE=CE$，且$∠ AED$与$∠ CEF$是对顶角，二者相等，刚好满足全等三角形的SAS判定条件，因此先证明$△ ADE$和$△ CFE$全等，再利用全等三角形对应角相等的性质得到角相等，最终推出两直线平行。
【解析】
证明：在$△ ADE$和$△ CFE$中，
$\begin{cases}DE=FE（已知）,\\∠ AED=∠ CEF（对顶角相等）,\\AE=CE（已知）,\end{cases}$
$\therefore△ ADE≌△ CFE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore∠ A=∠ FCE$（全等三角形对应角相等），
$\therefore FC// AB$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
证明:在△ADE和△CFE中,
因为DE=FE,∠AED=∠CEF,AE=CE,
所以△ADE≌△CFE(SAS),
所以∠A=∠FCE,所以FC//AB.
【知识点】
SAS判定三角形全等、全等三角形的性质、平行线的判定
【点评】
本题是全等三角形与平行线判定结合的基础题型，解题关键是结合已知边相等的条件和对顶角相等的性质证明三角形全等，通过全等得到相等的角后即可判定直线平行，属于几何部分的常规考点。
【难度系数】
0.8
8.(泸州模拟)如图，$AB⊥AC$于点$A$，$AB=AC$，$AD⊥AE$于点$A$，$AD=AE$，已知$∠D=35°$，$∠B=25°$，则$∠CAE$的度数为（
A.$35°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$45°$
C
）A.$35°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$45°$
答案
8. C
解析
【分析】解题时先观察已知条件：有两组相等的边$AB=AC$、$AD=AE$，还有两个以$A$为顶点的直角，首先考虑通过角的和差关系推导相等的夹角，利用SAS证明三角形全等，再结合全等三角形的性质和三角形内角和定理逐步计算所求角度。首先由两个垂直可得$∠ BAC=∠ DAE=90°$，推导得到夹角相等，即可证三角形全等，得到对应角的度数，再在三角形中计算相关角度，最后结合同角的余角相等推出$∠ CAE$的度数。
【解析】
解：$\because AB⊥ AC$，$AD⊥ AE$，
$\therefore ∠ BAC=∠ DAE=90°$，
$\therefore ∠ BAC + ∠ CAE = ∠ DAE + ∠ CAE$，即$∠ BAE=∠ CAD$。
在$△ BAE$和$△ CAD$中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC（已知）\\∠ BAE=∠ CAD（已证）\\AE=AD（已知）\end{array} $
$\therefore △ BAE≌△ CAD$（SAS），
$\therefore ∠ ACD=∠ B=25°$（全等三角形对应角相等）。
在$△ ACD$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ CAD=180°-∠ ACD-∠ D=180°-25°-35°=120°$，
又$\because ∠ CAD=∠ BAC + ∠ BAD$，$∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD - ∠ BAC=120°-90°=30°$。
$\because ∠ BAD + ∠ DAC=∠ BAC=90°$，$∠ CAE + ∠ DAC=∠ DAE=90°$，
$\therefore ∠ CAE=∠ BAD=30°$（同角的余角相等）。
【答案】C
【知识点】SAS判定全等三角形；全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】本题是全等三角形与角度计算的综合题，解题的核心是利用角的和差关系推导全等所需的夹角相等，再结合全等性质和内角和定理求解，是几何中常见的基础综合题型。
【难度系数】0.6
【解析】
解：$\because AB⊥ AC$，$AD⊥ AE$，
$\therefore ∠ BAC=∠ DAE=90°$，
$\therefore ∠ BAC + ∠ CAE = ∠ DAE + ∠ CAE$，即$∠ BAE=∠ CAD$。
在$△ BAE$和$△ CAD$中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC（已知）\\∠ BAE=∠ CAD（已证）\\AE=AD（已知）\end{array} $
$\therefore △ BAE≌△ CAD$（SAS），
$\therefore ∠ ACD=∠ B=25°$（全等三角形对应角相等）。
在$△ ACD$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ CAD=180°-∠ ACD-∠ D=180°-25°-35°=120°$，
又$\because ∠ CAD=∠ BAC + ∠ BAD$，$∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD - ∠ BAC=120°-90°=30°$。
$\because ∠ BAD + ∠ DAC=∠ BAC=90°$，$∠ CAE + ∠ DAC=∠ DAE=90°$，
$\therefore ∠ CAE=∠ BAD=30°$（同角的余角相等）。
【答案】C
【知识点】SAS判定全等三角形；全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】本题是全等三角形与角度计算的综合题，解题的核心是利用角的和差关系推导全等所需的夹角相等，再结合全等性质和内角和定理求解，是几何中常见的基础综合题型。
【难度系数】0.6
9. (重庆模拟)如图,在△ABC中,点D是AC的中点,AD=5 cm,DE⊥AC交AB于点E,连接CE,若△BCE的周长是22 cm,则△ABC的周长是
32
cm. 答案
9. 32
解析
【分析】
首先梳理已知条件：D是AC中点可得AD=CD，DE⊥AC可得一组直角相等，结合公共边DE，可通过SAS判定△ADE≌△CDE，从而得到EA=EC；接下来将△BCE周长中的EC替换为EA，可推导出△BCE的周长等于AB与BC的和；再根据AD的长度求出AC的总长度，最后将AB+BC的长度与AC相加，即可求出△ABC的周长。
【解析】
解：
∵点D是AC的中点，AD=5 cm，
∴AC=2AD=10 cm，且AD=CD，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE=∠CDE=90°，
在△ADE和△CDE中：
$\{\begin{array}{l}AD=CD \\∠ADE=∠CDE \\DE=DE\end{array} $
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴EA=EC，
∵△BCE的周长为22 cm，即$C_{△ BCE}=BE + EC + BC = 22\ \mathrm{cm}$，
将EC替换为EA，可得：$BE + EA + BC = AB + BC = 22\ \mathrm{cm}$，
∴△ABC的周长为：$C_{△ ABC}=AB + BC + AC = 22 + 10 = 32\ \mathrm{cm}$。
【答案】
32
【知识点】
SAS判定全等，三角形周长计算，线段等量代换
【点评】
本题考查全等三角形的判定与性质、三角形周长的计算，解题的关键是利用SAS证明三角形全等，实现线段的等量转化，将未知的三角形周长转化为已知条件的和，属于几何基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
首先梳理已知条件：D是AC中点可得AD=CD，DE⊥AC可得一组直角相等，结合公共边DE，可通过SAS判定△ADE≌△CDE，从而得到EA=EC；接下来将△BCE周长中的EC替换为EA，可推导出△BCE的周长等于AB与BC的和；再根据AD的长度求出AC的总长度，最后将AB+BC的长度与AC相加，即可求出△ABC的周长。
【解析】
解：
∵点D是AC的中点，AD=5 cm，
∴AC=2AD=10 cm，且AD=CD，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE=∠CDE=90°，
在△ADE和△CDE中：
$\{\begin{array}{l}AD=CD \\∠ADE=∠CDE \\DE=DE\end{array} $
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴EA=EC，
∵△BCE的周长为22 cm，即$C_{△ BCE}=BE + EC + BC = 22\ \mathrm{cm}$，
将EC替换为EA，可得：$BE + EA + BC = AB + BC = 22\ \mathrm{cm}$，
∴△ABC的周长为：$C_{△ ABC}=AB + BC + AC = 22 + 10 = 32\ \mathrm{cm}$。
【答案】
32
【知识点】
SAS判定全等，三角形周长计算，线段等量代换
【点评】
本题考查全等三角形的判定与性质、三角形周长的计算，解题的关键是利用SAS证明三角形全等，实现线段的等量转化，将未知的三角形周长转化为已知条件的和，属于几何基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
10.如图,点E在AB上,DE//BC,且DE=AB,EB=BC,连接EC并延长,交DB的延长线于点F.
(1)求证:AC=DB;
(2)若∠A=30°,求∠FBC的度数.
(1)求证:AC=DB;
(2)若∠A=30°,求∠FBC的度数.
答案
10. (1)证明:因为DE//BC,所以∠ABC=∠DEB.
在△ABC和△DEB中,$\begin{cases} AB=DE, \\ ∠ABC=∠DEB, \\ BC=EB, \end{cases}$
所以△ABC≌△DEB(SAS),所以AC=DB.
(2)解:因为△ABC≌△DEB,所以∠D=∠A=30°.
因为DE//BC,所以∠FBC=∠D=30°.
在△ABC和△DEB中,$\begin{cases} AB=DE, \\ ∠ABC=∠DEB, \\ BC=EB, \end{cases}$
所以△ABC≌△DEB(SAS),所以AC=DB.
(2)解:因为△ABC≌△DEB,所以∠D=∠A=30°.
因为DE//BC,所以∠FBC=∠D=30°.
解析
【分析】
(1)要证明两条线段相等，常用思路是证明两条线段所在的三角形全等。本题中AC属于△ABC，DB属于△DEB，首先根据DE//BC可推出一组内错角相等，再结合题干给出的两组对应边相等的条件，即可用SAS判定定理证明两个三角形全等，进而得到对应边相等的结论。
(2)求∠FBC的度数时，先利用全等三角形对应角相等的性质得到∠D和∠A的等量关系，再结合DE//BC的条件，利用平行线的同位角相等的性质即可推导得到∠FBC的度数。
【解析】
(1)证明：
∵DE//BC，
∴∠ABC=∠DEB（两直线平行，内错角相等）。
在△ABC和△DEB中，
$\begin{cases}AB=DE, \\∠ABC=∠DEB, \\BC=EB,\end{cases}$
∴△ABC≌△DEB（SAS），
∴AC=DB（全等三角形的对应边相等）。
(2)解：
∵△ABC≌△DEB，
∴∠D=∠A=30°（全等三角形的对应角相等）。
又
∵DE//BC，
∴∠FBC=∠D=30°（两直线平行，同位角相等）。
【答案】
(1)AC=DB得证；(2)∠FBC=30°
【知识点】
全等三角形SAS判定；全等三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题是全等三角形与平行线性质的综合基础题，解题核心是准确识别全等三角形的对应边、对应角，熟练掌握SAS判定定理和相关性质即可顺利解题，注意推导过程中角的等量关系不要混淆。
【难度系数】
0.7
(1)要证明两条线段相等，常用思路是证明两条线段所在的三角形全等。本题中AC属于△ABC，DB属于△DEB，首先根据DE//BC可推出一组内错角相等，再结合题干给出的两组对应边相等的条件，即可用SAS判定定理证明两个三角形全等，进而得到对应边相等的结论。
(2)求∠FBC的度数时，先利用全等三角形对应角相等的性质得到∠D和∠A的等量关系，再结合DE//BC的条件，利用平行线的同位角相等的性质即可推导得到∠FBC的度数。
【解析】
(1)证明：
∵DE//BC，
∴∠ABC=∠DEB（两直线平行，内错角相等）。
在△ABC和△DEB中，
$\begin{cases}AB=DE, \\∠ABC=∠DEB, \\BC=EB,\end{cases}$
∴△ABC≌△DEB（SAS），
∴AC=DB（全等三角形的对应边相等）。
(2)解：
∵△ABC≌△DEB，
∴∠D=∠A=30°（全等三角形的对应角相等）。
又
∵DE//BC，
∴∠FBC=∠D=30°（两直线平行，同位角相等）。
【答案】
(1)AC=DB得证；(2)∠FBC=30°
【知识点】
全等三角形SAS判定；全等三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题是全等三角形与平行线性质的综合基础题，解题核心是准确识别全等三角形的对应边、对应角，熟练掌握SAS判定定理和相关性质即可顺利解题，注意推导过程中角的等量关系不要混淆。
【难度系数】
0.7
11.如图,在长方形ABCD中,AB=4 cm,BC=3 cm,点P在线段AB上以1 cm/s的速度由点A向终点B运动;同时,点Q在线段BC上由点B向终点C匀速运动,它们运动的时间为t s.
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等且t=1时,求证:△APD≌△BQP;
(2)在运动过程中,若△APD≌△BPQ,求此时点Q的运动速度.
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等且t=1时,求证:△APD≌△BQP;
(2)在运动过程中,若△APD≌△BPQ,求此时点Q的运动速度.
答案
11. (1)证明:因为四边形ABCD是长方形,BC=3 cm,
所以∠A=∠B=90°,AD=BC=3 cm.
因为点Q的运动速度与点P的运动速度相等且t=1,
所以PA=BQ=1 cm,AD=PB=3 cm.
又因为∠A=∠B=90°,所以△APD≌△BQP(SAS).
(2)解:因为△APD≌△BPQ,
所以AP=BP=$\frac{1}{2}$AB=2 cm,AD=BQ=3 cm.
因为点P在线段AB上以1 cm/s的速度由点A向终点B运动,
所以$t=\frac{2}{1}=2(\mathrm{s}),v_Q=\frac{3}{2}(\mathrm{cm/s})$.
所以∠A=∠B=90°,AD=BC=3 cm.
因为点Q的运动速度与点P的运动速度相等且t=1,
所以PA=BQ=1 cm,AD=PB=3 cm.
又因为∠A=∠B=90°,所以△APD≌△BQP(SAS).
(2)解:因为△APD≌△BPQ,
所以AP=BP=$\frac{1}{2}$AB=2 cm,AD=BQ=3 cm.
因为点P在线段AB上以1 cm/s的速度由点A向终点B运动,
所以$t=\frac{2}{1}=2(\mathrm{s}),v_Q=\frac{3}{2}(\mathrm{cm/s})$.
解析
【分析】
(1) 要证明△APD≌△BQP，首先利用长方形的性质可得∠A=∠B=90°、AD=BC=3cm；已知P、Q运动速度相等，当t=1时可计算出AP、BQ的长度，再计算PB的长度，即可验证两边及其夹角对应相等，用SAS定理即可判定全等。
(2) 已知△APD≌△BPQ，根据全等三角形对应边相等的性质，可得AP=BP、AD=BQ；先由AB的长度求出AP的长度，结合P的运动速度算出运动时间t，再根据BQ的长度即可求出Q的运动速度。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是长方形，BC=3 cm，
∴∠A=∠B=90°，AD=BC=3 cm。
∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等且t=1，
∴PA=BQ=1×1=1 cm，
∴PB=AB-PA=4-1=3 cm，即AD=PB。
在△APD和△BQP中：
$\{\begin{array}{l}AP=BQ \\∠A=∠B \\AD=BP\end{array} $
∴△APD≌△BQP(SAS)。
(2) 解：
∵△APD≌△BPQ，
∴对应边相等：AP=BP，AD=BQ。
∵AB=4 cm，
∴$AP=BP=\frac{1}{2}AB=2$ cm，$BQ=AD=3$ cm。
∵点P的运动速度为1 cm/s，
∴运动时间$t=\frac{AP}{1}=\frac{2}{1}=2$ s。
则点Q的运动速度$v_Q=\frac{BQ}{t}=\frac{3}{2}$ cm/s。
【答案】
(1) 证明成立，△APD≌△BQP；
(2) 点Q的运动速度为$\frac{3}{2}$ cm/s。
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的SAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是动点与全等三角形结合的基础题型，解题核心是结合动点的运动规律找准全等三角形的对应边，再利用全等三角形的判定和性质列式计算，能有效锻炼对动点问题的分析能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△APD≌△BQP，首先利用长方形的性质可得∠A=∠B=90°、AD=BC=3cm；已知P、Q运动速度相等，当t=1时可计算出AP、BQ的长度，再计算PB的长度，即可验证两边及其夹角对应相等，用SAS定理即可判定全等。
(2) 已知△APD≌△BPQ，根据全等三角形对应边相等的性质，可得AP=BP、AD=BQ；先由AB的长度求出AP的长度，结合P的运动速度算出运动时间t，再根据BQ的长度即可求出Q的运动速度。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是长方形，BC=3 cm，
∴∠A=∠B=90°，AD=BC=3 cm。
∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等且t=1，
∴PA=BQ=1×1=1 cm，
∴PB=AB-PA=4-1=3 cm，即AD=PB。
在△APD和△BQP中：
$\{\begin{array}{l}AP=BQ \\∠A=∠B \\AD=BP\end{array} $
∴△APD≌△BQP(SAS)。
(2) 解：
∵△APD≌△BPQ，
∴对应边相等：AP=BP，AD=BQ。
∵AB=4 cm，
∴$AP=BP=\frac{1}{2}AB=2$ cm，$BQ=AD=3$ cm。
∵点P的运动速度为1 cm/s，
∴运动时间$t=\frac{AP}{1}=\frac{2}{1}=2$ s。
则点Q的运动速度$v_Q=\frac{BQ}{t}=\frac{3}{2}$ cm/s。
【答案】
(1) 证明成立，△APD≌△BQP；
(2) 点Q的运动速度为$\frac{3}{2}$ cm/s。
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的SAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是动点与全等三角形结合的基础题型，解题核心是结合动点的运动规律找准全等三角形的对应边，再利用全等三角形的判定和性质列式计算，能有效锻炼对动点问题的分析能力。
【难度系数】
0.7
